6.5  Meer machtsfuncties afleiden >
1
a

( 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ) ( x 1 ) = x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ( 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ) = x 5 1

b

lim x 1 x 5 1 x 1 = lim x 1 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

2
a

a 4 z 5 1 z 1 = a 5 z 5 a 5 a z a = x 5 a 5 x a

b

Als x a dan z 1 .

3
a

Ja, x 0 = 1 .

b

Ja.

c

Ja, 1 x 2 = 1 x 2 .

4
a

y = 3 x 2 , de helling is 3 2 2 = 12 .

b

Vergelijking raaklijn y = 12 x + b . De raaklijn gaat door P ( 2,8 ) , dus 8 = 12 2 + b , dus b = 16 .
Vergelijking raaklijn y = 12 x 16 .

c

De richtingscoëfficiënt van lijn O P is 4 . Noem de eerste coördinaat van een gezocht punt a , dan 3 a 2 = 4 , dus a = ± 2 3 3 .

d

Noem de eerste coördinaat van A : a , dan is de eerste coördinaat van B : a .
De helling van de grafiek in A is 3 a 2 en die in B is 3 ( a ) 2 = 3 a 2 , dus hetzelfde.

5
a

Helling raaklijn is f 3 ( 1 ) = 3 1 2 = 3 , dus raaklijn y = 3 x 2 .
Deze lijn snijdt de y -as snijdt in het punt P ( 0 , 2 ) .

b

Helling raaklijn is f 4 ( 1 ) = 4 1 3 = 4 , dus raaklijn y = 4 x 3 .
Deze lijn snijdt de y -as snijdt in het punt P ( 0 , 3 ) .

c

Raaklijn heeft helling f n ( 1 ) = n 1 n 1 = n .
Vergelijking raaklijn is: y = n x ( n 1 ) .
Eerste coördinaat van het snijpunt van deze lijn met de x -as is n 1 n ,
dus n = 6 .

d

( 0, 18 ) ligt op de lijn met vergelijking y = n x ( n 1 ) , dus 18 = n 0 ( n 1 ) , dus n = 19 .

6
a

-

b

Er geldt: f ( x ) = 4 x 3 4 x . Voor de eerste coördinaat x van die punten geldt: 4 x 3 4 x = 0 x = 1 , x = 0 of x = 1

c

De eerste coördinaat van C noemen we a , de eerste coördinaat van D is dan 3 a en: f ( a ) = f ( 3 a ) 81 a 4 18 a 2 = a 4 2 a 2 .
Dus: 80 a 4 16 a 2 = 0 5 a 4 a 2 = 0 a 2 ( 5 a 2 1 ) = 0 , dus a = 1 5 = 1 5 5 (want a > 0 ).
De drie stukken hebben lengte 3 a a = 2 a = 2 5 5 .

7
a

f 2 ( x ) = f 1 ( x ) 2 x = 1 x = 1 2 . Vanaf x = 1 2 .

b

f 3 ( x ) = f 2 ( x ) 3 x 2 = 2 x x = 2 3 ( x > 0 ) , dus vanaf x = 2 3 .

De afgeleide van de wortelfunctie
8
a

Als x groot wordt, dan gaat de helling van de positieve kant naar 0 .
Als x een klein positief getal is, wordt de helling oneindig groot.

b

1 4 ; 1 2 ; 2 1 2

c

Kruislings vermenigvuldigen.

d

lim x a x a x a = lim x a 1 x + a = 1 a + a = 1 2 a

e

-

9
a

1 2 x 1 2 = 1 2 1 x = 1 2 x

b

f ( x ) = 1 x 1 x 2
g ( x ) = 3 x + 6 x , dus g ( x ) = 3 + 3 x ,
h ( x ) = x 2 + 2 x + 1 x = x + 2 + 1 x , dus h ( x ) = 1 1 x 2 .

10
a

1 6

b

Vergelijking y = 1 6 x + b , gaat door ( 9,3 ) , dus 3 = 1 6 9 + b , dus b = 1 1 2 , dus vergelijking: y = 1 6 x + 1 1 2 .

11
a

In dat punt is de helling 1 2 5 , een vergelijking is dus: y = x 2 5 + b . De lijn gaat door ( 5, 5 ) , dus 5 = 5 2 5 + b , dus b = 1 2 5 , een vergelijking is dus: y = x 2 5 + 1 2 5 .

b

A ( 5,0 ) en B ( 0, 1 2 5 )

c

De eerste coördinaten van A en het raakpunt zijn 5 en 5 , de eerste coördinaat van B ligt daar precies tussenin. Zelfde voor de tweede coördinaten.

d

Vergelijking van de raaklijn opstellen.
De helling van de raaklijn is 1 2 p , dus een vergelijking van de raaklijn is y = 1 2 p x + b voor een of ander getal b .
De raaklijn gaat door ( p , p ) , dus p = 1 2 p p + b , dus p = 1 2 p + b , dus een vergelijking van de raaklijn is: y = x 2 p + 1 2 p .
De raaklijn snijdt de y -as in ( 0, 1 2 p ) en de y -as in ( p ,0 ) . Verder dezelfde redenering als in c.

12
a

f ( x ) = 0 x 3 x x ( x 3 ) = 0 x = 0 of = 9

b

f ( x ) = 1 3 2 x

c

f ( x ) = 1 3 2 x = 0 2 x = 3 x = 2 1 4 , dus in ( 2 1 4 , 2 1 4 ) .

d

lim x 0 ( 1 3 2 x ) =

e

Nee, want 3 2 x > 0 voor alle x ; 3 2 x kan alle positieve waarden aannemen, dus f ( x ) kan alle waarden kleiner dan 1 hebben.

f

Dan 1 3 2 x = 1 2 3 2 x = 3 2 x = 1 x = 1 , dus in ( 1, 2 ) .
Raaklijn: y = 1 2 ( x 1 ) 2 = 1 2 x 1 1 2

g

Als p = 3 raakt de lijn x + 2 y = p de grafiek, dan is er één gemeenschappelijk punt,
als p < 3 zijn er geen gemeenschappelijke punten,
als p > 0 is er één gemeenschappelijk punt (de lijn ligt dan 'boven' O ).
Er zijn precies twee punten als 3 < p 0 (met behulp van de grafiek).