1
a

a = 2 ; b = 1 ; c = 0 ; d = 1 3

b

y = 1 2 ( x 2 ) 2 = 1 2 x 2 2 x + 2 , dus a = 2 , b = 2 , c = 1 2 en d = 0 .

c

y = 1 x , y = x , y = x + x 2 , logaritmische en exponentiële functies

2
a

c = 0

b

a < 0

c

b = 0

d

b 2 4 a c = 0

3
a

y = x + 4 ; y = 0 x = 4 , dus in ( 4, 7 ) .
Je kunt natuurlijk ook kwadraatafsplitsen.

b

y = 2 a x + b , dus de eerste coördinaat van de top is x = b 2 a .

4
a

-

b

x = 0 ; x = 3 ; x = 3

c

s ( x ) = x 2 1 ,
s ( x ) = 0 x 2 1 = 0 x = 1 of x = 1 .
Punten ( 1, 2 3 ) en ( 1, 2 3 ) .

d

Links van 1 : afnemende stijging,
tussen 1 en 0 : toenemende daling,
tussen 0 en 1 : afnemende daling,
rechts van 1 : toenemende stijging.

e

1 , in het punt ( 0,0 ) , want de kleinste waarde die x 2 1 aan kan nemen is 1 voor x = 0 .

5

f ( x ) = 2 5 x 2
2 5 x 2 > 0 x > 5 f stijgend
2 5 x 2 < 0 x < 5 f dalend

6
a

f ( x ) = 3 x 2 12 ; g ( x ) = 3 x 2 ; h ( x ) = 3 x 2 + 12

b

h ( x ) > 0 voor alle x .

c

Als 2 < x < 2 geldt: f ( x ) < 0 .

d

Ja, zie figuur. Misschien moet je nog opmerken dat de grafiek van h 'boven' die van g ligt voor positieve waarden van x .

figuur bij opgave 54
7
a

f ( x ) = x 2 12 x + 27 ;
f ( x ) = 0 x 2 12 x + 27 = 0 ( x 3 ) ( x 9 ) = 0 , dus in ( 3,36 ) en in ( 9,0 ) .

b

Dalend als f ( x ) = ( x 3 ) ( x 9 ) < 0 , dus als 3 < x < 9 ,
stijgend als f ( x ) = ( x 3 ) ( x 9 ) > 0 , dus als x < 3 of x > 9 .

c

f ( x ) = x 2 12 x + 27 = ( x 6 ) 2 36 + 27 = ( x 6 ) 2 9

d

( x 6 ) 2 0 voor elke x , dus ( x 6 ) 2 9 9 .
Als x = 6 is de helling minimaal, namelijk 9 .

8
a

-

b

Als a = 0 is de grafiek een lijn door ( 0,0 ) .

c

Als a > 0 , dan loopt de grafiek van f van linksonder naar rechtsboven.
Als b > 0 , dan is de grafiek stijgend met in elk punt een positieve helling.
Als b = 0 , is de grafiek stijgend met in elk punt behalve ( 0,0 ) (daar heb je een horizontale raaklijn) een positieve helling.
Als b < 0 , is de grafiek stijgend op een interval symmetrisch om 0 na (daar daalt de grafiek).

d

Als a < 0 dan loopt de grafiek van f van linksboven naar rechtsonder.
Als b < 0 , dan is de grafiek dalend met in elk punt een negatieve helling.
Als b = 0 , is de grafiek dalend met in elk punt behalve ( 0,0 ) (daar heb je een horizontale raaklijn) een negatieve helling.
Als b > 0 , is de grafiek dalend op een interval symmetrisch om 0 na (daar stijgt de grafiek).

9
a

x 4 > 0 als x 0 .

b

-

c

x 4 4 = 0
x 4 = 4
x 2 = 2 of x 2 = 2 , dus,
x = 2 of x = 2

10
a

y = 4 x 3 4 ; y = 0 4 x 3 4 = 0 x = 1
y ( 1 ) = 3 , klopt.

b

-

c

y = 0 x 4 4 x = 0 x ( x 3 4 ) = 0 x = 0  of  x = 4 3

11
a

We berekenen de punten met horizontale raaklijn:
y = 4 x 3 8 x ; y = 0 4 x 3 8 x = 0 4 x ( x 2 2 ) = 0 .
Dus raaklijn horizontaal in de punten: ( 0,0 ) en ( ± 2 , 4 ) .

b

Minimum van de functie is 4 .

c

-

d

y = 0 x 4 4 x 2 = 0 x 2 ( x 2 4 ) = 0
Dus x = 0 , x = 2 en x = 2 .

12
a

y = 4 x 3 12 x 2 ;
y = 0 4 x 3 12 x 2 = 0 4 x 2 ( x 3 ) = 0
Raaklijn horizontaal in ( 0,0 ) en in ( 3, 27 ) ; in ( 0,0 ) is de raaklijn horizontaal maar de grafiek is dalend in de buurt van dat punt. Het minimum is 27 .

b

Zie a.

c

y = 0 x 4 4 x 3 = 0 x 3 ( x 4 ) = 0
De nulpunten zijn: x = 0 en x = 4 .

13
a

f ( x ) = x 4 6 x 2 + 5 ;
f ( x ) = 0 x 4 6 x 2 + 5 = 0 ( x 2 1 ) ( x 2 5 ) = 0
dus x = 5 of x = 1 of x = 1 of x = 5 .

b

f ( x ) + 2 = 1 5 x 5 + 2 x 3 5 x en
f ( x ) 2 = 1 5 ( x ) 5 2 ( x ) 3 5 x ;
deze zijn gelijk omdat ( x ) 5 = x 5 en ( x ) 3 = x 3 voor alle x .

c

De grafiek van f is puntsymmetrisch in ( 0,2 ) .