1
a

f ( x ) = 0 x 2 2 x + 1 = 0   ( x 0 ) x = 1

b

f ( x ) = x 2 + 1 x , dus f ( x ) = 1 1 x 2 .

c

f ( x ) = 0 1 1 x 2 = 0 x = 1  of  x = 1

f ( 1 ) = 0 en f ( -1 ) = -4 .
Dus in de punten ( 1,0 ) en ( -1,-4 )

d

1 1 x 2 = 2 1 x 2 = 1 en dat kan niet want voor alle x 0 : 1 x 2 > 0 .

e

1 1 x 2 = 3 4 x 2 = 4 , dus in ( 2, 1 2 ) en in ( 2, 4 1 2 ) .

f

Alle waarden kleiner dan 1 .

g

f ( x ) = x 2 + 1 x x 2 als x of x want dan 1 x 0 , de stippellijn heeft vergelijking y = x 2 .

2

v = s = 2 t ;
Het tijdstip waarop v = 20 is dus t = 10 . De eerste 10 seconden wordt 100  meter afgelegd, de volgende 10 seconden wordt 200  meter afgelegd.
In totaal wordt 300  meter afgelegd.

3
a

Inhoud van één zo'n piramide is 1 3 5 3 = 41 2 3 .

b

W = 1 3 h 3

c
  1. Helling raaklijn ongeveer 16 .

  2. 1 3 ( 4 + Δ h ) 3 = 64 3 + 16 Δ h + 4 ( Δ h ) 2 + 1 3 ( Δ h ) 3
    Δ W Δ h = W ( 4 + Δ h ) W ( 4 ) Δ h = 16 + 4 Δ h + 1 3 ( Δ h ) 2
    Groeisnelheid = 16 .

  3. De groeisnelheid is gelijk aan de oppervlakte.

  4. W ( h ) = h 2 , dus W ( 4 ) = 16 .

d
  1. Helling raaklijn ongeveer 4 .

  2. 1 3 ( 2 + Δ h ) 3 = 8 3 + 4 Δ h + 2 Δ h 2 + 1 3 Δ h 3
    Δ W Δ h = W ( 2 + Δ h ) W ( 4 ) Δ h = 4 + 2 Δ h + 1 3 ( Δ h ) 2
    Groeisnelheid = 4 .

  3. De groeisnelheid is gelijk aan de oppervlakte.

  4. W ( h ) = h 2 , dus W ( 2 ) = 4 .

4
a

f ( x ) = 0 2 x 2 3 x + 1 = 0 ( 2 x 1 ) ( x 1 ) = 0 , dus de nulpunten zijn: x = 1 2 en x = 1 .

b

Δ f = f ( 2 + Δ x ) f ( 2 ) = 2 ( 4 + 4 Δ x + ( Δ x ) 2 ) 3 ( 2 + Δ x ) + 1 3 = 2 ( Δ x ) 2 + 5 Δ x

c

lim Δ x 0 Δ f Δ x = lim Δ x 0 2 Δ x + 5 = 5

d

f ( 2 ) moet 5 zijn.

e

f ( x ) f ( a ) x a = 2 x 2 3 x + 1 ( 2 a 2 3 a + 1 ) x a = 2 x 2 2 a 2 x a 3 x 3 a x a = 2 x 2 a 2 x a 3 x a x a

f

lim x a f ( x ) f ( a ) x a = lim x a 2 x 2 a 2 x a 3 x a x a = lim x a 2 ( x + a ) 3 = 4 a 3

5
a

f ( x ) = 2 x , dus de raaklijn in punt A ( a , a 2 ) heeft helling 2 a .
Een vergelijking van de raaklijn is: y = 2 a x + b .
A ( a , a 2 ) ligt op de lijn dus: vergelijking y = 2 a x a 2 . Deze snijdt de y -as in het punt ( 0, a 2 ) .

b

Neem aan dat P rechts van Q ligt. De eerste coördinaat van P noemen we p , dan is die van Q : p (vanwege symmetrie) en R ( 0, p 2 ) , zie het vorige onderdeel.
Als je als basis P Q kiest is de hoogte 2 p 2 en de oppervlakte van driehoek P Q R : 1 2 2 p 2 2 p = 2 p 3 = 20 , dus p = 10 3 en R ( 0, 100 3 ) .

6
a

f ( x ) = 2 x , dus f ( 1 2 a ) = a .
Helling van lijn O A = a 2 a = a .

b

f ( 1 2 ( a + b ) ) = a + b
De helling van lijn A B is: b 2 a 2 b a = ( b a ) ( b + a ) b a = a + b .

7

f : x 2 1 x , dus f : x 2 1 x 2 = 2 x 2
g : x 1 2 1 x , dus g : x 1 2 1 x 2 = 1 2 x 2

8
a

Het snijpunt van A B met de x -as noemen we S ,
dan A S = 4 = 2 en B S = 1 4 .

b

l ( x ) = x + 1 x

c

l ( x ) = x + 1 x ;
l ( x ) = 0 1 2 x 1 x 2 = 0 2 x = x 2   ( x > 0 )
Dus x = 4 3 , de lengte is dan: 2 3 + 1 4 3 .

9
a

0,69

b

Δ y Δ x = 2 2,01 2 2 0,01 = 4 ( 2 0,01 1 ) 0,01 = 4 h

c

Δ y Δ x = 2 a + 0,01 2 a 0,01 = 2 a ( 2 0,01 1 ) 0,01 = 2 a h

d

Dit volgt uit c en het feit dat Δ y Δ x een goede benadering is voor f ( a ) .