Hoofdstukken > Combinatoriek en Rekenregels

Vijf vriendinnen (Ada, Betty, Christiane, Diana en Ellen) gaan naar de schouwburg. Ze hebben vijf plaatsen besproken op één rij.

Op hoeveel manieren kunnen ze de plaatsen onderling verdelen?

Hoeveel rangschikkingen zijn er mogelijk van zes vriendinnen op één rij?

Vijf vriendinnen (maar ook: letters, cijfers, kleuren, ...) kun je op $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ manieren in volgorde zetten. Elke rangschikking, elk rijtje-van-vijf, noemen we een permutatie van vijf elementen.
Voor het product $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ bestaat een afkorting: $5!$ .
Dit spreek je uit als $5$ faculteit. (Het uitroepteken is hier dus een nieuw rekensymbool en heeft niets met opwinding te maken.)
Er geldt $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ .

Hieronder staan de uitkomsten van $x!$ voor $x = 1,2,3,4,5$ .

$1! = 1$

$2! = 2$

$3! = 6$

$4! = 24$

$5! = 120$

De faculteitsgetallen groeien duizelingwekkend snel.

Neem over en vul in.

$6! = ......$	$8! = ......$
$7! = ......$	$9! = ......$

Je hebt net berekend dat er $362880$ permutaties van $9$ elementen zijn.

Kun je nu onmiddelijk zeggen hoe groot $10!$ is?

Noteer het verband dat tussen $n!$ en $(n - 1)!$ bestaat.

Steeds als je een aantal verschillende elementen moet rangschikken (op een rij moet zetten), kun je op je rekenmachine de knop $x!$ gebruiken.

Ebbe berekent $12!$ met zijn rekenmachine. Op het scherm verschijnt de uitkomst: $4,79 E 08$ .
Dat betekent: $4,79$ maal $10^{8}$ ofwel $479.000.000$ .
Deze uitkomst is niet helemaal precies.

Bereken de precieze uitkomst van $12!$ uitgaande van $10! = 3628800$ .

Bereken op je rekenmachine $15!$ gedeeld door $14!$ . Is de uitkomst precies?

Bereken zonder rekenmachine $25!$ gedeeld door $23!$ .

Vul de juiste faculteiten in.

$12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 = 12! : ...$

$41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 = ... : ...$

$n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \cdot (n - 4) = ... : ...$

Er zijn zes klinkers: $A$ , $E$ , $I$ , $O$ , $U$ en $Y$ . Je kiest vier keer een klinker en schrijft die op een rijtje. Zo'n rijtje waarbij de volgorde van belang is, noemen we ook wel een geordende greep. We gaan op twee manieren rijtjes van lengte 4 maken.

Manier 1 - trekken zonder terugleggen:
een klinker mag maar één keer gekozen worden.
Manier 2 - trekken met terugleggen:
een klinker mag meerdere keren gekozen worden.

Hoeveel rangschikkingen kun je maken als elke klinker maar één keer mag voorkomen (manier 1)? Wat voor een soort boom hoort daarbij?

Hoeveel rangschikkingen kun je maken als een klinker meerdere malen (zelfs zes keer) mag voorkomen (manier 2)? Wat voor een soort wegendiagram hoort daarbij?

Rijtjes die je krijgt op manier 1 heten geordende grepen van 4 uit 6 zonder herhaling, of permutaties van 4 uit 6.
Rijtjes die je krijgt op manier 2 heten geordende grepen van 4 uit 6 met herhaling.

Het werk van de Nederlandse kunstschilder Piet Mondriaan (1872-1944) is wereldberoemd. Zijn composities zijn ogenschijnlijk eenvoudig: horizontale en verticale lijnen, en een beperkt aantal kleuren.
Een leuk weetje: Mondriaans onvoltooide schilderij Victory Boogie Woogie werd in 1997 voor 82 miljoen gulden (circa 37 miljoen euro) gekocht door De Nederlandsche Bank, die met dit gebaar afscheid wilde nemen van de gulden. Velen waren het niet met de aankoop eens. Ze vonden het schandalig dat zo’n ongekend hoog bedrag werd betaald voor een schilderij waarop de papieren plakstroken, die Mondriaan gebruikte om rechte lijnen te maken, nog zaten!
Het werk Victory Boogie Woogie - waaraan Mondriaan tot enkele dagen voor zijn dood werkte - kun je bezichtigen in het Gemeentemuseum Den Haag.

Hiernaast zie je een vlakverdeling in de stijl van Mondriaan. De compositie bestaat uit tien vlakdelen waarvan we er vier kleuren: één rood, één blauw, één geel en één zwart (de overige vlakken laten we wit).

Hoeveel kleurcomposities zijn er mogelijk?

Bij het maken van een kleurcompositie kiezen we vier vlakdelen (uit de tien): het eerste vlak kleuren we rood, het tweede blauw, het derde geel en het vierde zwart. De volgorde is bij dit telprobleem van belang en een vlakdeel kleuren we natuurlijk niet tweemaal (ofwel: we kiezen zonder herhaling). We spreken dan van een permutatie van $4$ uit $10$ . Het aantal kleurcomposities (permutaties) is $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$ .

Bereken het aantal permutaties van $4$ uit $9$ .

Nils berekent het aantal permutaties van $4$ uit $9$ met zijn rekenmachine door $9!$ te delen door $5!$ , ofwel $\frac{9!}{5!}$ .

Laat zien dat dit aantal inderdaad zo berekend kan worden.

(hint)

Schrijf $9!$ en $5!$ eerst als product van respectievelijk $9$ en $5$ getallen.

Schrijf het aantal permutaties van $13$ uit $26$ ook als quotiënt van twee faculteiten. Doe hetzelfde voor het aantal permutaties van $20$ uit $26$ .

Als je het aantal permutaties van $3$ uit $7$ wilt bepalen, kun je op je rekenmachine de optie $n P r$ gebruiken.
Er geldt $7 P 3 = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ .

Bereken op je GR het aantal permutaties van $13$ uit $26$ .

Bereken met je GR het aantal permutaties van $20$ uit $26$ . Bereken ook het aantal permutaties van $26$ uit $26$ .

Typ in op je GR: $26 nPr 30$ en druk op ENTER.
Waarom geeft de GR hier het antwoord $0$ , denk je?

Bereken het aantal rangschikkingen van de cijfers $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ en $9$ . Doe dat op twee manieren: met de optie ! en met de optie $n P r$ .

Bij een permutatie van k elementen uit n (of een geordende greep van k uit n zonder herhaling) is niet alleen de keuze van die elementen, maar ook de volgorde belangrijk.
Het aantal permutaties van $k$ elementen uit $n$ is: $\frac{n!}{(n - k)!}$

Bij een geordende greep van k uit n met herhaling is het aantal rangschikkingen $n^{k}$ .

Anneke heeft op maandag de eerste zeven uur les, zonder tussenuur. Ze heeft die dag de vakken DU, GS, LO, MU, NA, NE en WI.

Hoeveel verschillende roosters zijn er voor Anneke die dag mogelijk?

Hoeveel roosters zijn er nog mogelijk, als je weet dat NE eerder dan GS komt?

Hoeveel roosters zijn er mogelijk als je weet dat NE en WI vóór de kleine pauze komen, GS en LO tussen de twee pauzes in, en DU, MU en NA na de grote pauze?

Tijdens een fancy-fair in een dorpje in Noord-Brabant zijn er honderd loten verkocht, genummerd $1$ tot en met $100$ . Bij de loterij kun je een eerste, een tweede, een derde en een vierde prijs winnen. Een trekkingslijst bestaat uit vier nummers: het nummer van de eerste prijs, dat van de tweede, van de derde en van de vierde prijs.

Hoeveel verschillende trekkingslijsten zijn er mogelijk?

Hoeveel verschillende trekkingslijsten zijn er mogelijk met alle vier de nummers oneven?

Hoeveel verschillende trekkingslijsten zijn er mogelijk, waarbij precies één van de vier nummers oneven is?

De nummerborden in Nederland van auto's tussen 1980 en 1999 zijn van de vorm LL-LL-CC (eerst twee letters, dan weer twee letters en daarna twee cijfers). De letters A, C, E, I, M, O, Q, U en W worden niet gebruikt. Verder kunnen alle letters voorkomen. Voor de cijfers wordt gebruik gemaakt van 0 tot en met 9.
Twee voorbeelden: NL-BB-87 en YK-XV-33.

Hoeveel verschillende nummerborden van dit type zijn er?

Het nummerbord van een bedrijfswagen begint met een B of een V. Hoeveel verschillende nummerborden voor bedrijfswagens zijn er?

Hoeveel verschillende nummerborden zijn er waarbij alle vier de letters en beide cijfers verschillend zijn?

Op een parkeerplaats staan $25$ auto’s.

Bij hoeveel van die auto’s verwacht je dat alle vier de letters en beide cijfers verschillend zijn?

Hoeveel verschillende nummerborden zijn er die beginnen met BB en eindigen op 00?