Hoofdstukken > Binomiale en normale verdelingen

Een formule voor de verwachtingswaarde

Hieronder staat schematisch het inwendige van een speelautomaat. Bovenaan wordt in de trechter een balletje losgelaten. Dat rolt naar beneden en komt onderaan in een van de bakjes terecht. De speler ontvangt het bedrag dat op het bakje geschreven staat. We gaan ervan uit dat een balletje bij elke splitsing met gelijke kans naar links of naar rechts gaat.

Stel dat dit spel per jaar $40.000$ keer gespeeld wordt.

Hoe vaak zou je het balletje in het bakje $€ 100, -$ verwachten? En hoe vaak in elk van de andere bakjes?

Hoeveel zou de eigenaar van de automaat naar verwachting per jaar moeten uitbetalen?

Natuurlijk zal hij niet precies het bedrag uit onderdeel b moeten uitbetalen.

Wat is in theorie het maximale bedrag dat de eigenaar per jaar zou kunnen moeten uitbetalen? En het theoretisch minimale bedrag?

Om dit spelletje te mogen spelen moet je $€ 15, -$ betalen.

Is dit een aantrekkelijke prijs voor een speler om te spelen?

Na enige tijd verandert de eigenaar het spel. Op drie plaatsen zet hij een “stop”. Rolt het balletje daarin dan stopt het spel en er wordt niets uitbetaald. Het inwendige van de speelautomaat ziet er nu uit zoals hieronder te zien is.

Hoeveel moet de eigenaar nu naar verwachting per jaar uitbetalen?

Bij welke inzet is het net niet meer aantrekkelijk om het spel te spelen?

Sir Francis Galton (1822-1911)

Als we de speelautomaat schematisch weergeven, krijgen we een zogenaamd Galtonbord. Dat bestaat uit een aantal rijen pinnen. Bovenaan worden kogeltjes losgelaten; die vallen via de pinnen naar beneden. Als het een goed bord is, is voor elk kogeltje bij elke pin de kans $\frac{1}{2}$ om naar links of naar rechts te gaan. Onderaan worden de kogeltjes in bakjes opgevangen. In de middelste bakjes zullen de meeste kogeltjes komen, aan de uiteinden de minste.
Het bord is ontworpen door de Britse statisticus sir Francis Galton, en is naar hem genoemd. Het spel in opgave 34 is gebaseerd op dit idee.

Ga naar VU-Stat, Kansrekenen, Bord van Galton.

Maak een paar simulaties op borden van verschillende aantallen rijen. Varieer ook de kans dat een kogeltje naar rechts valt.

We bekijken opnieuw het spel van opgave 34.

In de tabel hieronder staan de kansen op de verschillende uitbetalingen.

Stel dat er $160$ keer gespeeld wordt.

Hoe groot is dan naar verwachting de totale uitbetaling?

Wat is de gemiddelde uitbetaling per keer?

Wat is de gemiddelde uitbetaling per keer als er $n$ keer gespeeld wordt?

Chuck-a-luck is een spelletje op Amerikaanse kermissen. Tegen een inzet van $1$ dollar mag je met drie dobbelstenen gooien. Valt geen van de dobbelstenen op 'zes' dan ben je je inzet kwijt. In de andere gevallen krijg je de inzet terug plus een dollar voor elke zes die je gooide. De exploitant van dit spelletje op de kermis is natuurlijk geïnteresseerd hoeveel hij kan verdienen met dit spel. De inkomsten zijn duidelijk: $ $1$ per spel. De uitgaven liggen minder vast. Die variëren: $0$ , $2$ , $3$ of $4$ dollar. Hij maakt een tabel met de kansen op de verschillende uitgaven per spel.

Uitbetaling	$ $0$	$ $2$	$ $3$	$ $4$
kans

Bereken de kansen.

Bereken hoeveel de exploitant naar verwachting gemiddeld per spelletje verdient.

(hint)

Ga bijvoorbeeld uit van

216

spellen.

De stochast $X$ neemt $n$ verschillende waarden aan: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $...$ , $x_{n}$ .
De bijbehorende kansen zijn $p_{1}$ , $p_{2}$ , $...$ , $p_{n}$ .

Dan is $E (X) = p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{2} + ... p_{n} \cdot x_{n}$ de verwachtingswaarde van $X$ .

$E (X)$ kun je zien als een theoretisch gemiddelde: je neemt het gemiddelde van de mogelijke waarden, rekening houdend met de kansen waarmee ze voorkomen.
Als je het experiment bij herhaling uitvoert, zal de gemiddelde waarde (hoogst waarschijnlijk) dicht bij $E (X)$ liggen.

De letter $E$ komt van expectatio.

Als je de tabel van de kansverdeling kent (zoals in opgave 36):

kun je de verwachtingswaarde dus eenvoudig uitrekenen: vermenigvuldig elk van de mogelijke uitkomsten met de kans op die uitkomst en tel vervolgens de producten op.

Niet alleen bij spelletjes wordt de gemiddelde winst die je naar verwachting boekt, berekend. We gaan hiervan enkele voorbeelden bekijken.

Een druiventeler kan kiezen uit twee manieren van oogsten.

Direct oogsten als de druiven rijp zijn.
De winst per kg is dan $€ 1,50$ . Aan deze manier van oogsten is geen risico verbonden.
Twee weken wachten met oogsten als de druiven rijp zijn.
Hierdoor worden de druiven voller van smaak en zijn dan meer waard: de winst wordt $€ 2,00$ per kg. Aan deze manier zit wel een risico. Als het gaat regenen in de extra twee weken, worden de druiven namelijk aangetast en worden ze minder waard. De winst is dan nog slechts $€ 0,75$ per kg.

De kans dat het in de betreffende periode van twee weken regent is $0,3$ .

Bekijk een periode van $20$ jaar.

Laat zien dat de te verwachten winst per kg bij de tweede manier groter is dan $€ 1,50$ .

Als de winst van de aangetaste druiven veel lager wordt dan $€ 0,75$ , is het voordeliger voor de teler om de eerste manier te kiezen.

Bereken vanaf welke winst per kg voor de aangetaste druiven hij beter voor de eerste manier kan kiezen.

Bij wintersportvakanties gebeurt nogal eens een ongeluk. Daarvoor kun je je verzekeren. Om de verzekeringspremie te bepalen schatten verzekeringsmaatschappijen de kans op een ongeluk aan de hand van historische gegevens. Ongeveer $6 %$ van alle wintersporters raakt in meer of mindere mate gewond. De behandelingskosten variëren van enkele tientjes tot duizenden euro's; gemiddeld liggen de kosten per gewonde rond de $4000$ euro.
Per jaar gaan $100.000$ Nederlanders op wintersport. Laten we aannemen dat ze zich allemaal bij één verzekeringsmaatschappij verzekeren en dat deze maatschappij geen winst hoeft te maken.

Hoe hoog zal de verzekeringspremie per persoon moeten zijn, opdat de verzekerings maatschappij de verwachte kosten kan betalen?

Stel dat slechts de helft van de wintersporters zich verzekert.

Wat is nu de hoogte van de premie?

Reisbureaus bieden vlak voor vertrek zogenaamde last minute-reizen aan. Ze proberen door de prijzen te verlagen het vliegtuig en/of hotel op die manier alsnog vol te krijgen. Reizen die normaal bijvoorbeeld $€ 800, -$ kosten, kunnen dan geboekt worden voor $€ 550, -$ . Wie zou dat niet willen? Maar dit kan alleen als er nog plaatsen over zijn. Dus als je gokt op zo’n last minuteaanbieding, loop je het risico dat er geen plaats is.
Familie Jansen telt vier personen en wil komende zomer naar Turkije. Zo'n reis kan in april geboekt worden voor $€ 800, -$ per persoon. Vorig jaar zomer zag de familie een last minuteaanbieding van deze reis voor $€ 550, -$ per persoon. Neem aan dat de kans $0,60$ is dat deze aanbieding dit jaar weer komt (met plaats voor vier personen). Als de aanbieding niet komt, zal de familie, om toch naar Turkije te kunnen, een duurdere lijnvlucht moeten boeken van $€ 900, -$ per persoon.

Welk advies zou jij de familie Jansen geven: in april boeken of wachten tot de zomer? Ondersteun je advies met verwachtingswaarden.

In een doos zitten zes ballen: twee witte en vier zwarte. Uit die doos nemen we aselect drie ballen. $X$ is het aantal witte ballen als met terugleggen getrokken wordt, $Y$ is het aantal witte ballen als er zonder terugleggen getrokken wordt.

Geef in een tabel de kansverdeling van $X$ en bereken $E (X)$ .

Geef in een tabel de kansverdeling van $Y$ en bereken $E (Y)$ .

Anne speelt Mens-erger-je-niet. Ze heeft geen pionnen op het speelbord. Zodra ze een zes heeft gegooid met de dobbelsteen, mag ze een pion op het bord zetten. Daar zit ze dus op te wachten. Het kan zijn dat ze meteen de eerste beurt een zes gooit (dan heeft ze geluk), maar het kan ook zijn dat ze een heleboel beurten moet wachten alvorens haar dobbelsteen $6$ ogen geeft.
Het aantal beurten dat Anne nodig heeft om een zes te gooien noemen we $X$ .

Wat is de kans dat $X$ gelijk is aan $3$ ?

Welke waarden kan $X$ aannemen?

Maak een tabel van de kansverdeling van $X$ voor de eerste vijf waarden.

Hoe groot is de kans dat $X$ groter is dan $8$ ?

Hoe groot schat jij dat $E (X)$ is?

Controleer je schatting met een simulatie: ga naar VU-Stat, Simulaties, Random Generator, Gooien tot (bij Model).

In onderdeel f heb je een idee gekregen hoe groot de verwachtingswaarde $E (X)$ ongeveer is.
Het is niet eenvoudig $E (X)$ exact te berekenen. Daarvoor gebruiken we een speciale truc.
Anne gaat beginnen; het duurt gemiddeld $E (X)$ beurten voordat ze de eerste zes gooit. Er kunnen twee dingen gebeuren.

Anne werpt meteen een zes; dan duurt het $1$ beurt. Dit gebeurt met kans $\frac{1}{6}$ .
Of Anne werpt niet meteen een zes; dan duurt het gemiddeld nog $E (X)$ beurten, dus in totaal $E (X) + 1$ beurten. Dit gebeurt met kans $\frac{5}{6}$ .

Dus is de gemiddelde duur $\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{5}{6} \cdot (E (X) + 1)$ .
We hebben nu de vergelijking $E (X) = \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{5}{6} \cdot (E (X) + 1)$ .

Bereken hieruit $E (X)$ .

De somregel voor verwachtingswaarden

In twee warenhuizen is gedurende een doordeweekse dag bijgehouden hoelang de mensen met hun boodschappen voor de kassa moesten wachten, afgerond op halve en hele minuten.

Zo moesten bijvoorbeeld in winkel A $20 %$ van de klanten $1$ minuut wachten. Met deze gegevens maken we een model: we nemen aan dat bovenstaande verdeling voor iedere doordeweekse dag geldt. Voor iedere klant geldt in dit model dus dat de kans dat hij $1$ minuut in winkel A moet wachten $0,20$ is. Voor de andere wachttijden en voor winkel B worden op dezelfde wijze de kansen gedefinieerd.

Bereken de verwachtingswaarde van de wachttijd voor winkel A. Ook voor winkel B.

Een klant bezoekt beide winkels.

Bereken de kans dat hij in de winkels even lang moet wachten.

De totale wachttijd $W$ voor iemand die beide winkels bezoekt, varieert van $0,5$ tot en met $3,5$ minuut.

Maak een tabel van de kansverdeling van $W$ .

Bereken de verwachtingswaarde van $W$ .

De som van je twee antwoorden van a is – als het goed is – exact gelijk aan je antwoord van d. Als je daar even over nadenkt, is dat nogal logisch.

Waarom?

Op een dobbelsteen is de som van de ogen op twee tegenover elkaar liggende kanten $7$ . Het aantal ogen dat boven komt noemen we $X$ , het aantal ogen dat onder komt $Y$ .
Verder bekijken we de som $S = X + Y$ .

Hoe groot is $Y$ , als $X = 2$ ?

Welke waarden kan $X$ aannemen? En $Y$ ? En welke waarden kan $S$ aannemen?

Bereken $E (X)$ , $E (Y)$ en $E (S)$ .

Geldt: $E (S) = E (X) + E (Y)$ ?

Iemand werpt met twee dobbelstenen. $X_{1}$ is het aantal ogen dat hij met de ene dobbelsteen werpt en $X_{2}$ het aantal ogen met de andere dobbelsteen.
$S = X_{1} + X_{2}$ is de som van de aantallen ogen. Zie opgave 7 voor de kanstabel voor $S$ .

Hoe groot is $E (X_{1})$ ? En hoe groot is $E (X_{2})$ ?

Bereken $E (S)$ .

Geldt $E (S) = E (X_{1}) + E (X_{2})$ ?

De somregel voor verwachtingswaarden
De verwachtingswaarde van de som van twee stochasten is gelijk aan de som van de verwachtingswaarden van de twee afzonderlijke stochasten. Dit geldt ook als een uitkomst van de eerste stochast van invloed is op de uitkomst van de tweede (zie opgave 44) en geldt ook bij de som van meer dan twee stochasten.
Als $X = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ , dan $E (X) = \sum_{k = 1}^{n} E (X_{k})$ .

Deze somregel maakt berekeningen vaak veel eenvoudiger. Bijvoorbeeld bij opgave 45 wisten we dat $E (X_{1}) = E (X_{2}) = 3,5$ ; zonder de kansverdeling van $S = X_{1} + X_{2}$ uit te rekenen, weten we dat $E (S) = E (X_{1}) + E (X_{2}) = 3,5 + 3,5 = 7$ .
In opgave 13d hebben we door simulatie de verwachtingswaarde van de som van de ogen bij drie dobbelstenen kunnen schatten. Met de somregel weten we nu dat die verwachtingswaarde precies $10,5$ is.

De verwachtingswaarde van het aantal geboortes per dag is in Nederland $482$ (gegevens van 2010 t/m 2015).

Wat is de verwachtingswaarde van het aantal geboortes in een week?

Wat heeft dit met bovenstaande somregel te maken?

Wat is de verwachtingswaarde van het aantal geboortes per uur?

Wat heeft dit met bovenstaande somregel te maken?

Peter heeft de vier azen van een kaartspel in de hand. Anne en Egon trekken na elkaar een kaart, zonder te zien welke. Anne eerst. Als ze beide getrokken hebben mogen ze kijken welke aas ze getrokken hebben.

Wie heeft de meeste kans op hartenaas, denk je?

De kans dat Anne hartenaas trekt is $\frac{1}{4}$ .

Bereken met een kansboom de kans dat Egon hartenaas trekt.

Bridge wordt gespeeld met een pak van $52$ kaarten, waaronder dertien hartenkaarten. Een speler krijgt hieruit dertien kaarten. Het aantal hartenkaarten dat hij bij de eerste kaart krijgt is natuurlijk $0$ of $1$ .

Wat is de verwachtingswaarde van het aantal hartenkaarten bij de eerste kaart?

De verwachtingswaarde van het aantal hartenkaarten bij de zesde kaart is hetzelfde. Dat is logisch want de zesde kaart is met dezelfde kans een harten als de eerste, zie ook de voorgaande opgave.

Wat is de verwachtingswaarde van het aantal hartenkaarten bij de dertiende kaart.

Wat is de verwachtingswaarde van het aantal hartenkaarten dat de speler krijgt?