We maken een lijst met functies waarvan we de afgeleide kennen.
Maar wat is nu de afgeleide van bijvoorbeeld: ?
Daarover gaat het volgende.
Gegeven zijn de functies en .
Iemand heeft de gemiddelde helling van de grafiek van
berekend op het interval . De uitkomst is .
Wat is dan de gemiddelde helling van de grafiek van op dat interval?
Wat is het verband tussen de hellingfunctie van en de hellingfunctie van ?
In opgave 21 van paragraaf 3 De afgeleide functie hebben we de formule voor de afgeleide functie van gevonden: .
Wat is de formule voor ?
Als de functie een veelvoud van de functie is, dat wil zeggen er is een getal zodat voor alle , dan voor alle .
Gegeven is de functie .
Bereken de helling van de grafiek van in het punt met eerste coördinaat .
In welke punten van de grafiek van is de helling ?
Een steen valt van een toren van meter hoog. Uit de natuurkunde is bekend: ,
hierbij is het aantal meter dat de steen gevallen is na seconden.
(Hierbij is de valversnelling voor het gemak afgerond op m/s2.)
Na hoeveel seconden komt de steen op de grond?
Geef een formule voor de snelheid van de steen na seconden vallen (in m/s).
Na hoeveel seconden is de valsnelheid van de steen km per uur?
Met welke snelheid komt de steen op de grond?
Gegeven en .
De grafieken van de twee functies zijn hiernaast getekend.
Zie figuur 1.
Hoe ontstaat de grafiek van uit de grafiek van ?
Wat volgt daaruit over de gemiddelde helling van en op bijvoorbeeld het interval ?
Geef een formule voor de afgeleide functie van .
In figuur 2 staan de grafieken van drie functies , en .
Er geldt: , en , met andere woorden: .
Bereken de gemiddelde helling van , en op het interval .
Zie jij een verband tussen de drie uitkomsten?
Wat je in c gezien hebt, volgt uit het feit dat:
als .
Laat zien dat bovenstaande juist is.
Wat is het verband tussen de afgeleide functies van , en ?
Als , dan .
Speciaal geval
Als , waarbij een constante is, dan .
Een voorbeeld van het 'speciale geval', heb je in het begin van opgave 34 gezien.
als |
dan |
(regel uit paragraaf 3) |
als |
dan |
(veelvoudregel) |
als |
dan |
(somregel en voorgaande) |
Hiermee is de vraag aan het begin van de paragraaf beantwoord.
Gegeven .
Charles zegt: dan is dus .
Hughes zegt: dan en .
Wie heeft gelijk? Welke fout maakt de ander?
Differentieer de volgende functies.
Schrijf anders.