1

De wegenstructuur in Amerikaanse steden is in het algemeen erg overzichtelijk. In de benaming van de wegen is die overzichtelijkheid terug te vinden: 1st street, 2nd street ... en 1st avenue, 2nd avenue,... .

Het karakteristieke schaakbordpatroon van veel Amerikaanse steden. Noord-zuid lopen de avenue’s, oost-west de streets.
figuur 1

Randy Walker wandelt van het kruispunt 2nd street, 1st avenue naar het kruispunt 3rd street, 4th avenue zonder omwegen.

a

Maak een plattegrond zoals in figuur 1 en teken daarin alle mogelijke wandelingen.

b

Doe hetzelfde voor een wandeling van 2nd street, 1st avenue naar 4th street, 3rd avenue.

figuur 2

Bij het stukje plattegrond (figuur 2) zijn 10  verschillende wandelingen van A naar B mogelijk.

c

Teken deze wandelingen. Pak het systematisch aan.

d
figuur 3

Hoeveel wandelingen zijn er in de plattegrond (figuur 3) mogelijk:

  • van A naar B ?

  • van B naar C ?

e

Hoe kun je uit je antwoorden op de vorige vraag het aantal wandelingen van A naar C vinden?

2

In de plattegrond hiernaast wordt bij elk kruispunt vermeld hoeveel routes er zonder omwegen naar dat kruispunt leiden, gerekend vanaf het stadhuis. Bij drie kruispunten is het aantal routes al ingevuld.

Vul zelf de aantallen in bij de andere twaalf kruispunten.

Bij het tellen van het aantal routes raak je makkelijk in de knoop. Daarom is het handig om bij elk ‘tussenpunt’ het aantal routes naar dat punt te schrijven.

3

Punt B ligt vier hokjes rechts van A en drie hokjes boven A . Nils heeft geteld dat er 20  kortste routes zijn van A naar het punt links van B ; hij heeft ook geteld dat er 15  kortste routes zijn van A naar het punt onder B . Die aantallen staan bij de betreffende kruispunten.

Weet je nu ook hoeveel kortste routes er zijn van A naar B ?

Je hebt nu een principe ontdekt waarmee je aantallen kortste routes in een rooster kunt uitrekenen.

  • Noteer het getal 1 bij elk punt in het rooster dat op maar één manier te bereiken is.

  • Gebruik vervolgens de optelmethode om het aantal routes naar de overige roosterpunten te bepalen.

4
figuur 1

De wandelingen die Randy Walker maakt, zijn ook te beschrijven met een rijtje bestaande uit de letters A (avenue) en S (street). In figuur 1 zie je de wandeling bij het rijtje S A A S .


Alle wandelingen van opgave 36b kun je zo beschrijven. Je krijgt dan: S S A A , S A S A , S A A S , A S S A , A S A S , A A S S .

figuur 2

De wandeling in figuur 2 voert langs drie stukken S en drie stukken A .

a

Teken een tweede mogelijke wandeling van begin naar einde.

b

Beschrijf alle mogelijke wandelingen met rijtjes letters. Probeer dit systematisch te doen.

5

Een verslaggever die de wedstrijd Ajax-PEC moest verslaan, is tijdens de wedstrijd in slaap gevallen. Als hij aan het eind van de wedstrijd wakker wordt, hoort hij dat de einduitslag 6 - 4 is geworden. Hij moet echter gokken naar het scoreverloop tijdens de wedstrijd. Een mogelijk scoreverloop is: 1 - 0 , 2 - 0 , 2 - 1 , 3 - 1 , 4 - 1 , 4 - 2 , 4 - 3 , 5 - 3 , 6 - 3 , 6 - 4 . Dit scoreverloop kan worden voorgesteld door een route in een rooster. De tussenpunten ( 1,0 ) , ( 2,0 ) , ( 2,1 ) , enz. komen overeen met de tussenstanden.

a

Uit hoeveel verschillende scoreverlopen kan de verslaggever kiezen?

Later hoort hij van zijn vrouw de ruststand: 4 - 2 .

b

Teken in een rooster drie verschillende routes die horen bij een ruststand 4 - 2 .

c

Hoeveel scoreverlopen met ruststand 4 - 2 zijn er mogelijk?

Tenslotte schiet de verslaggever te binnen dat Ajax de gehele wedstrijd heeft voorgestaan.

d

Hoeveel verschillende scoreverlopen zijn er nu nog mogelijk?

(hint)

Maak opnieuw een rooster. Welke wegen moet je nu weglaten?

Het is niet toevallig dat een scoreverloop kan worden weergegeven als route in een rooster. Er zijn bij elk doelpunt maar twee mogelijkheden: Ajax scoort òf PEC scoort. Net zoals je bij elk punt in een rooster steeds twee mogelijkheden hebt: naar boven òf naar rechts.
Het scoreverloop kan worden voorgesteld door een rijtje van tien letters, bijvoorbeeld: AAPAAPPAAP. Je kunt alle mogelijke scoreverlopen bij de einduitslag 6 - 4 vinden door alle rijtjes van zes letters A en vier letters P op te schrijven. Wanneer je dat systematisch doet (en je beschikt over voldoende tijd), dan zul je de 210  mogelijkheden wel vinden. Met de optelmethode vind je het antwoord veel sneller!

Veel telproblemen kunnen worden opgelost met behulp van het onderstaande getallenpatroon: de driehoek van Pascal. Elk getal ( 1 ) is de som van zijn twee bovenburen.

Blaise Pascal
(1623 - 1662)

Het getallenpatroon is genoemd naar de Franse filosoof en wiskundige Blaise Pascal. Het werd onder zijn naam in 1665 (postuum) gepubliceerd.
Pascal was niet de eerste wiskundige die de tabel ontdekte en gebruikte. In een Chinees wiskundeboek, van de schrijvers Ssu Yuan Yu en Chuh Shih Chieh, uit het jaar 1303, is de tabel al te vinden. De tabel is waarschijnlijk nog veel ouder, want hij wordt in het Chinese boek ‘de antieke tabel’ genoemd.

6

Bekijk de driehoek van Pascal. De driehoek begint met regel 0; de onderste regel is regel 9.

Hoe ziet regel 10 er uit?

7

Nog een keer de driehoek van Pascal maar nu in de vorm van een plattegrond.

Op regel 0 staat 1 . De getallen op regel 1 zijn opgeteld 2 . De getallen op regel 2 zijn opgeteld 4 .

a

Vul deze lijst aan tot en met regel 6.

b

Heb je enig iedee welke uitkomst je krijgt als je de getallen op regel 10 optelt? En op regel x ?

Opvallend, toch? Elke som is een machten van 2.

c

Weet je daar een verklaring voor? Welke?

8

In opgave 38 heb je berekend hoeveel kortste routes er zijn in een rooster van ( 0,0 ) naar ( 4,3 ) . Als het goed is, kwam je aan 35 . Elke kortste route bestaat uit 7  stappen (een stap is 1 naar boven of 1 naar rechts). Van die 7  stappen moet je er 3 naar boven doen (en 4 naar rechts). Het aantal kortste routes vind je in de driehoek van Pascal in de 7 e rij (zie onderstaande figuur).

a

In welke rij kun je het aantal kortste routes van ( 0,0 ) naar ( 5,2 ) vinden? Hoeveel van die routes zijn er?

b

Hoeveel kortste routes zijn er van ( 0,0 ) naar ( 6,4 ) ?

Als je met behulp van de driehoek van Pascal het aantal kortste routes van ( 0,0 ) naar ( 14,6 ) wilt bepalen, moet je de driehoek aanvullen tot en met de 20 e rij. Dat is een heel karwei. Dit getal kun je gelukkig ook eenvoudig op je (grafische) rekenmachine berekenen met de optie n C r .


De rekenmachine geeft 20  nCr  6 = 38.760 .


De 20 staat voor het totaal aantal stappen van ( 0,0 ) naar ( 14,6 ) en de 6 staat voor het aantal stappen dat je naar boven gaat.


Het aantal kortste routes van ( 0,0 ) naar ( 14,6 ) noteren we met het combinatiegetal ( 20 6 ) ; spreek uit: twintig boven zes.

9

Het aantal kortste routes van ( 0,0 ) naar ( 14,6 ) bestaat uit 20  stappen. In plaats van te letten op het aantal stappen dat je naar boven gaat, kun je ook letten op het aantal stappen dat je naar rechts gaat; dat zijn er 14 .

a

Bereken ( 20 14 ) op je rekenmachine. Geldt ( 20 14 ) = ( 20 6 ) ?

( 20 7 ) is het aantal kortste routes van het punt ( 0,0 ) naar het punt B .

b

Wat zijn de coördinaten van B ? Er zijn twee mogelijkheden; geef ze beide.

c

Met welk combinatiegetal kun je het aantal kortste routes van ( 0,0 ) naar ( 10,8 ) noteren? Er zijn twee mogelijkheden; geef ze beide.

d

Voor welk getal n 7 geldt: ( 16 n ) = ( 16 7 ) ?

e

Welk combinatiegetal hoort bij het aantal kortste routes van ( 2,3 ) naar ( 8,6 ) ? Bereken dit aantal op je rekenmachine.

10
a

Hoeveel kortste routes zijn er van ( 0,0 ) naar ( 7,3 ) ?

b

Hoeveel kortste routes zijn er van ( 7,3 ) naar ( 10,8 ) ?

c

Hoeveel kortste routes zijn er van ( 0,0 ) , via ( 7,3 ) , naar ( 10,8 ) ?

d

Hoeveel kortste routes zijn er van ( 0,0 ) , via ( 7,3 ) naar ( 10,8 ) en dan vervolgens via ( 5,5 ) terug naar ( 0,0 ) ?

Allerlei situaties waarbij steeds een keus gemaakt moet worden uit twee mogelijkheden, kunnen worden beschreven door rijtjes waarin twee symbolen voorkomen. Elk van die rijtjes is weer te geven als route in een rooster. Met de driehoek van Pascal kun je het aantal routes bepalen.