6.7 Differentieerbaarheid >

Hoofdstukken > Inleiding differentiëren

Zoals we al eerder gezien hebben is niet elke functie differentieerbaar. In deze paragraaf bespreken we enkele gevallen.
We komen nog eens terug op de rechthoek van opgave 20.

figuur 1

figuur 2

In figuur 1 staat de rechthoek nog eens, in figuur 2 de grafiek van $b$ als functie van $h$ (in rood) met de afgeleide (in blauw).
De functie heeft geen raaklijn in de punten met eerste coördinaat $2$ en $5$ . Dat zie je in het volgende.

Voorbeeld:

In opgave 20 gaat het om de volgende functie:
$f (x) = {\begin{cases} 2 x als 0 \leq x \leq 2 \\ 4 als 2 \leq x \leq 5 \\ ‐ 2 x + 14 als 5 \leq x \leq 7 \end{cases}$ .
(Hier is $x$ de breedte $b$ en $f (x)$ de hoogte $h$ .)

Als $0 < x < 2$ geldt: $f^{'} (x) = 2$
Als $2 < x < 5$ geldt: $f^{'} (x) = 0$
Als $5 < x < 7$ geldt: $f^{'} (x) = ‐ 2$

$\lim_{Δ x ↑ 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x}$	$=$	$f (2 + Δ x) = 4 + 2 Δ x, want 2 + Δ x < 2$
$\lim_{Δ x ↑ 0} \frac{4 + 2 Δ x - 4}{Δ x}$	$=$
$\lim_{Δ x ↑ 0} \frac{2 Δ x}{Δ x}$	$=$	$2$

$\lim_{Δ x ↓ 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x}$	$=$	$f (2 + Δ x) = 4, want 2 + Δ x > 2$
$\lim_{Δ x ↓ 0} \frac{4 - 4}{Δ x}$	$=$	$0$

Dus $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x}$ bestaat niet.
De grafiek van $f$ heeft geen raaklijn in $(2,4)$ .
$f^{'} (x)$ bestaat niet als $x = 2$ .
$f$ is niet differentieerbaar in $2$ .

Ga, zoals in het voorbeeld na of de grafiek van $f$ een raaklijn heeft in $(5,4)$ .

Hiernaast staat een $\frac{1}{2}$ dm dikke 'pijl'. Hieronder is de voorkant van de pijl getekend.
Het onderstuk is een gelijkbenige driehoek met basis $4$ dm en hoogte $2$ dm.
Het bovenstuk een rechthoek met breedte $2$ dm en hoogte $3$ dm.

De pijl wordt gevuld. De hoeveelheid $H$ (in liter) in de vorm hangt af van de hoogte $x$ (in dm) van de vloeistof.
We onderscheiden twee gevallen: $x < 2$ (in de figuur links) en $x > 2$ (in de figuur rechts).
Als $0 \leq x \leq 2$ dan $H (x) = \dots$ ,
als $2 \leq x \leq 5$ , dan $H (x) = \dots$ .

Vul de juiste formules in.

Hiernaast is de grafiek van $H$ als functie van $x$ getekend.
De grafiek heeft een knik in het punt met eerste coördinaat $2$ .
Er geldt:
$\frac{H (2 + Δ x) - H (2)}{Δ x} = 2 + \frac{1}{2} Δ x$ als $Δ x < 0$ en
$\frac{H (2 + Δ x) - H (2)}{Δ x} = 1$ als $Δ x > 0$ .

Laat algebraïsch zien dat dit juist is.

Bepaal met het antwoord van b $\lim_{Δ x ↑ 0} \frac{Δ H}{Δ x}$ en $\lim_{Δ x ↓ 0} \frac{Δ H}{Δ x}$ .

Omdat $\lim_{Δ x ↑ 0} \frac{Δ H}{Δ x} \neq \lim_{Δ x ↓ 0} \frac{Δ H}{Δ x}$ heeft de grafiek in $(2,2)$ een knik.
De afgeleide bestaat niet als $x = 2$ . De grafiek van $H$ heeft geen raaklijn in $(2,2)$ .

$f : x \to | x |$

Teken de grafiek van de functie.

Wat is de groeisnelheid als $x = 3$ ?
En als $x = ‐ 3$ ? En als $x = 0$ ?

Teken de grafiek van de afgeleide functie $f^{'}$ . Merk op dat $f^{'} (x)$ voor alle waarden van $x \neq 0$ bestaat.

Geef een formule voor $f^{'}$ .

Vijf uitspraken over de functie $f : x \to | x |$ .

De grafiek van $f$ heeft een knik in $(0,0)$ .
We kunnen niet spreken van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in $(0,0)$ .
We kunnen niet spreken van de groeisnelheid van $| x |$ als $x = 0$ .
De functie $f$ is niet-differentieerbaar in $x = 0$ .
We kunnen niet spreken van $f^{'} (0)$ .

$y = {(x + 1)}^{2} + | x |$

Teken de grafiek op de GR.

Zoom een aantal keer in op het punt $(0,1)$ . Gaat de grafiek in $(0,1)$ steeds beter op een rechte lijn lijken?

Je ziet dat we niet kunnen spreken van de raaklijn aan de grafiek in het punt $(0,1)$ . Wel kunnen we spreken van de rechter raaklijn en van de linker raaklijn.

Bepaal (bijvoorbeeld met de GR) van beide de richtingscoëfficiënt.

We bekijken opgave 63 nog eens. Daar ging het over een $\frac{1}{2}$ dm dikke 'pijl'.
De voorkant van de pijl is hieronder nog eens getekend.

In plaats van de bovenkant $2$ dm breed te nemen, maken we hem variabel, zeg $a$ dm.
De hoeveelheid $H$ (in liter) in de vorm hangt af van de hoogte $x$ (in dm) van de vloeistof.
Je krijgt de volgende formules.
Als $0 \leq x \leq 2$ , dan $H (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ ,
als $2 \leq x \leq 5$ , dan $H (x) = \frac{1}{2} a (x - 2) + 2$ .

Ga na dat dit juist is.

Ga na voor welke $a$ de functie $H$ in $2$ differentieerbaar is.

Gegeven $f : x \to x^{2} | x - 1 |$ . Hieronder staat zijn grafiek.

Zo te zien is de functie niet glad in $x = 1$ .
Als $x < 1$ , dan $\frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \frac{‐ x^{2} (x - 1)}{x - 1}$ .
Als $x > 1$ , dan $\frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \frac{x^{2} (x - 1)}{x - 1}$ .

Laat dat zien.

Bepaal $\lim_{x ↑ 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ en $\lim_{x ↓ 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ .

Omdat deze limieten niet gelijk zijn, is de functie niet glad in $(1,0)$ .

Opmerking:

De functie $f : x \to x^{2} | x - 1 |$ heeft een minimum voor $x = 1$ , maar in dit punt is de raaklijn aan de grafiek niet horizontaal.