We maken een lijst met functies waarvan we de afgeleide kennen.

f : x a x + b

f : x a

f : x x 2

f : x 2 x

f : x x 3

f : x 3 x 2

f : x 1 x

f : x 1 x 2

Maar wat is nu de afgeleide van bijvoorbeeld: f : x x 3 + 2 x 2 ?
Daarover gaat het volgende.

1

Gegeven zijn de functies f : x x 2 en g : x 3 x 2 .
Iemand heeft de gemiddelde helling van de grafiek van f berekend op het interval [ 2 ; 2,001 ] . De uitkomst is 4,001 .

a

Wat is dan de gemiddelde helling van de grafiek van g op dat interval?

b

Wat is het verband tussen de hellingfunctie van f en de hellingfunctie van g ?

In opgave 19 van paragraaf 2 Groeisnelheid hebben we de formule voor de afgeleide functie van f gevonden: f ( x ) = 2 x .

c

Wat is de formule voor g ( x ) ?

Veelvoudregel

Als de functie g een veelvoud van de functie f is, dat wil zeggen er is een getal c zodat g ( x ) = c f ( x ) voor alle x , dan g ( x ) = c f ( x ) voor alle x .

2

Gegeven is de functie f : x 1 3 x 3 .

a

Bereken de helling van de grafiek van f in het punt met eerste coördinaat 6 .

b

In welke punten van de grafiek van f is de helling 2 ?

3

Een steen valt van een toren van 80  meter hoog. Uit de natuurkunde is bekend: s = 5 t 2 , hierbij is s het aantal meter dat de steen gevallen is na t seconden.
(Hierbij is de valversnelling voor het gemak afgerond op 10  m/s2.)

a

Na hoeveel seconden komt de steen op de grond?

b

Geef een formule voor de snelheid v van de steen na t seconden vallen (in m/s).

c

Na hoeveel seconden is de valsnelheid van de steen 120  km per uur?

d

Met welke snelheid komt de steen op de grond?

4
figuur 1

Gegeven f : x x 3 en g : x x 3 + 2 .
De grafieken van de twee functies zijn hiernaast getekend.
Zie figuur 1.

a

Hoe ontstaat de grafiek van g uit de grafiek van f ?
Wat volgt daaruit over de gemiddelde helling van f en g op bijvoorbeeld het interval [ 0,1 ] ?

b

Geef een formule voor de afgeleide functie van g .

In figuur 2 staan de grafieken van drie functies f , g en h .

figuur 2

Er geldt: f ( x ) = 1 2 x 3 , g ( x ) = x 2 en h ( x ) = 1 2 x 3 + x 2 , met andere woorden: h = f + g .

c

Bereken de gemiddelde helling van f , g en h op het interval [ 1,1 1 10 ] .
Zie jij een verband tussen de drie uitkomsten?

Wat je in c gezien hebt, volgt uit het feit dat:
h ( b ) h ( a ) b a = f ( b ) f ( a ) b a + g ( b ) g ( a ) b a als a b .

d

Laat zien dat bovenstaande juist is.

e

Wat is het verband tussen de afgeleide functies van f , g en h ?

Somregel

Als f = g + h , dan f = g + h .


Speciaal geval
Als f = g + c , waarbij c een constante is, dan f = g .

Opmerking:

Een voorbeeld van het 'speciale geval', heb je in het begin van opgave 34 gezien.

Voorbeeld:

als f : x x 3

dan f : x 3 x 2

(regel uit paragraaf 3)

als f : x 2 x 2

dan f : x 4 x

(veelvoudregel)

als f : x x 3 + 2 x 2

dan f : x 3 x 2 + 4 x

(somregel en voorgaande)

Hiermee is de vraag aan het begin van de paragraaf beantwoord.

5

Gegeven f : x x x 2 .
Charles zegt: dan is dus f ( x ) = 1 2 x = 2 x .
Hughes zegt: dan f ( x ) = x 3 en f ( x ) = 3 x 2 .

Wie heeft gelijk? Welke fout maakt de ander?

6

Differentieer de volgende functies.

f : x 3 x 3 + 2 x 2 + 5 x + 7

j : x 3 ( x + 1 ) ( x 1 )

g : x 3 x 3 1 2 x 2

k : x x 1 x

h : x 3 x 2 + 4 x 3 x

m : x 7 x

(hint)

Schrijf h ( x ) anders.