Over paragraaf 1: de kansdefinitie
1

Er staan vijf mensen in een rij voor een loket, onder wie Anne, Bea en Cleo.

a

Wat is de kans dat Anne voor Bea staat, maar achter Cleo?

b

Wat is de kans dat Anne en Cleo achter elkaar staan, zonder iemand tussen hen in?

c

Wat is de kans dat Anne bij de voorste twee mensen in de rij staat?

2

We werpen met twee "dobbelstenen": een gewone (met 1 tot en met 6 ogen) en een regelmatig viervlak (met 1 tot en met 4 ogen).

Wat is de kans dat het viervlak een hoger aantal ogen geeft dan de gewone dobbelsteen?

3

Anne speelt samen met drie anderen bridge. Ieder krijgt 13 kaarten uit een spel van 52 .
Het kaartspel heeft vier azen. We letten op het aantal azen A dat Anne krijgt.
Anne vindt dat de kans dat ze hartenaas krijgt 1 4 is.

a

Leg uit hoe Anne dat beredeneerd kan hebben.

Anne redeneert verder: "Ik kan 0 , 1 , 2 , 3 of 4 azen krijgen. Dat zijn vijf mogelijkheden. Dus is de kans dat ik 0 azen krijg 1 5 ".

b

Geef commentaar op deze redenering.

c

Bereken P ( A = 0 ) , P ( A = 1 ) en P ( A = 4 ) .

Over paragraaf 2: combinatoriek en kans
4

Anne speelt samen met drie anderen bridge. Ieder krijgt 13 kaarten uit een spel van 52 . Het kaartspel heeft vier azen. We letten op het aantal azen A dat Anne krijgt.

a

Bereken P ( A = 3 ) .

Het kaartspel heeft 13 klaveren, 13 ruiten, 13 harten en 13 schoppen.

b

Bereken de kans dat Anne van elke soort ten minste 3 kaarten krijgt.

5

Er doen n atleten mee aan een wedstrijd. De drie die als eersten finishen komen op het podium.

a

Hoeveel verschillende podia zijn er mogelijk (uitgedrukt in n )?

Er doen n atleten mee aan een wedstrijd. De drie die als eerste finishen mogen naar de olympische spelen.

b

Hoeveel verschillende drietallen zijn er mogelijk om uitgezonden te worden, uitgedrukt in n ?

Over paragraaf 3: het binomium van Newton
6

( x + x 1 ) 6 wordt zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk geschreven.

a

Hoeveel termen krijg je?

b

Wat zijn de exponenten van x in elk van deze termen?

c

Hoe groot is de constante term?

7

Bij een zekere schaatswedstrijd wordt er op vier afstanden gereden door n deelnemers. Voor elke afstand heeft Anne een persoonlijke favoriet. Na de wedstrijd wordt de lijst opgemaakt van de vier winnaars.

a

Hoeveel lijsten zijn er in totaal mogelijk?

b

Bereken hoeveel lijsten er mogelijk zijn met:

  1. 0 van Annes favorieten,

  2. 1 van Annes favorieten,

  3. 2 van Annes favorieten,

  4. 3 van Annes favorieten,

  5. 4 van Annes favorieten.

c

Wat is het verband van a en b met het binomium van Newton?

Over paragraaf 4: verwachting
8

Anne speelt samen met drie anderen bridge. Ieder krijgt 13 kaarten uit een spel van 52 . Het kaartspel heeft vier azen. We letten op het aantal azen A dat Anne krijgt.

a

Maak een tabel van de kansverdeling van A .

b

Bereken E ( A ) met behulp van deze kansverdeling in twee decimalen.

H = 1 als Anne hartenaas krijgt, anders is H = 0 .

c

Bereken E ( H ) .

d

Hoe vind je E ( A ) met behulp van E ( H ) ?

9

Een binomiaal kansexperiment heeft 10 herhalingen. X is het aantal successen en Y is het aantal mislukkingen.
Stel dat je de verwachtingswaarde van X kent.

a

Hoe vind je daaruit de verwachtingswaarde van Y ?

Stel dat je de verwachtingswaarde van X kent.

b

Hoe vind je daaruit de succeskans?

10

Een spel gaat over drie ronden. In elke ronde valt € 120 te verdienen. Dat lukt in de eerste ronde met kans 1 2 ; dan kom je in de tweede ronde, anders ben je uitgeschakeld. In de tweede ronde lukt dat met kans 1 3 ; dan kom je in de derde ronde, anders ben je uitgeschakeld. In de derde ronde verdien je de € 0 met kans 1 4 .
X is het totale bedrag dat je met het spel verdient.

a

Maak een kanstabel voor X en bereken E ( X ) .

X 1 , X 2 en X 3 zijn de bedragen die je in de eerste, tweede en derde ronde verdient.

b

Bereken E ( X 1 ) , E ( X 2 ) en E ( X 3 ) .

c

Kloppen de antwoorden van a met die van b?

Over paragraaf 5: de binomiale verdeling
11

Anne speelt samen met drie anderen bridge. Ieder krijgt 13 kaarten uit een spel van 52 . Het kaartspel heeft vier azen.
Anne redeneert als volgt: "De kans dat ik hartenaas krijg is 1 4 ; die kans geldt ook voor de andere drie azen. Dus is de kans dat ik 3 azen krijg ( 4 3 ) ( 1 4 ) 3 3 4 .

Geef commentaar.

12

Iemand werpt 20 keer met een dobbelsteen. X is het aantal zessen dat hij werpt.

a

Vul in: P ( X 5 ) = k = ( ) ( 1 6 ) ( 5 6 )

b

Op welke gebeurtenis is k = 0 10 ( 20 2 k ) ( 1 6 ) 2 k ( 5 6 ) 20 2 k de kans?

13

Een binomiaal kansexperiment heeft 10 herhalingen. X is het aantal successen en Y is het aantal mislukkingen.
Je kent de cumulatieve kanstabel van X .

a

Hoe vind je daaruit de cumulatieve kanstabel van Y ?

b

Hoe vind je daaruit de gewone kanstabel van X ?

Over paragraaf 6: de standaardafwijking
14

Van de stochast X zijn de kansen gegeven:
P ( X = 0 ) = 1 3 , P ( X = 1 ) = 1 2 , P ( X = 3 ) = 1 6 .

a

Bereken sd ( X ) zonder GR.

Van de stochast Y zijn de kansen gegeven:
P ( Y = 0 ) = 1 3 , P ( Y = 10 ) = 1 2 , P ( Y = 30 ) = 1 6 .

b

Hoe vind je sd ( Y ) uit sd ( X ) ?

Van de stochast Z zijn de kansen gegeven:
P ( Z = 10 ) = 1 3 , P ( Z = 11 ) = 1 2 , P ( Z = 13 ) = 1 6 .

c

Hoe vind je sd ( Z ) uit sd ( X ) ?

15

Een binomiaal kansexperiment heeft 50 herhalingen. X is het aantal successen, Y het aantal mislukkingen.
Stel je kent sd ( X ) .

a

Hoe vind je hiermee sd ( Y ) ?

Neem aan sd ( X ) = 2 2 . Er zijn twee mogelijkheden voor de succeskans.

b

Wat kun je zeggen over het verband tussen die twee?

c

Hoe vind je de succeskans?

16

Bridge
Anne speelt samen met drie anderen bridge. Ieder krijgt 13 kaarten uit een spel van 52 . Er zijn vier azen. Het aantal azen dat Anneke krijgt noemen we A . De kansverdeling van A is:

a

0

1

2

3

4

P ( A = a )

0,3038

0,4388

0,2135

0,0412

0,0026

a

Bereken hiermee Var ( A ) .

H = 1 als Anneke hartenaas krijgt, anders H = 0 .

b

Bereken Var ( H ) .

c

Waarom geldt niet: Var ( A ) = 4 Var ( H ) ?

Over paragraaf 7: wat is normaal?
17

X is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en sd 10 .
Beantwoord de volgende vragen zonder GR.

a

Neem over en vul het juiste getal in: P ( X < 105 ) = P ( X > ) .

b

Neem over en vul het juiste teken in: < of > .
P ( 93 < X < 105 ) P ( 94 < X < 106 ) .

Over paragraaf 8: standaardiseren
18

Gegeven is een normale verdeelde stochast X . De z -waarde van 100 is 0,4 en de z -waarde van 92 is 1,6 .

Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking van de X .

Over paragraaf 9: de centrale limietstelling
19

X en Y zijn twee onafhankelijke stochasten, met standaardafwijking 3 , respectievelijk 4 .

a

Wat is de standaardafwijking van X + Y ?

X 1 , X 2 , , X 64 zijn vierenzestig onafhankelijke stochasten, elk met standaardafwijking 3 .

b

Wat is de standaardafwijking van de som X 1 + X 2 + X 64 ?

c

Wat is de standaard afwijking van het gemiddelde van die 64 stochasten?

20

De uitkomst X van een experiment kan twee waarden aannemen: waarde 5 met kans 1 3 en waarde 8 met kans 2 3 . Het experiment wordt 100 keer herhaald; de herhalingen zijn onafhankelijk van elkaar. S is de som van de honderd uitkomsten. Omdat het aantal herhalingen groot is, is S bij benadering normaal verdeeld.

a

Met welk gemiddelde en welke standaardafwijking?

b

Hoe benader je P ( S > 697 ) met de GR?

21

Een discrete stochast D kan goed benaderd worden door een normale stochast N .

Neem over en vul op de de juiste getallen in.
P ( 400 < D < 500 ) P ( < N < ) ,
P ( 400 < D 500 ) P ( < N < ) ,
P ( 400 D 500 ) P ( < N < ) .

Over de binomiale verdeling
22

Een pincode bestaat uit vier cijfers van 0 t/m 9 . Anneke is haar pincode vergeten. Wel weet ze dat hij uit de cijfers  1 , 5 , 6 , 8 bestaat. Ze toetst een van de mogelijkheden in.

a

Wat is de kans dat ze de goede pincode intoetst?

b

Maak een kanstabel voor het aantal cijfers dat ze op de goede plaats heeft staan.

23

Bridge wordt gespeeld door vier personen en met een volledig kaartspel ( 52  kaarten, waaronder 4  azen). De kaarten worden gedeeld; ieder krijgt 13  kaarten.
Birgit is een van de spelers. We letten op het aantal azen dat Birgit krijgt.

a

Bereken de kans dat Birgit geen enkele aas krijgt.

b

Bereken de kans dat Birgit precies één aas krijgt.

c

Maak een kanstabel voor het aantal azen dat Birgit krijgt.

24

Een druiventeler kan kiezen uit twee manieren van oogsten.

  • Direct oogsten als de druiven rijp zijn.
    De winst per kg is dan 1,50 . Aan deze manier van oogsten is geen risico verbonden.

  • Twee weken wachten met oogsten als de druiven rijp zijn.
    Hierdoor worden de druiven voller van smaak en zijn dan meer waard: de winst wordt 2,00 per kg. Aan deze manier zit wel een risico. Als het gaat regenen in de extra twee weken, worden de druiven namelijk aangetast en worden ze minder waard. De winst is dan nog slechts 0,75 per kg.

De kans dat het in de betreffende periode van twee weken regent is 0,3 .

Bekijk een periode van 20  jaar.

a

Laat zien dat de te verwachten winst per kg bij de tweede manier groter is dan 1,50 .

Als de winst van de aangetaste druiven veel lager wordt dan 0,75 , is het voordeliger voor de teler om de eerste manier te kiezen.

b

Bereken vanaf welke winst per kg voor de aangetaste druiven hij beter voor de eerste manier kan kiezen.

25

Met de Euroloterij is er elke week kans op extra geldprijzen, bovenop de winkans bij alleen de Lotto. Je moet wel al aan de Lotto deelnemen voordat je kunt deelnemen aan de Euroloterij. De inleg is 1, per trekking. Op het formulier staat een getal van zes cijfers ( 0 t/m 9 ).

Het prijzenschema is als volgt:

Alle 6  cijfers goed:

200.000,

De laatste 5  cijfers goed en niet alle 6 :

5000,

De laatste 4  cijfers goed en niet de laatste 5 :

450,

De laatste 3  cijfers goed en niet de laatste 4 :

50,

De laatste 2  cijfers goed en niet de laatste 3 :

5,

Het laatste cijfer goed en niet de laatste 2 :

1,

a

Maak een kanstabel van de uitkering per formulier.

b

Bereken de verwachte winst per formulier voor de organisator van de Euroloterij.

26

We bekijken steeds twee databestanden. Welk van de twee heeft de grootste standaardafwijking? Waarom?
Controleer je antwoorden eventueel achteraf door de standaardafwijkingen uit te rekenen.

a

1 , 2 , 2 , 3 en 1 , 1 , 3 , 3

b

1 , 1 , 3 , 3 en 0 , 0 , 2 , 2

c

1 , 1 , 3 , 3 en 2 , 2 , 6 , 6

d

1 , 1 , 3 , 3 en 1 , 1 , 1 , 3 , 3 , 3

27

Bij boogschieten worden pijlen geschoten op een schietschijf, het zogenaamde blazoen. Dat heeft, van binnen naar buiten, de kleuren geel, rood, blauw, zwart en wit. Elke kleur heeft twee ringen. De puntentelling is van binnen naar buiten: 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 .
Boogschutter Robin H. kent zijn kansen per schot:

Boogschutter Wilhelm T. heeft vaker een afzwaaier, maar zit ook vaker dicht bij de roos dan Robin. Wilhelms kansen zijn:

a

Welke boogschutter behaalt gemiddeld de hoogste score?

b

Bij welke boogschutter is de standaardafwijking van het aantal punten het grootst?

28

Na de wedstrijd van Ajax tegen Feyenoord is het weer eens mis. Vijfentwintig supporters, tien van Ajax en vijftien van Feyenoord, gaan met elkaar op de vuist. De politie grijpt in, zonder ergens op te letten. Elke supporter heeft daardoor dezelfde kans om opgepakt te worden. In totaal worden er acht supporters gearresteerd.

Hoe groot is de kans dat er drie aanhangers van Ajax en vijf van Feyenoord naar het bureau moeten? Schrijf je antwoord eerst met combinatiegetallen en bereken daarna de kans.

29

Sietse heeft twee volle batterijen nodig voor zijn fototoestel. In een laatje liggen zes oplaadbare batterijen: vier volle en twee lege. Sietse pakt willekeurig twee van de batterijen en doet die in zijn fototoestel.

Bereken de kans dat het fototoestel werkt op twee manieren:

  • door twee kansen te vermenigvuldigen,

  • door combinatiegetallen te gebruiken.

30

De telefoonnummers in Uden beginnen met 0413 – dat is het netnummer – waarna het abonneenummer (zes cijfers) komt.
Hoeveel abonneenummers kun je maken met:

a

de cijfers 1 , 3 , 5 , 7 , 8 en 9 ?

b

de cijfers 1 , 1 , 3 , 5 , 7 en 8 ?

c

de cijfers 1 , 1 , 1 , 3 , 5 en 7 ?

d

de cijfers 1 , 1 , 3 , 3 , 5 en 7 ?

31

Bij een spel met een draaiwiel met een successector van 90 ° heb je kans  1 4 om drie euro te winnen en kans  3 4 om één euro te verliezen. Iemand besluit om dit spel drie keer te spelen. X is het bedrag dat hij na die drie spelletjes gewonnen heeft.

a

Welke waarden kan X aannemen?

b

Maak een tabel van de kansverdeling van X .

c

Laat met een berekening zien dat dit spel eerlijk is.

d

Wat is trouwens een eerlijk spel, vind je?

32

Er wordt zes keer met een munt geworpen.
Bereken de kans dat:

a

alleen de eerste, derde en vijfde worp kop oplevert.

b

alleen de tweede, vierde en zesde worp kop oplevert.

c

precies drie van de zes worpen kop opleveren.

Noem het aantal keren dat kop wordt gegooid Y .

d

Maak een tabel van de kansverdeling van Y .

e

Teken het kanshistogram van Y .

f

Waarom is dit kanshistogram symmetrisch?

33

In een grabbelton zitten zes plankjes. Op drie ervan staat het getal  5 , op twee staat 10 en op één 25 . Iemand pakt willekeurig twee keer een plankje uit de ton, met terugleggen.
X is de som van de getrokken getallen.

a

Maak een kanstabel voor X .

b

Bereken E ( X ) met behulp van de kanstabel.

c

Bereken E ( X ) met de somregel voor de verwachtingswaarde.

d

Bereken Var ( X ) met behulp van de kanstabel in a.

e

Bereken Var ( X ) met de somregel voor de variantie.

34

Dezelfde grabbelton als in opgave 33. Er worden nu twee plankjes zonder terugleggen gepakt.
Y 1 is het getal op het eerste plankje dat gepakt wordt, Y 2 dat op het tweede plankje en Y is de som van die getallen.

a

Maak een kanstabel voor Y 2 .

b

Bereken E ( Y 2 ) .

c

Maak een kanstabel voor Y .

d

Bereken E ( Y ) .

e

Geldt E ( Y ) = E ( Y 1 ) + E ( Y 2 ) ?

f

Bereken Var ( Y ) .

g

Waarom is Var ( Y ) niet gelijk aan Var ( Y 1 ) + Var ( Y 2 ) ?

35

Bij het bordspel Mens erger je niet moet je een nieuwe pion in het spel brengen als je zes ogen gooit met de dobbelsteen, mits nog niet alle pionnen in het spel zijn.
Bereken de kans dat:

a

de tweede pion in de vierde beurt in het spel komt.

b

de tweede pion pas na de vierde beurt in het spel komt.

c

de derde pion in de tiende beurt in het spel komt.

d

de vierde (en laatste) pion pas na de twintigste beurt in het spel komt.

36

Bij een griepepidemie wordt 20 % van de bevolking ziek. Neem aan dat iedereen dezelfde kans heeft om ziek te worden.

a

Waarom is deze aanname aanvechtbaar?

Op een school werken 25  leraren.

b

Hoe groot is de kans dat minstens vijf leraren griep krijgen?

c

Hoe groot is de kans dat hoogstens vijf leraren griep krijgen?

d

En hoe groot is de kans dat precies vijf leraren griep krijgen?

Neem aan dat op een dag vijf leraren door de griep geveld zijn.

e

Hoe groot is de kans dat van de elf leraren die Sofie heeft er die dag drie met griep thuis zijn gebleven?

Over de normale verdeling
37

Van 22000 zwangere vrouwen werd het gewicht bepaald. Hieronder staat het histogram.

a

Is het gewicht bij benadering normaal verdeeld?

De diastolische bloeddruk (ofwel onderdruk) van mensen tussen 30 en 70 jaar is ongeveer normaal verdeeld met een gemiddelde van 85 (mm Hg) en standaardafwijking 13 mm Hg.
12,4 % van de mensen tussen 30 en 70 jaar hebben een diastolische bloeddruk boven 100 mm Hg en 12,4 % van de mensen hebben een bloeddruk onder mm Hg.

b

Welke grens is dat?

c

Tussen welke waarden ligt de bloeddruk van de middelste 50 % van de mensen?

38

Anne heeft op haar computer maar één plaatje van een normale curve staan. Dat gebruikt ze bij elke opgave waarin sprake is van een normale verdeling.

a

Geef hierop commentaar.

Anne heeft bij een normale verdeling de z -waarde bepaald van de waarde waarboven 13 % ligt en ook de z -waarde van de waarde waaronder 13 % ligt.

b

Wat is het verband tussen deze twee z -waardes?

Stel je weet dat bij twee normale verdelingen met dezelfde standaardafwijking de percentages onder 50 respectievelijk onder 60 gelijk zijn.

c

Wat weet je dan van hun gemiddeldes?

Stel je weet dat bij twee normale verdelingen met gemiddeldes 50 en 60 de percentages onder 70 gelijk zijn.

d

Wat weet je dan van de standaardafwijkingen?

39

De diastolische bloedruk (ofwel onderdruk) van mensen tussen 30 en 70 jaar is ongeveer normaal verdeeld met een gemiddelde van 85 (mm Hg) en standaardafwijking 13 mm Hg.

a

Is de bloeddruk een continue of een discrete variabele?

b

Maak een histogram van de bloeddruk met klassengrenzen 50 , 60 , 70 , 80 , 90 , 100 , 110 , 120 .

Een arts noteert de bloeddruk als geheel getal.

c

Bij hoeveel procent van de mensen zal hij 85 noteren?

40

In de tabel staan de gemiddelde temperaturen per seizoen in De Bilt en de bijbehorende standaardafwijkingen.

seizoen

winter

lente

zomer

herfst

gemiddelde

2,7

8,7

16,4

10,0

standaardafwijking

1,8

1,0

1,0

1,0

Bereken de gemiddelde jaartemperatuur in De Bilt en de bijbehorende standaardafwijking.

41

Drie echtparen Arno en Anneke, Bob en Bea en Cor en Crissy hebben een dansclubje. Elke dinsdagavond gaan ze dansen. Wie met wie danst, wordt elke dinsdag opnieuw door het lot bepaald. X is het aantal mannen dat zijn eigen vrouw treft.

a

Ga na dat per dinsdag de volgende kansen gelden: P ( X = 0 ) = 1 3 , P ( X = 1 ) = 1 2 en P ( X = 3 ) = 1 6 .

b

Bereken E ( X ) en sd ( X ) .

Vandaag viert het dansclubje haar eerste lustrum: de afgelopen vijf jaar hebben ze geen dinsdagavond overgeslagen, in totaal 262 avonden. In totaal hebben ze 262 S is het aantal keer dat in de vijf jaar een man zijn eigen vrouw trof. S is bij benadering normaal verdeeld.

c

Bereken E ( S ) en sd ( S ) .

d

Bereken met deze normale benadering de kans dat niet meer dan 250 keer een man zijn eigen vrouw trof.

42

Grabbelton
"Altijd prijs in de supergrabbelton" staat er bij een kraampje op de braderie. Tussen het zaagsel in de ton zijn tien plankjes verborgen: op zeven plankjes staat "2", op twee plankjes staat "5" en op één plankje staat "10". Na een inzet mag je twee plankjes grabbelen. Het hoogste getal dat op deze plankjes staat, is de uitbetaling X in euro's.

a

Ga na: P ( X = 5 ) = 1 3 .

b

Geef in een tabel de kansverdeling van X .

c

Bereken E ( X ) en Var ( X )

Hierboven is het histogram getekend van de uitbetaling bij één keer spelen in de grabbelton met de tien plankjes. Je ziet dat het histogram er niet normaal verdeeld uitziet, integendeel!
Het histogram dat hoort bij vijftig keer spelen is goed te benaderen met een normale kromme.

d

Waarom?

e

Tussen welke twee bedragen ligt de totale uitbetaling bij vijftig keer spelen?

f

Hoe groot is de kans op de laagst mogelijke en hoe groot is de kans op de hoogst mogelijke uitbetaling?

T is de totale uitbetaling bij vijftig keer spelen in de grabbelton: T = X 1 + X 2 + + X 50 , waarbij X i de uitbetaling is bij de i -de keer spelen.

g

Bereken E ( T ) , Var ( T ) en sd ( T )

h

Bereken de kans op een totale uitbetaling tussen de 224 en 255 euro in vier decimalen.

43

Een vulmachine vult pakken met (ongeveer) 1 kilogram suiker. Als de machine ingesteld staat op 1000 gram, zal het werkelijke gewicht van een pak normaal verdeeld zijn met gemiddelde 1000 gram en standaardafwijking 10 gram.

a

Toon aan dat bijna 7 % van de pakken een gewicht heeft van 985 gram of minder.

De EU-voorschriften betreffende vulgewichten zijn in Nederland vastgelegd in het zogenaamde Hoeveelheidsaanduidingenbesluit (de Warenwet). De bedoeling van deze normen is dat de consument niet onaangenaam verrast wordt door een artikel waar veel minder in zit dan er op de verpakking staat. De fabrikanten die zich aan deze normen houden, tonen dat door op de verpakking aan de inhoudsopgave de letter “e” toe te voegen.
In deze voorschriften worden de volgende begrippen gebruikt:

  1. nominale hoeveelheid: de hoeveelheid die op het pak vermeld staat (dus bijvoorbeeld 1 kg suiker),

  2. fout in minus: de hoeveelheid die de werkelijke inhoud kleiner is dan de nominale hoeveelheid.

Artikel 3 van de voorschriften zegt nu ongeveer het volgende:

  1. de werkelijke hoeveelheid mag gemiddeld niet kleiner zijn dan de nominale hoeveelheid,

  2. bij een statistische controle (steekproef) mag hoogstens 2% van de pakken een hoeveelheid bevatten die een grotere fout heeft dan de toegelaten fout in minus

Zie de tabel hieronder.

b

Lees af hoe groot de toegelaten fout in minus is van een 1 1 2 -literfles cola. En van een blikje cola van 33 cl.

Pakken koffie worden machinaal gevuld door een machine die bij elke ingestelde hoeveelheid een standaardafwijking heeft van 5 gram. Neem aan dat de gemiddelde hoeveelheid koffie in een pak gelijk is aan de ingestelde hoeveelheid. We bekijken de pondspakken ( 500 gram).

c

Bereken op welke hoeveelheid de machine moet worden ingesteld als aan beide eisen van artikel 3 voldaan moet worden.

Naast pondspakken zijn er ook nog halfpondspakken in de handel. Ook deze pakken moeten aan de EU-normen voldoen.

d

Onderzoek of de fabrikant bij halfpondspakken meer, minder of evenveel koffie verbruikt per nominaal gewicht van 1 kg vergeleken met pondspakken

44

Batterijen
De research afdeling van een fabriek heeft een nieuw type batterij ontwikkeld, dat bijzonder geschikt is voor het aandrijven van speelgoedmotortjes. Neem aan dat op elke productiedag de levensduur van de die dag geproduceerde batterijen normaal verdeeld is met een standaardafwijking van 50 minuten. Het gemiddelde μ in minuten is afhankelijk van een aantal factoren in het fabricageproces. Omdat de fabrikant in reclameboodschappen beweert dat zijn batterijen erg lang meegaan, wil hij er voor zorgen dat hoogstens 7 % van de batterijen uit een dagproductie een levensduur heeft van minder dan 8 1 2 uur.

a

Bereken in minuten nauwkeurig de kleinste waarde van μ waarvoor dit nog het geval is.

Een controleur merkt dat bij het wisselen van een serie batterijen per ongeluk twee nieuwe batterijen bij een groepje van tien lege terecht zijn gekomen. Omdat aan de buitenkant niet zichtbaar is welke de nieuwe zijn, zit er niets anders op dan de batterijen een voor een door te meten totdat de twee nieuwe zijn teruggevonden.

b

Bereken de kans dat hij in totaal vier van de twaalf batterijen moet doormeten

45

In 1972 spande een groep vrouwen een proces aan tegen een fabriek in Texas die apparaten voor airconditioning produceert. Deze fabriek nam alleen nieuwe personeelsleden in dienst die langer waren dan 170,0 cm. De vrouwen waren bij hun sollicitatie afgewezen, omdat ze niet aan deze eis voldeden.
De advocaat van de vrouwen benadrukte het discriminerende karakter van de aanstellingsvoorwaarde door te stellen dat 91,0 % van alle Amerikaanse vrouwen tussen 18 en 65 jaar niet lang genoeg was om aangenomen te kunnen worden. Dit percentage ontleende hij aan een onderzoek van het Amerikaanse ministerie van Volksgezondheid.
Neem aan dat de lengte van de Amerikaanse vrouwen in de betreffende leeftijdsgroep normaal verdeeld is met gemiddelde μ = 160,4 cm en standaardafwijking σ .

a

Toon aan dat σ = 7,2 cm.

De groep Amerikaanse vrouwen tussen 18 en 65 jaar die langer zijn dan 170,0 noemen we V . De mediaan van de lengte van de vrouwen in V noemen we even M E D .

b

Hoeveel procent van de vrouwen in V is langer dan M E D ?

c

Toon aan dat M E D = 172,6 cm (uitgaande van σ = 7,2 cm en μ = 160,4 cm).

De vertegenwoordiger van de fabriek bij het proces noemde het percentage van 91 sterk overdreven. Het door de tegenpartij aangehaalde onderzoek stamde uit 1948. De gemiddelde lengte van volwassenen was volgens hem in de periode 1948-1972 flink toegenomen. Hij ondersteunde zijn betoog met het resultaat van een recent onderzoek. In een aselecte steekproef van 1000 vrouwen tussen 18 en 65 jaar werd bij 113 vrouwen een lengte gemeten van meer dan 172,6 cm.
Neem aan dat de standaardafwijking ongewijzigd is, dus σ = 7,2 cm.

d

Wat is de gemiddelde lengte van de Amerikaanse vrouw volgens dit recente onderzoek?

De advocaat van de vrouwen gaf toe dat het door hem aangehaalde onderzoek wat verouderd was en de gemiddelde lengte van de vrouwen waarschijnlijk was toegenomen. Hij bleef echter benadrukken dat ook in 1972 nog steeds een grote meerderheid van de Amerikaanse vrouwen op grond van hun lengte door het bedrijf zou worden afgewezen.
Stel dat voor 1972 gold: μ = 164,0 cm en σ = 7,2 cm.

e

Bereken het percentage Amerikaanse vrouwen in de genoemde leeftijdsgroep dat in 1972 niet lang genoeg was voor een functie bij de fabriek.

46

Intelligentie is een van de factoren die een rol spelen bij het met succes volgen van een schoolopleiding. In 1938 gebruikte een onderwijskundige onderstaande grafiek, waarin de mate van intelligentie (uitgedrukt in IQ) werd gekoppeld aan soorten opleidingen en mogelijke beroepen.

Het gemiddelde IQ is 100 ; 27 1 2 % heeft een IQ kleiner dan 90 .

a

Laat zien dat hieruit volgt: de standaardafwijking σ = 16,7 .

b

Bereken hoeveel procent van de bevolking in 1938 in staat werd geacht om ten minste de MTS te volgen.

c

Bereken hoeveel procent in aanmerking kwam voor de HBS, maar niet voor het Gymnasium.