$a=2$ ; $b=\mathrm{‐}1$ ; $c=0$ ; $d=\frac{1}{3}$

$y=\frac{1}{2}{(x-2)}^2=\frac{1}{2}{x}^2-2x+2$, dus $a=2$, $b=\mathrm{‐}2$, $c=\frac{1}{2}$ en $d=0$.

$y=\frac{1}{x}$, $y=\sqrt{x}$, $y=\sqrt{x}+x^2$, logaritmische en exponentiële functies

$c=0$

$a<0$

$b=0$

$b^2-4ac=0$

$y^{\prime }=x+4$; $y^{\prime }=0\iff x=\mathrm{‐}4$, dus in $(\mathrm{‐}\mathrm{4,}\mathrm{‐}7)$.
Je kunt natuurlijk ook kwadraatafsplitsen.

$y^{\prime }=2ax+b$, dus de eerste coördinaat van de top is $x=\mathrm{‐}\frac{b}{2a}$.

-

$x=0$ ; $x=\sqrt{3}$ ; $x=\mathrm{‐}\sqrt{3}$

$s^{\prime }(x)=x^2-1$,
$s^{\prime }(x)=0\iff x^2-1=0\iff x=1\text{of}x=\mathrm{‐}1$.
Punten $(\mathrm{1,}\mathrm{‐}\frac{2}{3})$ en $(\mathrm{‐}\mathrm{1,}\frac{2}{3})$.

Links van $\mathrm{‐}1$: afnemende stijging,
tussen $\mathrm{‐}1$ en $0$: toenemende daling,
tussen $0$ en $1$: afnemende daling,
rechts van $1$: toenemende stijging.

$\mathrm{‐}1$, in het punt $(\mathrm{0,0})$, want de kleinste waarde die $x^2-1$ aan kan nemen is $\mathrm{‐}1$ voor $x=0$.

$f^{\prime }(x)=3x^2-12$ ; $g^{\prime }(x)=3x^2$ ; $h^{\prime }(x)=3x^2+12$

$h^{\prime }(x)>0$ voor alle $x$.

Als $\mathrm{‐}2<x<2$ geldt: $f^{\prime }(x)<0$.

Ja, zie figuur. Misschien moet je nog opmerken dat de grafiek van $h$ 'boven' die van $g$ ligt voor positieve waarden van $x$.

figuur bij opgave 54

$f^{\prime }(x)=x^2-12x+27$;
$f^{\prime }(x)=0\iff x^2-12x+27=0\iff (x-3)(x-9)=0$, dus in $(\mathrm{3,36})$ en in $(\mathrm{9,0})$.

Dalend als $f^{\prime }(x)=(x-3)(x-9)<0$, dus als $3<x<9$,
stijgend als $f^{\prime }(x)=(x-3)(x-9)>0$, dus als $x<3$ of $x>9$.

$f^{\prime }(x)=x^2-12x+27={(x-6)}^2-36+27={(x-6)}^2-9$

${(x-6)}^2\ge 0$ voor elke $x$, dus ${(x-6)}^2-9\ge \mathrm{‐}9$.
Als $x=6$ is de helling minimaal, namelijk $\mathrm{‐}9$.

-

Als $a=0$ is de grafiek een lijn door $(\mathrm{0,0})$.

Als $a>0$, dan loopt de grafiek van $f$ van linksonder naar rechtsboven.
Als $b>0$, dan is de grafiek stijgend met in elk punt een positieve helling.
Als $b=0$, is de grafiek stijgend met in elk punt behalve $(\mathrm{0,0})$ (daar heb je een horizontale raaklijn) een positieve helling.
Als $b<0$, is de grafiek stijgend op een interval symmetrisch om $0$ na (daar daalt de grafiek).

Als $a<0$ dan loopt de grafiek van $f$ van linksboven naar rechtsonder.
Als $b<0$, dan is de grafiek dalend met in elk punt een negatieve helling.
Als $b=0$, is de grafiek dalend met in elk punt behalve $(\mathrm{0,0})$ (daar heb je een horizontale raaklijn) een negatieve helling.
Als $b>0$, is de grafiek dalend op een interval symmetrisch om $0$ na (daar stijgt de grafiek).

$x^4>0$ als $x\ne 0$.

-

$x^4-4=0$
$x^4=4$
$x^2=2$ of $x^2=\mathrm{‐}2$, dus,
$x=\sqrt{2}$ of $x=\mathrm{‐}\sqrt{2}$

$y^{\prime }=4x^3-4$ ; $y^{\prime }=0\iff 4x^3-4=0\iff x=1$
$y(1)=\mathrm{‐}3$, klopt.

-

$y=0\iff x^4-4x=0\iff x(x^3-4)=0\iff x=0\text{ of }x=\sqrt[3]{4}$

We berekenen de punten met horizontale raaklijn:
$y^{\prime }=4x^3-8x$ ; $y^{\prime }=0\iff 4x^3-8x=0\iff 4x(x^2-2)=0$.
Dus raaklijn horizontaal in de punten: $(\mathrm{0,0})$ en $(\pm \sqrt{2},\mathrm{‐}4)$.

Minimum van de functie is $\mathrm{‐}4$.

-

$y=0\iff x^4-4x^2=0\iff x^2(x^2-4)=0$
Dus $x=0$, $x=\mathrm{‐}2$ en $x=2$.

$y^{\prime }=4x^3-12x^2$;
$y^{\prime }=0\iff 4x^3-12x^2=0\iff 4x^2(x-3)=0$
Raaklijn horizontaal in $(\mathrm{0,0})$ en in $(\mathrm{3,}\mathrm{‐}27)$; in $(\mathrm{0,0})$ is de raaklijn horizontaal maar de grafiek is dalend in de buurt van dat punt. Het minimum is $\mathrm{‐}27$.

Zie a.

$y=0\iff x^4-4x^3=0\iff x^3(x-4)=0$
De nulpunten zijn: $x=0$ en $x=4$.

$f^{\prime }(x)=x^4-6x^2+5$;
$f^{\prime }(x)=0\iff x^4-6x^2+5=0\iff (x^2-1)(x^2-5)=0$
dus $x=\mathrm{‐}\sqrt{5}$ of $x=\mathrm{‐}1$ of $x=1$ of $x=\sqrt{5}$.

$\mathrm{‐}f(x)+2=\mathrm{‐}\frac{1}{5}{x}^5+2x^3-5x$ en
$f(\mathrm{‐}x)-2=\frac{1}{5}{(\mathrm{‐}x)}^5-2{(\mathrm{‐}x)}^3-5x$;
deze zijn gelijk omdat ${(\mathrm{‐}x)}^5=\mathrm{‐}{x}^5$ en ${(\mathrm{‐}x)}^3=\mathrm{‐}{x}^3$ voor alle $x$.

De grafiek van $f$ is puntsymmetrisch in $(\mathrm{0,2})$.