2.3 Het binomium van Newton >

Hoofdstukken > Binomiale en normale verdelingen

In deze paragraaf leiden we een formule af om ${(x + y)}^{n}$ zonder haakjes te schrijven. Deze formule wordt het binomiumvan Newton genoemd.

Het Σ-teken

Het is handig bij het binomium van Newton de notatie met het Σ-teken te gebruiken.
Σ is de griekse hoofdletter sigma. Men noemt dit teken ook wel het sommatie-teken

Anneke gooit een aantal keren met een dobbelsteen en noteert telkens het aantal ogen. Het aantal ogen dat ze de eerste keer gooit noemen we $x_{1}$ , de tweede keer $x_{2}$ , de derde keer $x_{3}$ , enzovoort.
De som van de eerste vijf worpen schrijven we zo op: $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}$ : de som van $x_{i}$ , waarbij $i$ loopt van $1$ tot en met $5$ .
Zo is $\sum_{i = 3}^{7} x_{i} = x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7}$ , het totaal aantal ogen van de derde tot en met de zevende worp.

Hieronder staat het lijstje van de worpen van Anneke.

Bereken $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}$ en $\sum_{i = 3}^{7} x_{i}$ .

Bereken ook: $\sum_{i = 1}^{5} 2 x_{i}$ en $\sum_{i = 3}^{7} (x_{i} - 1)$

De antwoorden van opgave 26 kun je ook met de GR vinden.

Zoek uit hoe dat werkt.

VVV speelt acht wedstrijden in een toernooi. Het aantal doelpunten dat VVV in de eerste wedstrijd maakt noemen we $x_{1}$ , het aantal doelpunten van de tegenpartij $y_{1}$ , het aantal doelpunten in de tweede wedstrijd van VVV noemen we $x_{2}$ en dat van de tegenstander $y_{2}$ , enzovoort.
Voor elk doelpunt dat VVV maakt geeft een sponsor $1000$ euro.

Wat is de betekenis van:
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i}$ , $\sum_{i = 1}^{8} y_{i}$ , $\sum_{i = 1}^{8} (x_{i} + y_{i})$ , $\sum_{i = 1}^{8} (x_{i} - y_{i})$ , $\sum_{i = 1}^{8} 1000 x_{i}$ ?

Ga na of geldt:
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i} + \sum_{i = 1}^{8} y_{i} = \sum_{i = 1}^{8} (x_{i} + y_{i})$ ,
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i} - \sum_{i = 1}^{8} y_{i} = \sum_{i = 1}^{8} (x_{i} - y_{i})$ ,

$\sum_{i = 1}^{8} 1000 x_{i} = 1000 \cdot \sum_{i = 1}^{8} x_{i}$ .

In het algemeen geldt niet: $(\sum_{i = 1}^{8} x_{i}) \cdot (\sum_{i = 1}^{8} y_{i}) = \sum_{i = 1}^{8} x_{i} \cdot y_{i}$ .
Neem maar eens $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{8} = y_{1} = y_{2} = \dots = y_{8} = 1$ .

Wat is dan $(\sum_{i = 1}^{8} x_{i}) \cdot (\sum_{i = 1}^{8} y_{i})$ en wat is $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} \cdot y_{i}$ ?

Het binomium van Newton

Bekijk de routes van $S$ naar $F$ in de figuur hieronder. Elke route bestaat uit vijf stappen. Bij elk van die stappen is zijn er $x$ noordelijke wegen en $y$ zuidelijke wegen.

In de figuur is $x = 3$ en $y = 4$ .
Het aantal routes van $S$ naar $F$ waarbij je $3$ keer een noordelijke weg neemt en $2$ keer een zuidelijke weg is $10 \cdot x^{3} y^{2}$ .

Leg dat uit.

Hoeveel routes zijn er van $S$ naar $F$ waarbij je

$0$ keer een noordelijke weg neemt en $5$ keer een zuidelijke weg?
$1$ keer een noordelijke weg neemt en $4$ keer een zuidelijke weg?
$2$ keer een noordelijke weg neemt en $3$ keer een zuidelijke weg?
$4$ keer een noordelijke weg neemt en $1$ keer een zuidelijke weg?
$5$ keer een noordelijke weg neemt en $0$ keer een zuidelijke weg?

Het totaal aantal routes van $S$ naar $F$ is ${(x + y)}^{5}$ .

Welke formule voor ${(x + y)}^{5}$ vind je uit a en b?

Controleer de formule voor $x = 1$ en $y = 1$ . Ook voor $x = 1$ en $y = 2$ .

De coëfficiënten in de formule van opgave 29c staan in regel $5$ van de driehoek van Pascal. En dat is niet toevallig.
Je kunt de zesde regel van de driehoek van Pascal gebruiken om een formule voor ${(x + y)}^{6}$ te geven.

Doe dat.

Geef zo ook formules voor ${(x + y)}^{1}$ , ${(x + y)}^{2}$ en ${(x + y)}^{3}$
Controleer of de formules juist zijn door de haakjes uit te werken.

Het binomium van Newton
Voor alle getallen $x$ en $y$ en positieve gehele getallen $n$ geldt:
${(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) x^{k} y^{n - k}$ .

Sir Isaac Newton
(1642-1727)
hoogleraar te Cambridge

De formule is genoemd naar Isaac Newton, ofschoon hij hem niet heeft uitgevonden. De formule was toen al minstens vijf eeuwen bekend (bij Arabische en Chinese wiskundigen). Newton heeft de formule gegeneraliseerd voor niet-gehele exponenten.
$x + y$ is een tweeterm, ofwel een binomium (latijn: bi = twee, nomus = term).
In de formule spelen de combinatiegetallen een belangrijke rol. Daarom worden die ook wel binomiaalcoëfficiënten genoemd.

Elke speciale keuze voor $x$ en $y$ levert een bijzonder geval van de algemene formule.

Schrijf de formule op die je krijgt als

$y = 1$
$x = y = 1$
$x = ‐ 1$ en $y = 1$

Voorbeeld:

$11^{3}$ kun je met het binomium van Newton eenvoudig als volgt uitrekenen:
$11^{3} = {(10 + 1)}^{3} = 10^{3} + 3 \cdot 10^{2} + 3 \cdot 10 + 1 = 1331$ .

Gebruik zo ook de driehoek van Pascal om

$11^{4}$ te berekenen,

en ook $101^{2}$ , $101^{3}$ en $101^{4}$ te berekenen,

en om $9^{3}$ te berekenen.

(hint)

9^{3} = {(10 - 1)}^{3}

Dat het binomium van Newton een juiste formule is, kun je ook inzien door gewoon haakjes uit te werken.

${(x + y)}^{2} = (x + y) x + (x + y) y = x x + y x + x y + y y$
${(x + y)}^{3} = (x + y) (x x + y x + x y + y y) =$
$x x x + x y x + x x y + x y y + y x x + y y x + y x y + y y y$
${(x + y)}^{4} = (x + y) (x x x + x y x + x x y + x y y + y x x + y y x + y x y + y y y) =$
$x x x x + x x y x + x x x y + x x y y + x y x x + x y y x + x y x y + x y y y +$
$y x x x + y x y x + y x x y + y x y y + y y x x + y y y x + y y x y + y y y y$

Je schrijft op soortgelijke wijze ${(x + y)}^{5}$ uit.

Hoeveel termen krijg je?

Hoeveel van die termen zijn er gelijk aan $x^{5}$ ? En aan $x^{4} y$ ? En aan $x^{3} y^{2}$ ? En aan $x^{2} y^{3}$ ? En aan $x y^{4}$ ? En aan $y^{5}$ ?

Kloppen de resultaten met het binomium van Newton?