Groeisnelheid berekenen

figuur 1

We bekijken nog eens de bewegende strook papier van opgave 13, zie figuur 1. Er geldt: $B (t) = \frac{1}{2} t^{2} + 2 t$ .
De tekening hiernaast staat ook op het werkblad.

Kleur hierin $Δ B$ , de toename van $B$ als $t$ toeneemt van $6$ tot $6 + Δ t$ .

Bepaal een formule voor de oppervlakte $Δ B$ en ga na dat $\frac{Δ B}{Δ t} = 8 + \frac{1}{2} Δ t$ .

figuur 2

In figuur 2 staat een algemener plaatje.

Laat zien dat $Δ B = (a + 2) Δ t + \frac{1}{2} {(Δ t)}^{2}$ als $t$ toeneemt van $a$ tot $a + Δ t$ .

Wat is $\lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ B}{Δ t}$ ?

We hebben nu een formule voor de helling in elk punt van de grafiek van $B$ . De helling in het punt met eerste coördinaat $a$ is $a + 2$ .

Controleer of de formule overeenkomt met je resultaten van opgave 15.

Gegeven is een of andere functie $f$ .
De functie die in elk punt de helling van $f$ geeft, noemen we de afgeleide functie van $f$ .
We noteren deze functie met $f^{'}$ .

In opgave 17 heb je gezien:
als $f : x \to \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ , dan geldt: de helling in het punt met eerste coördinaat $a$ is $a + 2$ , dus $f^{'} (a) = a + 2$ .

Voer de functie $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ op de GR onder Y1:
Y1 = 0.5X^2+2X.
De gemiddelde groeisnelheid op [X;X+0.001] voeren we in onder Y2.
Y2 = (Y1(X+0.001)–Y1)/0.001.
Y2 is een goede benadering voor de afgeleide functie van Y1.

Voer op de GR ook Y3=X+2 in. Dit is de afgeleide van Y1. Vergelijk Y2 en Y3 op de GR.

Bekijk de applet "helling" .

Hiernaast is de grafiek getekend van het verband tussen twee grootheden, zeg $A$ en $x$ . Veronderstel dat $(2,7)$ op de grafiek ligt. Laat $x$ veranderen van $2$ tot $2 + Δ x$ ; hierdoor verandert $A$ van $7$ tot $7 + Δ A$ .
Als we een formule van het verband tussen $x$ en $A$ kennen, kunnen we $\frac{Δ A}{Δ x}$ berekenen.
Laten we vervolgens $Δ x$ tot $0$ naderen, dan vinden we de limiet van $\frac{Δ A}{Δ x}$ , notatie: $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ A}{Δ x}$ .

Deze limiet is de groeisnelheid van $A$ als $x = 2$ .
Deze limiet is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt $(2,7)$ .

$f : x \to 1 \frac{1}{2} x - 6$

Wat is de groeisnelheid van $f (x)$ als $x = 4$ ?

En als $x = 100$ ?

Als $f$ een constante functie of een lineaire functie van $x$ is, hangt de groeisnelheid van $f (x)$ niet af van $x$ .
Als $f$ dat niet is, hangt de groeisnelheid van $f (x)$ wel af van $x$ .
We noteren de groeisnelheid van de functie $f$ in het punt met eerste coördinaat $x$ als $f^{'} (x)$ .
Zoals eerder is opgemerkt: $f^{'}$ heet de afgeleide functie van $f$ .

Een rechthoek van $2 \sqrt{2}$ bij $5 \sqrt{2}$ maakt met een horizontale lijn hoeken van $45 °$ (zie plaatje).

Hoe hoog ligt het hoogste punt van de rechthoek boven de horizontale lijn?

(hint)

Teken de rechthoek op ruitjespapier.

Hoe breed de rechthoek is op een zekere hoogte, meten we langs de horizontale lijn op die hoogte.

Teken de grafiek van de breedte $b$ als functie van de hoogte $h$ . Geef het domein en het bereik van deze functie.

Wat is de groeisnelheid van $b$ als $h = 1$ ? En als $h = 4$ en als $h = 6$ ?

Teken de grafiek van de groeisnelheid als functie van de hoogte.

Wat denk jij van de groeisnelheid op hoogte $2$ en $5$ ?

Opmerking:

In de vorige opgave was sprake van de functie $f$ met
$f (x) = {\begin{cases} 2 x als 0 \leq x \leq 2 \\ 4 als 2 \leq x \leq 5 \\ ‐ 2 x + 14 als 5 \leq x \leq 7 \end{cases}$ .
(Hier is $x$ de hoogte $h$ en $f (x)$ de breedte $b$ .)

Als $0 < x < 2$ geldt: $f^{'} (x) = 2$ .
Als $2 < x < 5$ geldt: $f^{'} (x) = 0$ .
Als $5 < x < 7$ geldt: $f^{'} (x) = ‐ 2$ .
Deze functie heeft geen raaklijn in de punten met eerste coördinaat $2$ en $5$ (is niet differentieerbaar voor $x = 2$ en voor $x = 5$ ).
Populair gezegd:

Een functie is differentieerbaar als de grafiek geen knik heeft; men spreekt dan ook wel van een gladde functie.

Meer hierover vind je in de paragraaf Differentieerbaarheid.

De afgeleide van enkele machtsfuncties

We gaan enkele functies differentiëren, dat wil zeggen hun afgeleide bepalen.

In deze opgave bepalen we de afgeleide van $x \to x^{2}$ .
$f (x)$ is de oppervlakte van het vierkant met zijde $x$ .
$x$ neemt toe van $5$ tot $5 + Δ x$ , dan neemt $f (x)$ toe met $Δ f$ .

Leg aan de hand van het nevenstaande plaatje uit: $\frac{Δ f}{Δ x} = 10 + Δ x$ .
Wat is dus de groeisnelheid van $f (x)$ als $x = 5$ ?

$x$ neemt toe van $a$ tot $a + Δ x$ ; de toename van $f (x)$ noemen we weer $Δ f$ .

Laat zien: $\frac{Δ f}{Δ x} = \frac{2 a Δ x + {(Δ x)}^{2}}{Δ x}$ .

Wat is $\lim_{Δ x \to 0} \frac{2 a Δ x + {(Δ x)}^{2}}{Δ x}$ ?

Wat is de groeisnelheid van $f (x)$ als $x = a$ ?
Geef een formule van $f^{'} (x)$ .

Gegeven: $f : x \to x^{2}$ .

Bereken de coördinaten van het punt op de grafiek van $f$ waar de raaklijn helling $8$ heeft.

(hint)

Noem de eerste coördinaat van dat punt $a$ . Dan geldt: $2 a = 8$ .

Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt $(‐ 10,100)$ .

(hint)

Die raaklijn heeft vergelijking $y = a x + b$ . Hierbij is $a$ de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, dus $a = f^{'} (‐ 10)$ ; $b$ vind je door de coördinaten van het raakpunt in te vullen.

In deze opgave bepalen we de afgeleide van $y = x^{3}$ .

Bepaal de getallen op de stippellijnen exact.
${(2 + Δ x)}^{3} = \dots + \dots \cdot Δ x + \dots \cdot {(Δ x)}^{2} + \dots \cdot {(Δ x)}^{3}$

Kun je in het plaatje hiernaast de vier termen aanwijzen?

Benader met behulp hiervan ${(2,01)}^{3}$ en ${(1,99)}^{3}$ in twee decimalen nauwkeurig.
Welke stukken in het plaatje hiernaast heb je in deze benaderingen verwaarloosd?

Als $x$ toeneemt van $2$ tot $2 + Δ x$ , neemt $y$ toe met $Δ y$ .

Bereken $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ met behulp van a.

Bereken zo ook $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ , de groeisnelheid van $y$ als $x = a$ .

Als je het goed gedaan hebt, heb je gevonden: $f^{'} (a) = 3 a^{2}$ .

Als $f : x \to x^{3}$ , dan $f^{'} : x \to 3 x^{2}$ .

Familie de Vrij gaat op vakantie in Oostenrijk. Ze legt over de Duitse autowegen $600$ km af. De reistijd $T$ (in uren) over die $600$ km hangt af van de (gemiddelde) rijsnelheid $v$ (in km/u).

Geef een formule van het verband tussen $v$ en $T$ en teken de grafiek van dit verband.

Als de familie met een gemiddelde snelheid van $100$ km/u rijdt, doet ze $6$ uur over de afstand.

Hoeveel tijdwinst maakt familie de Vrij ongeveer als ze haar snelheid opvoert van $100$ tot $102$ km/uur?

Hoeveel tijdwinst maakt familie de Vrij ongeveer als ze haar snelheid opvoert van $100$ tot $100 + Δ v$ km/uur?

Laat zien dat $\frac{Δ T}{Δ v} = \frac{‐ 6}{100 + Δ v}$ , als $v = 100$ .

(hint)

$Δ T = \frac{600}{100 + Δ v} - 6 = \frac{600}{100 + Δ v} - \frac{6 (100 + Δ v)}{100 + Δ v}$

Wat is de groeisnelheid van $T$ als $v = 100$ ?

We bepalen de afgeleide van $y = \frac{1}{x}$ .
Laat $x$ toenemen van $a$ tot $a + Δ x$ , dan neemt $y$ toe met $Δ y$ .
Dan: $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{‐ 1}{a (a + Δ x)}$ .

Toon dit aan.

Wat is $\lim_{Δ x \to 0} \frac{‐ 1}{a (a + Δ x)}$ ?

Als $f : x \to \frac{1}{x}$ , dan $f^{'} : x \to ‐ \frac{1}{x^{2}}$ .

Gegeven is een functie $y$ van $x$ . Stel dat je een formule van deze functie kent. Het bepalen van de groeisnelheid kan dan best lastig zijn. Maar de berekening komt wel steeds op hetzelfde neer. De rekenmachine kan het lastige (en saaie?) werk van ons overnemen. Bij de functie van opgave 23 gaat dat als volgt.
Y1 = X^3
Y2 = (Y1(X+0.001)–Y1)/0.001
De functie Y2 geeft voor op te geven waarden van X de waarde van $\frac{Δ y}{Δ x}$ met ∆X=0,001. En dat is (meestal) een goede benadering van de groeisnelheid. Voor X kun je natuurlijk ook een andere waarde nemen (als hij maar klein genoeg is).
We hebben dit ook al gezien bij opgave 18.

Bereken met de GR de waarden van Y2 voor X=1 en voor X=2.

Maak een tabel voor Y2.

Als je de waarden van Y2 deelt door $3$ , ontdek je een mooi verband met X.

Welke formule ontdek je?
Deze formule heb je in opgave 22 ook al gezien.

Geef een vergelijking van de raaklijn in $(1,1)$ aan de grafiek van $f : x \to \frac{1}{x}$ .

We doen hetzelfde met de functie $y = \frac{600}{x}$ van opgave 24.

Voer in Y1=600/X en Y2 als boven.

Bereken met de GR de waarden van Y2 voor X=1 en voor X=2.

Maak een tabel voor Y2.

Als je de waarden van Y1 deelt door X, ontdek je een mooi verband met Y2.

Welke formule ontdek je?

Hieronder staan de grafieken van vier functies.
Schets de grafiek van de hellingfunctie van elk van deze functies. Let daarbij op waar de functie dalend/stijgend is.
Het gaat om het globale verloop.

Opmerking:

Als je van een functie een formule kent, kun je op de GR gemakkelijk zijn hellingfunctie tekenen.
Ga na hoe dat op jouw rekenmachine werkt.

Schets van elk van de volgende functies de hellingfunctie. Gebruik de GR om je schets te controleren.

$y = x^{2}$	$y = \frac{1}{x}$
$y = 4 - 3 x$	$y = \sqrt{x}$
$y = \| x \| + 1$	$y = 2^{x}$