$(1+x+x^2+x^3+x^4)(x-1)=x+x^2+x^3+x^4+x^5-(1+x+x^2+x^3+x^4)=x^5-1$

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^5-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(1+x+x^2+x^3+x^4\right)=1+1+1+1+1=5$

$a^4\frac{z^5-1}{z-1}=\frac{a^5{z}^5-a^5}{az-a}=\frac{x^5-a^5}{x-a}$

Als $x\to a$ dan $z\to 1$.

Ja, $x^0=1$.

Ja.

Ja, $\mathrm{‐}1\cdot x^{\mathrm{‐}2}=\mathrm{‐}\frac{1}{x^2}$.

$y^{\prime }=3x^2$, de helling is $3\cdot 2^2=12$.

Vergelijking raaklijn $y=12x+b$. De raaklijn gaat door $P(\mathrm{2,8})$, dus $8=12\cdot 2+b$, dus $b=\mathrm{‐}16$.
Vergelijking raaklijn $y=12x-16$.

De richtingscoëfficiënt van lijn $OP$ is $4$. Noem de eerste coördinaat van een gezocht punt $a$, dan $3a^2=4$, dus $a=\pm \frac{2}{3}\sqrt{3}$.

Noem de eerste coördinaat van $A$: $a$, dan is de eerste coördinaat van $B$: $\mathrm{‐}a$.
De helling van de grafiek in $A$ is $3a^2$ en die in $B$ is $3{(\mathrm{‐}a)}^2=3a^2$, dus hetzelfde.

Helling raaklijn is $f_3^{\prime }(1)=3\cdot 1^2=3$, dus raaklijn $y=3x-2$.
Deze lijn snijdt de $y$-as snijdt in het punt $P(0,\mathrm{‐}2)$.

Helling raaklijn is $f_4^{\prime }(1)=4\cdot 1^3=4$, dus raaklijn $y=4x-3$.
Deze lijn snijdt de $y$-as snijdt in het punt $P(0,\mathrm{‐}3)$.

Raaklijn heeft helling $f_n^{\prime }(1)=n\cdot 1^{n-1}=n$.
Vergelijking raaklijn is: $y=nx-(n-1)$.
Eerste coördinaat van het snijpunt van deze lijn met de $x$-as is $\frac{n-1}{n}$,
dus $n=6$.

$(\mathrm{0,}\mathrm{‐}18)$ ligt op de lijn met vergelijking $y=nx-(n-1)$, dus $\mathrm{‐}18=n\cdot 0-(n-1)$, dus $n=19$.

-

Er geldt: $f^{\prime }(x)=4x^3-4x$. Voor de eerste coördinaat $x$ van die punten geldt: $4x^3-4x=0\iff x=1$, $x=0$ of $x=\mathrm{‐}1$.

De eerste coördinaat van $C$ noemen we $a$, de eerste coördinaat van $D$ is dan $3a$ en: $f(a)=f(3a)\iff 81a^4-18a^2=a^4-2a^2$.
Dus: $80a^4-16a^2=0\iff 5a^4-a^2=0\iff a^2(5a^2-1)=0$, dus $a=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}\sqrt{5}$ (want $a>0$).
De drie stukken hebben lengte $3a-a=2a=\frac{2}{5}\sqrt{5}$.

$f_2^{\prime }(x)=f_1^{\prime }(x)\iff 2x=1\iff x=\frac{1}{2}$. Vanaf $x=\frac{1}{2}$.

$f_3^{\prime }(x)=f_2^{\prime }(x)\iff 3x^2=2x\iff x=\frac{2}{3}$ $(x>0)$, dus vanaf $x=\frac{2}{3}$.

Als $x$ groot wordt, dan gaat de helling van de positieve kant naar $0$.
Als $x$ een klein positief getal is, wordt de helling oneindig groot.

$\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{2}$ ; $2\frac{1}{2}$

Kruislings vermenigvuldigen.

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a}}=\frac{1}{2\sqrt{a}}$

-

$\frac{1}{2}{x}^{\mathrm{‐}\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}$
$g(x)=3x+6\sqrt{x}$, dus $g^{\prime }(x)=3+\frac{3}{\sqrt{x}}$,
$h(x)=\frac{x^2+2x+1}{x}=x+2+\frac{1}{x}$, dus $h^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}$.

$\frac{1}{6}$

Vergelijking $y=\frac{1}{6}x+b$, gaat door $(\mathrm{9,3})$, dus $3=\frac{1}{6}\cdot 9+b$, dus $b=1\frac{1}{2}$, dus vergelijking: $y=\frac{1}{6}x+1\frac{1}{2}$.

In dat punt is de helling $\frac{1}{2\sqrt{5}}$, een vergelijking is dus: $y=\frac{x}{2\sqrt{5}}+b$. De lijn gaat door $(\mathrm{5,}\sqrt{5})$, dus $\sqrt{5}=\frac{5}{2\sqrt{5}}+b$, dus $b=\frac{1}{2}\sqrt{5}$, een vergelijking is dus: $y=\frac{x}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{5}$.

$A(\mathrm{‐}\mathrm{5,0})$ en $B(\mathrm{0,}\frac{1}{2}\sqrt{5})$

De eerste coördinaten van $A$ en het raakpunt zijn $\mathrm{‐}5$ en $5$, de eerste coördinaat van $B$ ligt daar precies tussenin. Zelfde voor de tweede coördinaten.

Vergelijking van de raaklijn opstellen.
De helling van de raaklijn is $\frac{1}{2\sqrt{p}}$, dus een vergelijking van de raaklijn is $y=\frac{1}{2\sqrt{p}}x+b$ voor een of ander getal $b$.
De raaklijn gaat door $(p,\sqrt{p})$, dus $\sqrt{p}=\frac{1}{2\sqrt{p}}p+b$, dus $\sqrt{p}=\frac{1}{2}\sqrt{p}+b$, dus een vergelijking van de raaklijn is: $y=\frac{x}{2\sqrt{p}}+\frac{1}{2}\sqrt{p}$.
De raaklijn snijdt de $y$-as in $(\mathrm{0,}\frac{1}{2}\sqrt{p})$ en de $x$-as in $(\mathrm{‐}p\mathrm{,0})$. Verder dezelfde redenering als in c.

$f(x)=0\iff x-3\sqrt{x}\iff \sqrt{x}(\sqrt{x}-3)=0\iff x=0$ of $x=9$

$f^{\prime }(x)=1-\frac{3}{2\sqrt{x}}$

$f^{\prime }(x)=1-\frac{3}{2\sqrt{x}}=0\iff 2\sqrt{x}=3\iff x=2\frac{1}{4}$, dus in $(2\frac{1}{4},\mathrm{‐}2\frac{1}{4})$.

$\underset{x\downarrow 0}{\lim }(1-\frac{3}{2\sqrt{x}})=\mathrm{‐}\infty$

Nee, want $\frac{3}{2\sqrt{x}}>0$ voor alle $x$; $\frac{3}{2\sqrt{x}}$ kan alle positieve waarden aannemen, dus $f^{\prime }(x)$ kan alle waarden kleiner dan $1$ hebben.

Dan $1-\frac{3}{2\sqrt{x}}=\mathrm{‐}\frac{1}{2}\iff \frac{3}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\iff \sqrt{x}=1\iff x=1$, dus in $(\mathrm{1,}\mathrm{‐}2)$.
Raaklijn: $y=\mathrm{‐}\frac{1}{2}(x-1)-2=\mathrm{‐}\frac{1}{2}x-1\frac{1}{2}$

Als $p=\mathrm{‐}3$ raakt de lijn $x+2y=p$ de grafiek, dan is er één gemeenschappelijk punt,
als $p<\mathrm{‐}3$ zijn er geen gemeenschappelijke punten,
als $p>0$ is er één gemeenschappelijk punt (de lijn ligt dan 'boven' $O$).
Er zijn precies twee punten als $\mathrm{‐}3<p\le 0$ (met behulp van de grafiek).