We zijn nu in staat alle functies te differentiëren die van de vorm y = a + b x + c x 2 + d x 3 + zijn. Dit soort functies heten veeltermfuncties. In de vorige paragraaf heb je al veel voorbeelden van veeltermfuncties gezien.

1
a

Wat moet je hierboven voor a , b , c en d kiezen om de functie y = 1 3 x 3 x + 2 te krijgen?

Ook y = 1 2 ( x 2 ) 2 is een veeltermfunctie.

b

Wat moet je hierboven voor a , b , c en d kiezen om deze functie te krijgen?

c

Noem een paar functies die geen veeltermfunctie zijn.

2

In het bijzonder is elke tweedegraadsfunctie een veeltermfunctie: y = a x 2 + b x + c met a 0 . De grafiek van dit soort functies is een parabool.
Wat weet je van de getallen a , b en c als:

a

de parabool door de oorsprong gaat,

b

de parabool een bergparabool is,

c

de top van de parabool op de y -as ligt,

d

de top van de parabool op de x -as ligt?

(hint)

Gebruik de discriminant.

3

Bekijk de tweedegraadsfunctie y = 1 2 x 2 + 4 x + 1 .

a

Bereken de coördinaten van de top, dat is het punt waar de raaklijn horizontaal is.

Bekijk de tweedegraadsfunctie y = a x 2 + b x + c .

b

Bereken de eerste coördinaat van de top, uitgedrukt in a , b en/of c .

4

Hiernaast staan de grafieken van de functies f : x 1 3 x 3 en g : x x .
s is de somfunctie van f en g , dus s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) voor alle x .
Uit de grafieken van f en g volgt direct hoe de grafiek van s er globaal uitziet.

a

Maak een schets van de grafiek van s . Controleer je antwoord met de GR.

b

Bereken de exacte waarden van x waarvoor geldt: s ( x ) = 0 .

c

Bereken de coördinaten van de punten van de grafiek van s waarin de raaklijn horizontaal is.

d

Teken de grafiek van s op de GR en lees af op welke intervallen afnemende/toenemende daling/stijging heeft. Onderscheid vier x -intervallen.

e

Wat is de meest negatieve waarde van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van s ?

Aan de afgeleide van een functie kun je zien of de functie daalt of stijgt. Daar waar de afgeleide (de helling) positief is, stijgt de functie; daar waar de afgeleide negatief is, daalt de functie. Dat is met " + " en " " aangegeven in het plaatje.

  • Als f ( x ) > 0 voor alle x met a < x < b , dan is f stijgend op het interval [ a , b ] .

  • Als f ( x ) < 0 voor alle x met a < x < b , dan is f dalend op het interval [ a , b ] .

  • Als f ( x ) = 0 voor alle x met a < x < b , dan is f constant op het interval [ a , b ] .

5

Gegeven is de functie f : x 1 5 x 2 2 x + 6 .
Beantwoord de volgende vragen met behulp van f ( x ) .

Op welk x -interval is f stijgend?
Op welk x -interval is f dalend?
Controleer je antwoorden met de grafiek op de GR.

6

In het plaatje staan de grafieken van drie derdegraadsfuncties: f : x x 3 12 x , g : x x 3 en h : x x 3 + 12 x .

a

Bereken de afgeleide functies f ( x ) , g ( x ) en h ( x ) .

b

Leg uit hoe je aan h ( x ) kunt zien dat de functie h overal stijgend is.

c

Leg uit hoe je aan f ( x ) kunt zien dat de grafiek van f dalend is op het x -interval [ 2,2 ] .

d

Weet je nu welke van de drie de grafiek van f is? En welke de grafiek van h is?

7

f : x 1 3 x 3 6 x 2 + 27 x

Er zijn twee punten op de grafiek waar de raaklijn horizontaal is.

a

Bereken de coördinaten van die punten exact.

b

Op welk x -interval is f dalend? Op welke x -intervallen is f stijgend?

c

Laat zien dat f ( x ) = ( x 6 ) 2 9 .

d

Leg uit hoe je aan deze laatste formule kunt zien dat de helling f ( x ) het kleinst is als x = 6 .
Hoe groot is die kleinste helling?

8

We bekijken de functies van de vorm f : x a x 3 + b x .
We gaan met de GR onderzoeken hoe de grafiek er uit ziet voor verschillende waarden van a en b .

a

Kies verschillende waarden voor a en b (positieve, negatieve en nul) en laat de GR de grafiek tekenen.

b

Als a = 0 is de grafiek niet zo interessant. Waarom niet?

Wat is het verschil voor de grafiek tussen de gevallen " a is positief" en " a is negatief"?

c

Neem eerst het geval " a positief". De vorm van de grafiek hangt er van af of b positief, negatief of nul is.
Schets in elk van deze drie gevallen het type grafiek. Breng het verschil tussen de drie types onder woorden.

d

Dezelfde opdracht voor het geval " a negatief".

Bij vierdegraads functies is er nog meer variatie dan bij derdegraads functies. Dat laten we zien aan de hand van y = x 4 4 , y = x 4 4 x , y = x 4 4 x 2 en y = x 4 4 x 3 .
Bij elk van deze functies is een tabel gemaakt.

9

Bekijk de tabel van y = x 4 4 . Het lijkt er in de tabel op dat 4 de kleinste y -waarde is: de minimale waarde van de functie.

a

Hoe zie je aan de formule dat dat inderdaad zo is?

b

Schets de grafiek van y = x 4 4 . Controleer je tekening op de GR.

c

Bereken exact de waarden van x waarvoor y = 0 .

De nulpunten van een functie f zijn de oplossingen van de vergelijking f ( x ) = 0 .

10

Bekijk de tabel van y = x 4 4 x .
Het lijkt er in de tabel op dat 3 het minimum van de functie is. Bij deze functie kun je niet direct aan de formule zien of dat waar is! Als 3 het minimum is, moet de raaklijn in het betreffende punt van de grafiek horizontaal zijn.

a

Controleer met een exacte berekening of dat het geval is.

b

Schets de grafiek van y = x 4 4 x . Controleer je tekening met de GR.

c

Bereken exact de nulpunten van de functie.

Als de functie f een maximum of een minimum bereikt in x , dan noemen we f ( x ) een extreme waarde. Bij een gladde functie geldt voor de eerste coördinaat a van zo'n punt: f ( a ) = 0 .

11

Bekijk de tabel van y = x 4 4 x 2 . Net als in de vorige opgave lijkt 3 het minimum te zijn. Schijn bedriegt.

a

Laat zien dat 3 niet het minimum kan zijn.

b

Bereken het minimum van de functie.

c

Schets de grafiek van y = x 4 4 x 2 . Controleer je tekening op de GR.

d

Bereken exact de nulpunten van de functie.

12

Bekijk de tabel van y = x 4 4 x 3 .

a

Bereken exact het minimum van de functie.

b

Teken de grafiek van deze functie op de GR.
Ga na dat er twee punten zijn waar de raaklijn horizontaal is, maar dat maar in één van die punten f ( x ) extreem is.

c

Bereken exact de nulpunten van de functie.

13

Hiernaast staat de grafiek van de vijfdegraads functie:
f : x 1 5 x 5 2 x 3 + 5 x + 2 .

De grafiek heeft vier punten met een horizontale raaklijn.

a

Bereken exact de eerste coördinaat van elk van deze punten.

Voor alle x geldt: f ( x ) + 2 = f ( x ) 2 .

b

Toon dat aan.

Uit het voorgaande volgt f ( x ) + f ( x ) 2 = 2 . (Ga dat na.)

c

Wat betekent dit voor de grafiek van f ?