In het voorgaande hebben we de afgeleide van $y = x^{n}$ bepaald voor $n = 1$ , $n = 2$ , $n = 3$ en $n = ‐ 1$ .

In het volgende zullen dat doen voor positieve gehele getallen $n$ en $n = \frac{1}{2}$ .
Daarvoor herhalen we nog eens hoe je de afgeleide in een punt van de grafiek kunt berekenen.

Laat $P (a, b)$ een punt zijn van de grafiek van functie $f$ . Veronderstel dat de grafiek van $f$ glad is in $P$ , dus de grafiek heeft een raaklijn in $P$ .
De helling van de grafiek is de richtingscoëfficiënt van die raaklijn; die laat zich benaderen met $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y - b}{x - a}$ , waarbij $Δ x = x - a$ klein gekozen moet worden. Preciezer: als $Δ x$ nadert tot $0$ , nadert $\frac{Δ y}{Δ x}$ tot de richtingscoëfficiënt.
Ofwel: als $x$ nadert tot $a$ , nadert $\frac{y - b}{x - a}$ tot de richtingscoëfficiënt.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is de limiet (= grenswaarde) van $\frac{Δ y}{Δ x}$ , notatie: $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ of $\lim_{x \to a} \frac{y - b}{x - a}$ .

Deze limietwaarde zelf wordt wel genoteerd met $\frac{d y}{d x}$ .
Verderop wordt aan het ontstaan van die notatie aandacht besteed.

In deze opgave bepalen we de afgeleide in $(1,1)$ van de functie $y = x^{5}$ .
Die vinden we uit $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y - 1}{x - 1} = \frac{x^{5} - 1}{x - 1}$ door $x$ tot $1$ te laten naderen. Die waarde vind je niet door voor $x = 1$ in te vullen want dan zijn teller en noemer beide $0$ . Dus moeten we zorgvuldiger te werk gaan.

Ga door kruislings vermenigvuldigen na dat geldt: $\frac{x^{5} - 1}{x - 1} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4}$ .

Ga na dat $\lim_{x \to 1} \frac{x^{5} - 1}{x - 1} = 5$ , dus de helling van de grafiek van $y = x^{5}$ in $(1,1)$ is $5$ .

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{5} - 1}{x - 1} = 5$

Nu kunnen we de afgeleide van de functie $y = x^{5}$ in het punt met eerste coördinaat $a$ uitrekenen.
Dat is $\lim_{x \to a} \frac{x^{5} - a^{5}}{x - a}$ .
We nemen $z = \frac{x}{a}$ .

Laat zien: $\frac{x^{5} - a^{5}}{x - a} = a^{4} \cdot \frac{z^{5} - 1}{z - 1}$ .

Vul in: als $x \to a$ ( $x$ nadert tot $a$ ) dan $z \to \dots$ .

Dus $\lim_{x \to a} \frac{x^{5} - a^{5}}{x - a} = \lim_{z \to 1} (a^{4} \cdot \frac{z^{5} - 1}{z - 1}) = a^{4} \cdot 5 = 5 \cdot a^{4}$ .

Dus als $f : x \to x^{5}$ dan $f^{'} : x \to 5 x^{4}$ .
We kunnen op precies dezelfde manier te werk gaan bij andere positieve gehele exponenten $n$ . We concluderen:

Als $f : x \to x^{n}$ , dan $f' : x \to n \cdot x^{n - 1}$ ( $n$ positief geheel).

Opmerking:

Voor $n = 2$ en $n = 3$ hebben we dit al gezien.

Ga na of deze regel ook klopt voor $n = 1$ .

Ga na of deze regel ook klopt voor $n = 0$ .

Ga na of deze regel ook klopt voor $n = ‐ 1$ .

Gegeven de functie $y = x^{3}$ met daarop $P$ , het punt met eerste coördinaat $2$ .

Bereken langs algebraïsche weg de helling van de grafiek in het punt $P$ .

Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt $P$ .

Bereken langs algebraïsche weg de eerste coördinaat van de punten van de grafiek waar de raaklijn evenwijdig aan de lijn $O P$ is.

$A$ is een punt op de grafiek; het spiegelbeeld van $A$ in de oorsprong $O$ is $B$ .

Toon aan dat de raaklijnen in $A$ en $B$ aan de grafiek evenwijdig zijn.

Voorbeeld:

Vergelijking van een raaklijn opstellen

Gegeven $f : x \to x^{2} + 4 x$ met daarop het punt $P$ met eerste coördinaat $3$ .
Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt $P$ .

Oplossing
$f (3) = 3^{2} + 4 \cdot 3 = 21$ , dus $P (3,21)$ .
$f^{'} (x) = 2 x + 4$ , dus $f^{'} (3) = 2 \cdot 3 + 4 = 10$ .
De raaklijn gaat dus door $(3,21)$ en heeft richtingscoëfficiënt $10$ .
Een vergelijking van die lijn is: $y = 10 x + b$ , voor zeker getal $b$ .
$(3,21)$ moet aan de vergelijking voldoen, dus $21 = 3 \cdot 10 + b$ , dus $b = ‐ 9$ .
Een vergelijking van de raaklijn is dus: $y = 10 x - 9$ .

Op de GR heb je de mogelijkheid in een punt de raaklijn aan een grafiek te tekenen. Ook krijg je de vergelijking van die raaklijn. Zoek uit hoe dat gaat.

Gegeven $f_{n} : x \to x^{n}$ , met $n$ positief geheel, $Q (1,1)$ .
Maak deze opgave zonder GR.

Bewijs dat de raaklijn aan de grafiek van $f_{3} : x \to x^{3}$ in $Q$ de $y$ -as snijdt in het punt $P (0, ‐ 2)$ .

In welk punt snijdt de raaklijn in $Q$ aan de grafiek van $f_{4}$ de $y$ -as?

Voor welke $n$ snijdt de raaklijn in $Q$ aan de grafiek van $f_{n}$ de $x$ -as in het punt $(\frac{5}{6},0)$ ?

Voor welke $n$ snijdt de raaklijn in $Q$ aan de grafiek van $f_{n}$ de $y$ -as in het punt $(0, ‐ 18)$ ?

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ .

Teken de grafiek (op de GR of in GeoGebra).

De grafiek heeft drie punten met een horizontale raaklijn.

Bereken de eerste coördinaat van die punten exact.

Een horizontale lijn snijdt de grafiek van $f$ in vier punten. We noemen die van links naar rechts $A$ , $B$ , $C$ en $D$ .
Er geldt: $A B = B C = C D$ .

Bereken de lengte van die drie stukken.

(hint)

Noem de eerste coördinaat van $C$ $a$ , dan is de eerste coördinaat van $D$ $3 a$ .

Teken met window [0,1] x [0,1] de grafieken van $f_{n} : x \to x^{n}$ , voor $n = 1, 2, 3, 4$ .
Aan het begin ( $x = 0$ ) groeit $f_{1}$ sneller dan $f_{2}$ , aan het eind ( $x = 1$ ) groeit $f_{2}$ sneller dan $f_{1}$ .

Bereken exact vanaf welke waarde van $x$ de functie $f_{2}$ sneller groeit dan $f_{1}$ .

Bereken exact vanaf welke waarde van $x$ de functie $f_{3}$ sneller groeit dan $f_{2}$ .

Over de notatie $\frac{d y}{d x}$

Gottfried Wilhelm Leibniz
1646 - 1716

Zoals gezegd, is de notatie $\frac{d y}{d x}$ afkomstig van $\frac{Δ y}{Δ x}$ . In de zeventiende eeuw is de notatie ingevoerd door een van de ontdekkers van de differentiaalrekening: Gottfried Wilhelm Leibniz.
$Δ y$ en $Δ x$ stellen (zeer) kleine toenamen voor van $y$ en $x$ . $\frac{Δ y}{Δ x}$ is het quotiënt van die kleine toenamen, het zogenaamde differentiequotiënt.

Leibniz sprak bij $d y$ en $d x$ over oneindig kleine toenames van $y$ en $x$ . Maar oneindig klein is strikt genomen $0$ en als $d y$ en $d x$ beide $0$ zijn, wat moet je dan met $\frac{d y}{d x}$ ?
Dat ontlokte bij tijdgenoten van Leibniz spottende kritiek als zou de nieuwe methode van de differentiaalrekening onzin zijn, onder anderen van de Nederlandse wiskundige Bernard Nieuwentijt (arts en burgemeester te Purmerend).
$\frac{d y}{d x}$ noemt men wel een differentiaalquotiënt.
Voor ons is $\frac{d y}{d x}$ niets meer of minder dan een notatie voor de exacte helling van de grafiek, een notatie die doet denken aan de manier waarop je de helling benadert, namelijk met $\frac{Δ y}{Δ x}$ . Je spreekt $\frac{d y}{d x}$ uit als "dé-ij- dé-iks".

De afgeleide van de wortelfunctie

Hieronder staat de grafiek van $y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ .

Wat weet je op grond van het plaatje te vertellen over de groeisnelheid van $y$ ten opzichte van $x$ , als $x$ een groot getal is?
En als $x$ een klein positief getal is?

Bepaal met een rekenschema de groeisnelheid van $y$ ten opzichte van $x$ , als $x = 4$ , als $x = 1$ en als $x = \frac{1}{25}$ .
Controleer in de grafiek of je antwoorden ongeveer kloppen.

Ga na dat $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{a}}{x - a} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{a}}$ , met $x \neq a$ .

Als we de helling van de functie $y = \sqrt{x}$ in $a$ willen hebben, moeten we $\lim_{x \to a} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{a}}{x - a}$ hebben.

Bepaal deze limiet met behulp van c.

Dus $\frac{d}{d x} \sqrt{x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Controleer met deze regel je antwoorden in b.

$\frac{d}{d x} \sqrt{x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Als $f : x \to x^{n}$ , dan $f' : x \to n \cdot x^{n - 1}$ ( $n$ positief geheel).

Ga na dat deze regel ook juist is voor $n = \frac{1}{2}$ .

Geef van de volgende functies een formule van de afgeleide.

$f : x \to 2 \sqrt{x} + \frac{1}{x} + 3$ ,
$g : x \to 3 \sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)$ ,
$h : x \to \frac{{(x + 1)}^{2}}{x}$

(hint)

Schrijf $h (x)$ anders.

Bereken exact de helling van de grafiek van $y = \sqrt{x}$ in het punt $(9,3)$ .

Stel een exacte vergelijking op van de raaklijn in dat punt.

We bekijken de raaklijn aan de grafiek van $y = \sqrt{x}$ in het punt $(5, \sqrt{5})$ .

Stel een vergelijking op van de raaklijn in dat punt.

Deze raaklijn snijdt de $x$ -as in $A$ en de $y$ -as in $B$ .

Bereken de coördinaten van $A$ en $B$ .

Laat zien dat $B$ midden tussen het raakpunt $(5, \sqrt{5})$ en $A$ in ligt.

Dezelfde vragen voor het raakpunt $(p, \sqrt{p})$ .

Gegeven is de functie $f : x \to x - 3 \sqrt{x}$ en de lijn met vergelijking $x + 2 y = 0$ . In het plaatje is de grafiek van $f$ en de lijn getekend.

Bereken exact voor welke $x$ geldt: $f (x) = 0$ .

Geef een formule voor $f^{'} (x)$ .

Bereken exact de coördinaten van het punt op de grafiek van $f$ , waar de raaklijn horizontaal is.

Hoe zie je dat aan de formule van $f^{'} (x)$ dat in de buurt van de oorsprong de grafiek van $f$ bijna verticaal loopt?

Is er een punt op de grafiek van $f$ waar de helling $2$ is?
Welke waarden kan $f^{'} (x)$ hebben?

Geef langs algebraïsche weg een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van $f$ die evenwijdig is met de lijn $x + 2 y = 0$ .

We bekijken lijnen met een vergelijking van de vorm:
$x + 2 y = p$ . Hierbij mag $p$ alle mogelijke waarden aannemen. Al die lijnen zijn evenwijdig met de lijn $x + 2 y = 0$ .

Bereken exact voor welke waarden van $p$ de lijn
$x + 2 y = p$ precies twee punten gemeenschappelijk heeft met de grafiek van $f$ .

(hint)

Door $p$ te variëren, verschuift de lijn. Gebruik nu onderdeel f en de grafiek.