1

In de figuur staat de grafiek van de functie
$f : x \to \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$ .

a

Bereken de nulpunten van $f$ .

b

Geef een formule voor $f^{'} (x)$ . Schrijf $f (x)$ daarvoor eerst in de vorm: $\dots \cdot x + \dots + \frac{\dots}{x}$ met de juiste getallen op de stippellijnen.

c

Bereken langs algebraïsche weg de punten van de grafiek van $f$ met een horizontale raaklijn.

Er zijn geen punten op de grafiek van $f$ waar de raaklijn richtingscoëfficiënt $2$ heeft.

d

Laat dat langs algebraïsche weg zien.

e

Bepaal langs algebraïsche weg de punten op de grafiek van waar de raaklijn richtingscoëfficiënt $\frac{3}{4}$ heeft.

f

Welke waarden kan de richtingscoëfficiënt van een raaklijn aan de grafiek van $f$ aannemen?

Naarmate je verder naar rechts of naar links gaat in het plaatje, gaat de grafiek van $f$ gaat steeds meer lijken op de gestippelde lijn.

g

Geef een vergelijking van die lijn en verklaar waarom dat zo is.

2

We bekijken de rit van de auto uit opgave 4 nog eens.
$s$ is de afstand (in meters) die de auto na $t$ sec heeft afgelegd.
Er geldt: $s = t^{2}$ .
Op het moment dat de auto een snelheid van $20$ m/s heeft bereikt, blijft hij met die snelheid rijden.

Bereken langs algebraïsche weg hoeveel meter de auto na $20$ seconden heeft afgelegd.

3

In de figuur is in een kubus met ribbe $5$ een piramide getekend (met de top in het grondvlak). Met nog twee van zulke piramides kun je een kubus bouwen.

a

De figuur staat ook op het werkblad. Geef met kleur aan hoe die drie piramides in de kubus passen.
Wat is dus de inhoud van één zo'n piramide?

We gieten water in de piramide. De waterinhoud $W$ hangt af van de waterhoogte $h$ .

b

Schrijf $W$ als functie van $h$ .
Teken de grafiek van $W$ als functie van $h$ op de GR; kies een geschikt window.

We gaan op vier manieren de groeisnelheid van $W$ bepalen als de waterhoogte $4$ is.

c

Lees uit de grafiek op de GR de groeisnelheid van $W$ als $h = 4$ af.
Werk uit: $\frac{1}{3} {(4 + Δ h)}^{3} = \dots + \dots \cdot Δ h + \dots \cdot {(Δ h)}^{2} + \dots \cdot {(Δ h)}^{3}$ .
Bereken nu met een rekenschema de toename $Δ W$ als $h$ toeneemt van $4$ tot $4 + Δ h$ .
Laat zien: $\frac{Δ W}{Δ h} = 16 + 4 Δ h + \frac{1}{3} {(Δ h)}^{2}$ .
Welke groeisnelheid van $W$ als $h = 4$ volgt hieruit?
Als $h = 4$ is de wateroppervlakte $16$ . Kun je hieruit de groeisnelheid vermoeden?
Bepaal de groeisnelheid voor $h = 4$ met differentiëren.

d

Bepaal op deze vier manieren ook de groeisnelheid van $W$ als $h = 2$ .

4

$f : x \to 2 x^{2} - 3 x + 1$

a

Bereken de nulpunten van $f$ exact.

Laat $x$ toenemen van $2$ tot $2 + Δ x$ . Dan neemt $f (x)$ toe met $Δ f$ .

b

Laat zien dat $Δ f = 2 {(Δ x)}^{2} + 5 Δ x$ .

c

Bereken $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ f}{Δ x}$ exact.

d

Hoe kun je je antwoord op c controleren met $f^{'} (x)$ ?

Er geldt: $\frac{f (x) - f (a)}{x - a} = 2 \cdot \frac{x^{2} - a^{2}}{x - a} - 3 \cdot \frac{x - a}{x - a}$ .

e

Laat dit langs algebraïsche weg zien.

f

Bepaal $\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ .

5

Gegeven $f : x \to x^{2}$ met daarop het punt $A (a, a^{2})$ .
De raaklijn aan de grafiek van $f$ in $A$ snijdt de $y$ -as in het punt $(0, ‐ a^{2})$ .

a

Toon dat aan langs algebraïsche weg.

Een horizontale lijn snijdt de grafiek van $f$ in twee punten $P$ en $Q$ . De raaklijnen in $P$ en $Q$ snijden elkaar in $R$ .
De oppervlakte van driehoek $P Q R = 20$ .

b

Bereken de coördinaten van $R$ exact.

6

Gegeven $f : x \to x^{2}$ met daarop het punt $A (a, a^{2})$ .

a

Laat zien dat de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt met eerste coördinaat $\frac{1}{2} a$ evenwijdig is met lijn $O A$ ( $O$ is de oorsprong).

Wat je in a bewezen hebt is een speciaal geval van het volgende.
Gegeven twee punten $A (a, a^{2})$ en $B (b, b^{2})$ op de grafiek van $f$ . Dan is de raaklijn in het punt met eerste coördinaat $\frac{1}{2} (a + b)$ evenwijdig met lijn $A B$ .

b

Bewijs dat.

7

Bepaal met behulp van de veelvoudregel de afgeleide functie van $f : x \to \frac{2}{x}$ en van $g : x \to \frac{1}{2 x}$ .

8

Gegeven de functies $f : x \to \sqrt{x}$ en $g : x \to ‐ \frac{1}{x}$ . Zie figuur 1.

figuur 1

figuur 2

We bekijken alle mogelijke verticale verbindingslijnstukken $A B$ met $A$ op de grafiek van $f$ en $B$ op de grafiek van $g$ .

a

Laat zien dat $A B = 2 \frac{1}{4}$ als de eerste coördinaat van $A = 4$ .

Met de GeoGebra-applet "verticaal_lijstuk" kun je lijnstuk $A B$ verschuiven. Van links naar rechts schuivend zie je het eerst korter en dan weer langer worden.
De grafiek van de lengte $l$ van $A B$ als functie van $x$ , de eerste coördinaat van $A$ , is in figuur 2 getekend.

b

Geef een formule voor $l (x)$ .

In het punt waar de lengte minimaal is, is de raaklijn aan de grafiek van $l$ horizontaal.

c

Bereken de minimale lengte exact.

9

Bekijk de functie $f : x \to 2^{x}$ .

a

Bereken de gemiddelde helling van de functie op het interval $[0; 0,01]$ in twee decimalen. Dit getal noemen we $h$ .
Dit is een goede benadering voor $f^{'} (0)$ .

Als $x$ toeneemt van $2$ tot $2 + Δ x$ , neemt $y$ toe met $Δ y$ .

b

Laat zien dat $\frac{Δ y}{Δ x} = 4 \cdot h$ als $Δ x = 0,01$ .

Als $x$ toeneemt van $a$ tot $a + Δ x$ , neemt $y$ toe met $Δ y$ .

c

Laat zien dat $\frac{Δ y}{Δ x} = 2^{a} \cdot h$ als $Δ x = 0,01$ .

d

Leg uit dat $f^{'} (x) \approx 0,69 \cdot 2^{x}$ .