Een formule voor de verwachtingswaarde
1
a

100  euro bakje:
steeds naar links, kans is ( 1 2 ) 5 = 1 32 , dus 1 32 40.000 = 1250  keer
8  euro bakjes:
1 van de 5 naar rechts, dus 5  mogelijkheden of 3 van de 5 naar rechts, dus ( 5 3 ) = 10 mogelijkheden, elke mogelijkheid heeft een kans van 1 32 , dus 15 32 40.000 = 18.750  keer
25  euro bakje:
2 van de 5 naar rechts, dus ( 5 2 ) = 10 mogelijkheden, dus 10 32 40.000 = 12.500  keer
16  euro bakje:
1 van de 5 naar links, dus 5  mogelijkheden, dus 5 32 40.000 = 6250  keer
20  euro bakje:
steeds naar rechts, kans is ( 1 2 ) 5 = 1 32 , dus 1 32 40.000 = 1250  keer

b

1250 100 + 18750 8 + 12500 25 + 6250 16 + 1250 20 = 712.500  euro

c

maximaal: 40.000 100 = 4.000.000  euro ; minimaal: 40.000 8 = 320.000  euro

d

De eigenaar krijgt 40.000 15 = 600.000  euro. Hij zal naar verwachting meer uitbetalen, namelijk 712.500 . Dus dat is aantrekkelijk voor een speler.

e

100  euro:

geen routes

8  euro:

llrll en llrrr en rrllr

3  mogelijkheden

25  euro:

llrlr en llrrl en rrlll

3  mogelijkheden

16  euro:

rrrrl

1  mogelijkheid

20  euro:

rrrrr

1  mogelijkheid

0  euro:

de rest

Per jaar betalen:
3 32 40.000 8 + 3 32 40.000 25 + 1 32 40.000 16 + 1 32 40.000 20 = 168.750  euro

f

Bij 168.750 : 40.000 = 4,21875 4,22  euro of meer is het niet meer aantrekkelijk om te spelen.

2

-

3
a

Totale uitbetaling is 100 5 + 8 75 + 25 50 + 16 25 + 20 5 = 2850  euro.

b

2850 : 160 = 17,8125 17,81  euro

c

17,8125  euro

4
a

Uitbetaling

$ 0

$ 2

$ 3

$ 4

kans

( 5 6 ) 3 = 125 216

3 ( 5 6 ) 2 1 6 = 75 216

3 ( 1 6 ) 2 5 6 = 15 216

( 1 6 ) 3 = 1 216

b

Ga uit van 216 spellen, dan zijn de uitgaven 125 0 + 75 2 + 15 3 + 1 4 = 199 dollar, dat is per spel 0,921... dollar, dus per spel verdient hij 0,078... dollar.

5
a

Bekijk 1  kg.
0,3 20 = 6  jaar regen winst is 6 0,75 = 4,50  euro
0,7 20 = 14  jaar geen regen winst is 14 2 = 28  euro
Totale winst in 20  jaar is 4,50 + 28 = 32,50  euro.
Gemiddeld is dit 32,50 20 = 1,625  euro en dat is meer dan 1,50  euro.

b

Noem de opbrengst per kg aangetast fruit a  euro.
6 a + 14 2 = 6 a + 28 per 20  jaar gemiddeld per jaar 6 a + 28 20
Wanneer is dit kleiner dan 1,50  euro?
6 a + 28 20 < 1,50 6 a + 28 < 30 6 a < 2 a < 1 3
Als de prijs minder is dan 1 3  euro ( 0,33  euro) is de eerste manier beter.

6
a

100.000 0,06 = 6000  gewonden ; kosten 6000 4000 = 24.000.000  euro
hoogte premie is 24.000.000 : 100.000 = 240  euro

b

50.000 0,06 = 3000  gewonden ; kosten 3000 4000 = 12.000.000  euro
hoogte premie is 12.000.000 : 50.000 = 240  euro (weer)

7

In april boeken: kosten 4 800 = 3200,
Last minute (kans maal prijs): kosten 0,6 4 550 + 0,4 4 900 = 2760,
Advies is dus wachten.

8
a

Kanstafel:

Kansen zijn samen 1 .
0 wit: kans is ( 4 6 ) 3 = 8 27 ;
1 wit (wzz 3  mogelijkheden): kans is 3 2 6 ( 4 6 ) 2 = 4 9 enz.
E ( X ) = 0 8 27 + 1 4 9 + 2 2 9 + 3 1 27 = 1

b

Kanstafel:

0 wit: kans is 4 6 3 5 2 4 = 1 5 ;
1 wit (wzz 3  mogelijkheden): kans is 3 2 6 4 5 3 4 = 3 5 ;
2 wit (wwz 3  mogelijkheden): kans is 3 2 6 1 5 4 4 = 1 5 .
E ( Y ) = 0 1 5 + 1 3 5 + 2 1 5 = 1

9
a

Ze gooit dan geen 6 , geen 6 , wel 6 . De kans is 5 6 5 6 1 6 = 25 216 .

b

van 1 tot oneindig.

c

Kanstafel:

d

X is groter dan 8 als je de eerste 8  keer geen zes gooit.
Dus P ( X > 8 ) = ( 5 6 ) 8 0,2326 .

e

-

f

-

g

E ( X ) = 1 6 1 + 5 6 E ( X ) + 5 6 1 6 E ( X ) = 1 E ( X ) = 6

De somregel voor verwachtingswaarden
10
a

Winkel A: E = 0 0,2 + 0,5 0,1 + 1 0,2 + 1,5 0,25 + 2 0,25 = 1,125
Winkel B: E = 0 0 + 0,5 0,4 + 1 0,4 + 1,5 0,2 + 2 0 = 0,9

b

P ( 0,0 ) = 0 (kan niet), P ( 0,5 ; 0,5 ) = 0,1 0,4 = 0,04 , P ( 1,1 ) = 0,2 0,4 = 0,08 , P ( 1,5 ; 1,5 ) = 0,25 0,2 = 0,05 , P ( 2,2 ) = 0 (kan niet). Samen is dit 0,17 .

c

Kanstafel:

De kansen zijn samen 1 .
P ( W = 1,5 ) = P ( 0 ; 1,5 ) + P ( 0,5 ; 1 ) + P ( 1 ; 0,5 ) = 0,2 0,2 + 0,1 0,4 + 0,2 0,4 = 0,16 , enz.

d

E ( W ) = 0,5 0,08 + 1 0,12 + ... + 3,5 0,05 = 2,025

e

De gemiddelde wachttijd bij A en de gemiddelde wachttijd bij B zijn samen natuurlijk de gemiddelde wachttijd bij A en B samen.

11
a

Y = 7 2 = 5

b

X : de getallen 1 t/m 6 ; Y : de getallen 1 t/m 6 ; X + Y = 7

c

E ( X ) = 3 1 2 ; E ( Y ) = 3 1 2 , zie opgave 13b
X + Y = 7 met kans 1 , E ( X + Y ) = 7 1 = 7 .

d

Ja, want E ( X ) + E ( Y ) = 7 en E ( X + Y ) = 7 .

12
a

E ( X 1 ) = 3 1 2 ; E ( X 2 ) = 3 1 2

b

E ( X 1 + X 2 ) = 2 1 36 + 3 1 18 + ... + 12 1 36 = 7 , zie opgave 14c.

c

Ja, beide uitkomsten zijn 7 .

13
a

De verwachting per week is 482 7 = 3374 .

b

E ( week ) = E ( dag   1 ) + E ( dag   2 ) + ... + E ( dag   7 ) = 7 E ( dag )

c

De verwachting per uur is 482 / 24 = 20,1 .

d

E ( dag ) = E ( uur   1 ) + E ( uur   2 ) + ... + E ( uur   24 ) = 24 E ( uur ) ,
dus E ( uur ) = E ( dag ) / 24 .

14
a

-

b

Zie figuur.

figuur bij opgave 47

Die kans is 3 4 1 3 = 1 4 , dus ook 1 4 .

15
a

Zie de tabel hieronder.

E = 0 3 4 + 1 1 4 = 1 4

b

Ook 1 4 .

c

E = 1 4 13 = 3 1 4