We zijn nu in staat alle functies te differentiëren die van de vorm zijn. Dit soort functies heten veeltermfuncties. In de vorige paragraaf heb je al veel voorbeelden van veeltermfuncties gezien.
Wat moet je hierboven voor , , en kiezen om de functie te krijgen?
Ook is een veeltermfunctie.
Wat moet je hierboven voor , , en kiezen om deze functie te krijgen?
Noem een paar functies die geen veeltermfunctie zijn.
In het bijzonder is elke tweedegraadsfunctie een veeltermfunctie: met . De grafiek van dit soort functies is een parabool.
Wat weet je van de getallen , en als:
de parabool door de oorsprong gaat,
de parabool een bergparabool is,
de top van de parabool op de -as ligt,
de top van de parabool op de -as ligt?
Gebruik de discriminant.
Bekijk de tweedegraadsfunctie .
Bereken de coördinaten van de top, dat is het punt waar de raaklijn horizontaal is.
Bekijk de tweedegraadsfunctie .
Bereken de eerste coördinaat van de top, uitgedrukt in , en/of .
Hiernaast staan de grafieken van de functies en .
is de somfunctie van en , dus voor alle .
Uit de grafieken van en volgt direct hoe de grafiek van er globaal uitziet.
Maak een schets van de grafiek van . Controleer je antwoord met de GR.
Bereken de exacte waarden van waarvoor geldt: .
Bereken de coördinaten van de punten van de grafiek van waarin de raaklijn horizontaal is.
Teken de grafiek van op de GR en lees af op welke intervallen afnemende/toenemende daling/stijging heeft. Onderscheid vier -intervallen.
Wat is de meest negatieve waarde van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van ?
Aan de afgeleide van een functie kun je zien of de functie daalt of stijgt. Daar waar de afgeleide (de helling) positief is, stijgt de functie; daar waar de afgeleide negatief is, daalt de functie. Dat is met "" en "" aangegeven in het plaatje.
Als voor alle met , dan is stijgend op het interval .
Als voor alle met , dan is dalend op het interval .
Als voor alle met , dan is constant op het interval .
Gegeven is de functie .
Beantwoord de volgende vragen met behulp van .
Op welk -interval is stijgend?
Op welk -interval is dalend?
Controleer je antwoorden met de grafiek op de GR.
In het plaatje staan de grafieken van drie derdegraadsfuncties: , en .
Bereken de afgeleide functies , en .
Leg uit hoe je aan kunt zien dat de functie overal stijgend is.
Leg uit hoe je aan kunt zien dat de grafiek van dalend is op het -interval .
Weet je nu welke van de drie de grafiek van is? En welke de grafiek van is?
Er zijn twee punten op de grafiek waar de raaklijn horizontaal is.
Bereken de coördinaten van die punten exact.
Op welk -interval is dalend? Op welke -intervallen is stijgend?
Laat zien dat .
Leg uit hoe je aan deze laatste formule kunt zien dat de helling het kleinst is als .
Hoe groot is die kleinste helling?
We bekijken de functies van de vorm .
We gaan met de GR onderzoeken hoe de grafiek er uit ziet voor verschillende
waarden van en .
Kies verschillende waarden voor en (positieve, negatieve en nul) en laat de GR de grafiek tekenen.
Als is de grafiek niet zo interessant. Waarom niet?
Wat is het verschil voor de grafiek tussen de gevallen " is positief" en " is negatief"?
Neem eerst het geval " positief". De vorm van de grafiek hangt ervan af of positief, negatief of nul is.
Schets in elk van deze drie gevallen het type grafiek. Breng het verschil tussen de drie types onder woorden.
Dezelfde opdracht voor het geval " negatief".
Bij vierdegraads functies is er nog meer variatie dan bij derdegraads functies. Dat
laten we zien aan de hand van , , en .
Bij elk van deze functies is een tabel gemaakt.
Bekijk de tabel van . Het lijkt er in de tabel op dat de kleinste -waarde is: de minimale waarde van de functie.
Hoe zie je aan de formule dat dat inderdaad zo is?
Schets de grafiek van . Controleer je tekening op de GR.
Bereken exact de waarden van waarvoor .
De nulpunten van een functie zijn de oplossingen van de vergelijking .
Bekijk de tabel van .
Het lijkt er in de tabel op dat het minimum van de functie is. Bij deze functie kun je niet direct aan de formule
zien of dat waar is! Als het minimum is, moet de raaklijn in het betreffende punt van de grafiek horizontaal
zijn.
Controleer met een exacte berekening of dat het geval is.
Schets de grafiek van . Controleer je tekening met de GR.
Bereken exact de nulpunten van de functie.
Als de functie een maximum of een minimum bereikt in , dan noemen we een extreme waarde. Bij een gladde functie geldt voor de eerste coördinaat van zo'n punt: .
Bekijk de tabel van . Net als in de vorige opgave lijkt het minimum te zijn. Schijn bedriegt.
Laat zien dat niet het minimum kan zijn.
Bereken het minimum van de functie.
Schets de grafiek van . Controleer je tekening op de GR.
Bereken exact de nulpunten van de functie.
Bekijk de tabel van .
Bereken exact het minimum van de functie.
Teken de grafiek van deze functie op de GR.
Ga na dat er twee punten zijn waar de raaklijn horizontaal is, maar dat maar in één
van die punten
extreem is.
Bereken exact de nulpunten van de functie.
Hiernaast staat de grafiek van de vijfdegraads functie:
.
De grafiek heeft vier punten met een horizontale raaklijn.
Bereken exact de eerste coördinaat van elk van deze punten.
Voor alle geldt: .
Toon dat aan.
Uit het voorgaande volgt . (Ga dat na.)
Wat betekent dit voor de grafiek van ?