Zoals we al eerder gezien hebben is niet elke functie differentieerbaar. In deze paragraaf bespreken we enkele gevallen.
We komen nog eens terug op de rechthoek van opgave 20.


figuur 1
figuur 2

In figuur 1 staat de rechthoek nog eens, in figuur 2 de grafiek van b als functie van h (in rood) met de afgeleide (in blauw).
De functie heeft geen raaklijn in de punten met eerste coördinaat 2 en 5 . Dat zie je in het volgende.

Voorbeeld:

In opgave 20 gaat het om de volgende functie:
f ( x ) = { 2 x als 0 x 2   4 als 2 x 5 2 x + 14 als 5 x 7 .
(Hier is x de breedte b en f ( x ) de hoogte h .)

Als 0 < x < 2 geldt: f ( x ) = 2
Als 2 < x < 5 geldt: f ( x ) = 0
Als 5 < x < 7 geldt: f ( x ) = 2

lim Δ x 0 f ( 2 + Δ x ) f ( 2 ) Δ x =
f ( 2 + Δ x ) = 4 + 2 Δ x , want  2 + Δ x < 2
lim Δ x 0 4 + 2 Δ x 4 Δ x =
lim Δ x 0 2 Δ x Δ x = 2

en

lim Δ x 0 f ( 2 + Δ x ) f ( 2 ) Δ x =
f ( 2 + Δ x ) = 4 , want  2 + Δ x > 2
lim Δ x 0 4 4 Δ x = 0


Dus lim Δ x 0 f ( 2 + Δ x ) f ( 2 ) Δ x bestaat niet.
De grafiek van f heeft geen raaklijn in ( 2,4 ) .
f ( x ) bestaat niet als x = 2 .
f is niet differentieerbaar in 2 .

1

Ga, zoals in het voorbeeld na of de grafiek van f een raaklijn heeft in ( 5,4 ) .

2

Hiernaast staat een 1 2  dm dikke 'pijl'. Hieronder is de voorkant van de pijl getekend.
Het onderstuk is een gelijkbenige driehoek met basis 4  dm en hoogte 2  dm.
Het bovenstuk een rechthoek met breedte 2  dm en hoogte 3  dm.

De pijl wordt gevuld. De hoeveelheid H (in liter) in de vorm hangt af van de hoogte x (in dm) van de vloeistof.
We onderscheiden twee gevallen: x < 2 (in de figuur links) en x > 2 (in de figuur rechts).
Als 0 x 2 dan H ( x ) = ,
als 2 x 5 , dan H ( x ) = .

a

Vul de juiste formules in.

Hiernaast is de grafiek van H als functie van x getekend.
De grafiek heeft een knik in het punt met eerste coördinaat 2 .
Er geldt:
H ( 2 + Δ x ) H ( 2 ) Δ x = 2 + 1 2 Δ x als Δ x < 0 en
H ( 2 + Δ x ) H ( 2 ) Δ x = 1 als Δ x > 0 .

b

Laat algebraïsch zien dat dit juist is.

c

Bepaal met het antwoord van b lim Δ x 0 Δ H Δ x en lim Δ x 0 Δ H Δ x .

Omdat lim Δ x 0 Δ H Δ x lim Δ x 0 Δ H Δ x heeft de grafiek in ( 2,2 ) een knik.
De afgeleide bestaat niet als x = 2 . De grafiek van H heeft geen raaklijn in ( 2,2 ) .

3

f : x | x | .

a

Teken de grafiek van de functie.

b

Wat is de groeisnelheid als x = 3 ?
En als x = 3 ? En als x = 0 ?

c

Teken de grafiek van de afgeleide functie f . Merk op dat f ( x ) voor alle waarden van x 0 bestaat.

d

Geef een formule voor f .

Vijf uitspraken over de functie f : x | x | .

  • De grafiek van f heeft een knik in ( 0,0 ) .

  • We kunnen niet spreken van de raaklijn aan de grafiek van f in ( 0,0 ) .

  • We kunnen niet spreken van de groeisnelheid van | x | als x = 0 .

  • De functie f is niet-differentieerbaar in x = 0 .

  • We kunnen niet spreken van f ( 0 ) .

4

y = ( x + 1 ) 2 + | x |

a

Teken de grafiek op de GR.

b

Zoom een aantal keer in op het punt ( 0,1 ) . Gaat de grafiek in ( 0,1 ) steeds beter op een rechte lijn lijken?

Je ziet dat we niet kunnen spreken van de raaklijn aan de grafiek in het punt ( 0,1 ) . Wel kunnen we spreken van de rechter raaklijn en van de linker raaklijn.

c

Bepaal (bijvoorbeeld met de GR) van beide de richtingscoëfficiënt.

5

We bekijken opgave 63 nog eens. Daar ging het over een 1 2  dm dikke 'pijl'.
De voorkant van de pijl is hieronder nog eens getekend.

In plaats van de bovenkant 2  dm breed te nemen, maken we hem variabel, zeg a  dm.
De hoeveelheid H (in liter) in de vorm hangt af van de hoogte x (in dm) van de vloeistof.
Je krijgt de volgende formules.
Als 0 x 2 dan H ( x ) = 1 2 x 2 ,
als 2 x 5 , dan H ( x ) = 1 2 a ( x 2 ) + 2 .

a

Ga na dat dit juist is.

b

Ga na voor welke a de functie H in 2 differentieerbaar is.

6

Gegeven f : x x 2 | x 1 | . Hieronder staat zijn grafiek.

Zo te zien is de functie niet glad in x = 1 .
Als x < 1 , dan f ( x ) f ( 1 ) x 1 = x 2 ( x 1 ) x 1 .
Als x > 1 , dan f ( x ) f ( 1 ) x 1 = x 2 ( x 1 ) x 1 .

a

Laat dat zien.

b

Bepaal lim x 1 f ( x ) f ( 1 ) x 1 en lim x 1 f ( x ) f ( 1 ) x 1 .

Omdat deze limieten niet gelijk zijn, is de functie niet glad in ( 1,0 ) .

Opmerking:

De functie f : x x 2 | x 1 | heeft een minimum voor x = 1 , maar in dit punt is de raaklijn aan de grafiek niet horizontaal.