Als $0\le x\le 2$ dan $H(x)=\frac{1}{2}{x}^2$,
als $2\le x\le 5$, dan $H(x)=x$.

$\frac{H(2+\Delta x)-H(2)}{\Delta x}=\frac{\frac{1}{2}{(2+\Delta x)}^2-2}{\Delta x}=\frac{2\Delta x+\frac{1}{2}{(\Delta x)}^2}{\Delta x}=2+\frac{1}{2}\Delta x$ als $\Delta x<0$ en
$\frac{H(2+\Delta x)-H(2)}{\Delta x}=\frac{2+\Delta x-2}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$ als $\Delta x>0$.

$\underset{\Delta x\uparrow 0}{\lim }\frac{\Delta H}{\Delta x}=2$ en $\underset{\Delta x\downarrow 0}{\lim }\frac{\Delta H}{\Delta x}=1$.

Als $x=3$, is de groeisnelheid $1$, als $x=\mathrm{‐}3$ is de groeisnelheid $\mathrm{‐}1$. En als $x=0$ bestaat de groeisnelheid niet.

Zie plaatje a (rood).

$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{l}1\text{ als }x>0\\ \mathrm{‐}1\text{ als }x<0\end{array}$ of $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\left|x\right|}$

-

Nee.

$3$ ; $1$

Als $0\le x\le 2$ verandert er niets;
als $2\le x\le 5$, dan is de hoogte van de vloeistof 'boven de pijlpunt' $x-2$, dus de inhoud 'boven de pijlpunt' is $\frac{1}{2}a(x-2)$, daar komt de inhoud van het onderstuk nog bij, dus: $H(x)=\frac{1}{2}a(x-2)+2$.

$\underset{\Delta x\downarrow 0}{\lim }\frac{H(2+\Delta x)-H(2)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\downarrow 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}a(2+\Delta x-2)+2-2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\downarrow 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}a\Delta x}{\Delta x}=\frac{1}{2}a$ en
$\underset{\Delta x\uparrow 0}{\lim }\frac{H(2+\Delta x)-H(2)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\uparrow 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{(2+\Delta x)}^2-2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\uparrow 0}{\lim }\frac{2\Delta x+\frac{1}{2}{(\Delta x)}^2}{\Delta x}=2$.
Dus $H$ is differentieerbaar in $2$ als $a=4$.

$|x-1|=\{\begin{array}{l}x-1\text{ als }x\ge 1\hfill \\ \mathrm{‐}x+1\text{ als }x<1\hfill \end{array}$, dus klopt.

$\underset{x\uparrow 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\uparrow 1}{\lim }\frac{\mathrm{‐}{x}^2(x-1)}{x-1}=\underset{x\uparrow 1}{\lim }\frac{\mathrm{‐}{x}^2}{1}=\mathrm{‐}1$ en
$\underset{x\downarrow 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\downarrow 1}{\lim }\frac{x^2(x-1)}{x-1}=\underset{x\downarrow 1}{\lim }\frac{x^2}{1}=1$.