1

lim Δ x 0 f ( 5 + Δ x ) f ( 5 ) Δ x = lim Δ x 0 4 4 Δ x = 0
lim Δ x 0 f ( 5 + Δ x ) f ( 5 ) Δ x = lim Δ x 0 2 ( 5 + Δ x ) + 14 4 Δ x = lim Δ x 0 2 Δ x Δ x = 2
Dus lim Δ x 0 f ( 5 + Δ x ) f ( 5 ) Δ x bestaat niet.

2
a

Als 0 x 2 dan H ( x ) = 1 2 x 2 ,
als 2 x 5 , dan H ( x ) = x .

b

H ( 2 + Δ x ) H ( 2 ) Δ x = 1 2 ( 2 + Δ x ) 2 2 Δ x = 2 Δ x + 1 2 ( Δ x ) 2 Δ x = 2 + 1 2 Δ x als Δ x < 0 en
H ( 2 + Δ x ) H ( 2 ) Δ x = 2 + Δ x 2 Δ x = Δ x Δ x = 1 als Δ x > 0 .

c

lim Δ x 0 Δ H Δ x = 2 en lim Δ x 0 Δ H Δ x = 1 .

3
a
figuur bij opgave 64
b

Als x = 3 , is de groeisnelheid 1 , als x = 3 is de groeisnelheid 1 . En als x = 0 bestaat de groeisnelheid niet.

c

Zie plaatje a (rood).

d

f ( x ) = { 1    als    x > 0 1   als    x < 0 of f ( x ) = x | x |

4
a

-

b

Nee.

c

3 ; 1

5
a

Als 0 x 2 verandert er niets;
als 2 x 5 , dan is de hoogte van de vloeistof 'boven de pijlpunt' x 2 , dus de inhoud 'boven de pijlpunt' is 1 2 a ( x 2 ) , daar komt de inhoud van het onderstuk nog bij, dus: H ( x ) = 1 2 a ( x 2 ) + 2 .

b

lim Δ x 0 H ( 2 + Δ x ) H ( 2 ) Δ x = lim Δ x 0 1 2 a ( 2 + Δ x 2 ) + 2 2 Δ x = lim Δ x 0 1 2 a Δ x Δ x = 1 2 a en
lim Δ x 0 H ( 2 + Δ x ) H ( 2 ) Δ x = lim Δ x 0 1 2 ( 2 + Δ x ) 2 2 Δ x = lim Δ x 0 2 Δ x + 1 2 ( Δ x ) 2 Δ x = 2 .
Dus H is differentieerbaar in 2 als a = 4 .

6
a

| x 1 | = { x 1   als   x 1 x + 1   als   x < 1 , dus klopt.

b

lim x 1 f ( x ) f ( 1 ) x 1 = lim x 1 x 2 ( x 1 ) x 1 = lim x 1 x 2 1 = 1 en
lim x 1 f ( x ) f ( 1 ) x 1 = lim x 1 x 2 ( x 1 ) x 1 lim x 1 x 2 1 = 1 .