Zie figuur 1.

figuur 1

figuur 2

$\Delta B=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \Delta t+\frac{1}{2}\cdot (8+\Delta t)\cdot \Delta t=8\Delta t+\frac{1}{2}{(\Delta t)}^2$
Dus $\frac{\Delta B}{\Delta t}=8+\frac{1}{2}\Delta t$.

Zie figuur 2.

$\Delta B=\frac{1}{2}\cdot (a+2)\cdot \Delta t+\frac{1}{2}\cdot (a+2+\Delta t)\cdot \Delta t=(a+2)\Delta t+\frac{1}{2}{(\Delta t)}^2$

$\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta B}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }(a+2+\frac{1}{2}\Delta t)=a+2$

-

-

-

$1\frac{1}{2}$

$1\frac{1}{2}$

$7$

Zie plaatje, oker, domein $\left[\mathrm{0,7}\right]$, bereik $\left[\mathrm{0,4}\right]$.

$2$ ; $0$ ; $\mathrm{‐}2$

Zie plaatje onderdeel b, blauw.

Ik vind dat die niet bestaan, we komen hier in vwo5 op terug. Je kunt ook kijken in paragraaf 7.

De blauwe rechthoeken hebben oppervlakte $5\Delta x$ en de oker ${(\Delta x)}^2$, dus $\Delta f=5\Delta x+5\Delta x+{(\Delta x)}^2$, dus $\frac{\Delta f}{\Delta x}=10+\Delta x$.
Groeisnelheid $=10$.

Een blauwe rechthoek heeft nu oppervlakte $a\Delta x$ dus: $\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{2a\Delta x+{(\Delta x)}^2}{\Delta x}$;
De limiet is $2a$.

De groeisnelheid van $f(x)$ als $x=a$ is $2a$, dus $f^{\prime }(x)=2x$.

Noem de eerste coördinaat van dat punt $a$. De helling in dat punt is $2a$, dus $2a=8$, dus in $(\mathrm{4,16})$.

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is $f^{\prime }(\mathrm{‐}10)=\mathrm{‐}20$.
De raaklijn heeft dus vergelijking $y=\mathrm{‐}20x+b$ en gaat door $(\mathrm{‐}\mathrm{10,100})$, dus $100=\mathrm{‐}20\cdot \mathrm{‐}10+b$, dus $b=\mathrm{‐}100$.
Een vergelijking is: $y=\mathrm{‐}20x-100$.

${(2+\Delta x)}^3=8+12\cdot \Delta x+6\cdot {(\Delta x)}^2+1\cdot {(\Delta x)}^3$

Er zijn drie platen (voor, opzij en boven) met inhoud $4\cdot \Delta x$, er zijn drie staven (rechterrand en voorrand boven en rechts voor op de hoek) met inhoud $2\cdot {(\Delta x)}^2$ en een kubus rechtsvoor, boven met inhoud ${(\Delta x)}^3$.

${(\mathrm{2,01})}^3=8+12\cdot \mathrm{0,01}=\mathrm{8,12}$ en ${(\mathrm{1,99})}^3=8-12\cdot \mathrm{0,01}=\mathrm{7,88}$
Verwaarloosd zijn de drie staven van $\Delta x$ bij $\Delta x$ bij $2$ en het kubusje met ribbe $\Delta x$.

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=12$

${(a+\Delta x)}^3=a^3+3\cdot a^2\cdot \Delta x+3\cdot a\cdot {(\Delta x)}^2+{(\Delta x)}^3$, dus
$\Delta y=3\cdot a^2\cdot \Delta x+3\cdot a\cdot {(\Delta x)}^2+{(\Delta x)}^3$
$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{3\cdot a^2\cdot \Delta x+3\cdot a\cdot {(\Delta x)}^2+{(\Delta x)}^3}{\Delta x}=$
$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }3\cdot a^2+3\cdot a\cdot \Delta x+\Delta x^2=3a^2$

$v\cdot T=600$ of $T=\frac{600}{v}$

$\mathrm{0,0118}$ uur $\approx$ $7$ minuten

$\frac{600}{100+\Delta v}-6$

$\Delta T=\frac{600}{100+\Delta v}-6=\frac{600}{100+\Delta v}-\frac{6(100+\Delta v)}{100+\Delta v}=\frac{\mathrm{‐}6\cdot \Delta v}{100+\Delta v}$,
dus $\frac{\Delta T}{\Delta v}=\frac{\mathrm{‐}6}{100+\Delta v}$.

$\underset{\Delta v\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{‐}6}{100+\Delta v}=\frac{\mathrm{‐}6}{100}=\mathrm{‐}\mathrm{0,06}$

$\Delta y=\frac{1}{a+\Delta x}-\frac{1}{a}=\frac{a}{a(a+\Delta x)}-\frac{a+\Delta x}{a(a+\Delta x)}=\frac{\mathrm{‐}\Delta x}{a(a+\Delta x)}$,
dan: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{‐}1}{a(a+\Delta x)}$.

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{‐}1}{a(a+\Delta x)}=\frac{\mathrm{‐}1}{a^2}=\mathrm{‐}\frac{1}{a^2}$

$\mathrm{3,003}$ ; $\mathrm{12,006}$

-

${\text{Y}}_{\text{2}}={\text{3X}}^{\text{2}}$, althans daar lijkt het sterk op.

-

$\mathrm{‐}\mathrm{599,4}$ ; $\mathrm{‐}\mathrm{149,9}$

-

${\text{Y}}_{\text{2}}=\mathrm{‐}600 / {\text{X}}^{\text{2}}$, althans daar lijkt het sterk op.