Op een draaiwiel staan, elk in een sector van , de cijfers , , ..., . Dit wiel wordt zes keer rondgedraaid. Hoe groot is de kans:
op zes verschillende cijfers?
op zes keer hetzelfde cijfer?
dat er geen bij is?
dat er minstens één bij is?
dat alleen de eerste twee cijfers zijn?
dat er precies twee cijfers bij zijn?
dat er precies twee cijfers zijn die bovendien na elkaar komen?
Schrijf eens een aantal van die rijtjes op.
Bij een ander draaiwiel is de successector .
Hoe groot is bij één keer draaien van dat wiel de kans op succes?
Dat wiel wordt vijf keer rondgedraaid. Hoe groot is de kans op:
vijf keer succes?
de eerste vier keer succes en de vijfde keer pech?
vier keer succes en één keer pech?
de eerste drie keer succes en de laatste twee keer pech?
drie keer succes en twee keer pech?
In een doos zitten acht ballen, waarvan er vijf rood zijn. Uit die doos nemen we blindelings met terugleggen drie keer een bal.
Hoe groot is de kans dat de tweede bal rood is en de andere ballen niet?
Hoe groot is de kans dat de tweede bal rood is?
is het aantal rode ballen in deze steekproef.
Maak een tabel van de kansverdeling van .
Ga na dat de som van deze kansen is.
Beschrijf het draaiwiel waarmee dit experiment te simuleren is.
Er wordt vijf keer met een dobbelsteen gegooid.
Bereken de kans dat alleen de eerste twee worpen zes wordt gegooid.
Bereken de kans dat alleen de tweede en de vierde keer zes wordt gegooid.
Bereken de kans dat er precies twee keer zes wordt gegooid.
Noem het aantal keren dat zes wordt gegooid .
Maak een tabel van de kansverdeling van .
Controleer of de som van de kansen (ongeveer) is.
Beschrijf het draaiwiel waarmee het gooien met deze dobbelsteen te simuleren is.
Veel opgaven in deze paragraaf zijn wiskundig gezien hetzelfde. Bij een experiment
zijn er twee mogelijke uitkomsten: “succes” en “mislukking”. Dit experiment wordt
keer (onafhankelijk van elkaar) herhaald, steeds met dezelfde kans op succes .
Elk rijtje met precies successen heeft kans en er zijn van zulke rijtjes.
De kans op successen is dus: .
Noemen we het totaal aantal successen , dan is .
We zeggen dat binomiaal verdeeld is.
Binomiaal betekent letterlijk tweetermig. Dat heeft te maken met het feit dat er twee alternatieven zijn: succes en mislukking.
Bij herhalingen, steeds met succeskans , is de kans op successen:
.
Zoek uit hoe je deze binomiale kans met de GR kunt berekenen. Waarschijnlijk kom je
de term pdf tegen. Die staat voor probability distribution function.
Een poes heeft zes jongen gekregen.
Hoe groot is de kans dat er evenveel katers als poezen zijn?
Hoe groot is de kans dat er meer katers dan poezen zijn?
Hoe groot is de kans dat er zowel katers als poezen zijn?
Een spel bevat negen identieke dobbelstenen. Elke dobbelsteen heeft twee zijvlakken met een rondje, twee met een kruis en twee met een vierkant. Hiernaast is een uitslag van zo’n dobbelsteen getekend. Men werpt de negen dobbelstenen tegelijk en kijkt dan welke figuren boven liggen.
Bereken de kans op allemaal gelijke figuren.
Bereken de kans op precies drie rondjes.
Bereken de kans op drie rondjes, drie kruisen en drie vierkanten.
Volgens de kans bij c treedt gemiddeld bij ongeveer één op worpen (met negen dobbelstenen) de mooie configuratie met drie rondjes, drie kruisen en drie vierkanten op.
Bereken de kans dat dit in worpen precies één keer gebeurt.
Van de penalty's bij voetballen in de eredivisie wordt benut, wordt door de keeper gestopt en wordt over of naast geschoten.
Wat is de kans dat van de eerstvolgende penalty's er precies gemist (= niet benut) worden?
Je hebt gehoord dat er afgelopen weekend liefst penalty's werden gemist.
Bereken de kans dat er daarvan precies door de keeper werden gestopt.
Er zijn op een avond maar twee wedstrijden gespeeld. Je hebt gehoord dat er die avond liefst penalty's zijn gegeven. Neem aan dat elke club met dezelfde kans een penalty krijgt.
Bereken de kans dat precies van de penalty's aan eenzelfde club werden gegeven.
Een kolom van het totoformulier vul je in door bij elk van de dertien wedstrijden één van de hokjes , of aan te kruisen. ( betekent "de thuisspelende club wint", betekent "de uitspelende club wint" en betekent "gelijkspel".) Neem aan dat elke wedstrijd met kans goed voorspeld wordt. Johan vult één kolom in.
Bereken de kans dat hij precies vijf wedstrijden juist voorspelt.
Bereken de kans dat hij geen enkele wedstrijd juist voorspelt.
Als je alle wedstrijden goed voorspelt, dan win je de Jackpot. Bij wedstrijden goed win je de tweede prijs en bij wedstrijden goed de derde prijs. Bij minder dan goede voorspellingen win je niets.
Bereken de kans dat Johan een prijs wint.
In het seizoen 2009-2010 werden in de eredivisie wedstrijden gespeeld. Daarvan werden er gewonnen door de thuisclub, werden verloren door de thuisclub en eindigden in een gelijkspel. Op grond van deze aantallen mag je wel zeggen dat een willekeurige thuisclub met kans wint, met kans verliest en met kans gelijkspeelt. Neem aan dat deze percentages ook dit seizoen gelden. We kijken naar de negen eredivisiewedstrijden in een bepaald weekend.
Bereken de kans dat vier van de negen wedstrijden worden gewonnen door de thuisclub.
Bereken de kans dat de thuisclubs vier wedstrijden winnen en er drie verliezen en dat twee wedstrijden eindigen in een gelijkspel.
Bereken de kans dat geen enkele wedstrijd eindigt in een gelijkspel.
Bereken de kans dat drie wedstrijden eindigen in winst voor de thuisclub, drie in verlies voor de thuisclub en drie in een gelijkspel.
Rikken wordt gespeeld met een volledig spel van kaarten. Elk van de vier spelers krijgt bij deling kaarten. We letten op de verdeling van de azen over de spelers. De kans dat elk van de spelers één aas krijgt is ongeveer . We zeggen dat de azen dan “rond zitten”. We bekijken de verdeling van de azen in opeenvolgende spellen.
Bereken de kans dat de azen precies één keer rond zitten.
Bereken de kans dat de azen hoogstens twee keer rond zitten.
Bereken de kans dat de azen minstens twee keer rond zitten.
De azen kunnen bij Rikken op vijf manieren over de vier spelers verdeeld zijn. De eerste manier is de -verdeling (elke speler heeft één aas) met kans , de tweede manier is de -verdeling met kans , de derde manier is de -verdeling met kans , de vierde manier is de -verdeling met kans en de vijfde manier is de -verdeling (één speler heeft alle azen) met kans . We bekijken weer de verdeling van de azen in opeenvolgende spellen.
Bereken de kans dat bij vier spellen de azen bij hoogstens twee spelers zitten.
Bereken de kans dat bij minstens één spel de azen bij één speler zitten.
Bereken de kans dat de tweede manier hoogstens drie keer voorkomt.
Bereken de kans dat de eerste manier één keer voorkomt, de tweede manier zeven keer en de derde manier twee keer.
Bereken de kans dat de eerste manier één keer voorkomt, de tweede manier zeven keer, de derde manier één keer en de vierde manier één keer.
Als het aantal azen is dat een van de spelers krijgt, dan staat voor de som van de kansen: , , en . We noemen een cumulatieve kans. Cumulatief betekent bij elkaar opgeteld, opstapelend.
Cumulatieve kansen bij een binomiaal kansexperiment kun je ook met de GR berekenen.
Zoek uit hoe dat op jouw apparaat gaat, door de antwoorden in
Merk op dat zowel op de TI als op de Casio alleen binomiale kansen van het type of kunnen worden berekend. Met behulp van het feit dat de som van de kansen gelijk is aan kunnen ook andere binomiale kansen worden berekend. Zo is bijvoorbeeld en .
Een binomiaal kansexperiment heeft herhalingen en succeskans . is het aantal successen.
Bereken met de GR de volgende kansen:
We werpen tien keer met een dobbelsteen en letten op het aantal zessen in die tien worpen.
Hoe groot is de kans dat er minstens drie zessen bij zijn?
Zo'n van de auto's die over de Nederlandse wegen razen, heeft technische gebreken. Regelmatig worden door de politie uitgebreide technische keuringen uitgevoerd langs de kant van de autoweg.
De politie controleert op zekere dag auto's.
Hoe groot is de kans dat er bij meer dan dertig auto's gebreken worden geconstateerd?
Gemiddeld op de auto's is zo gammel dat hij van de weg wordt gehaald en naar de sloper gebracht.
Hoe groot is de kans dat bij controles er minstens één auto rijp is voor de sloop?
Het Nederlandse wagenpark telt zo'n 7 miljoen automobielen. Als de verkeerspolitie 250 verschillende auto's uitkiest, dan wil dat zeggen, dat ze eigenlijk werkt zonder terugleggen. Omdat de populatie waaruit getrokken wordt zo groot is, maakt het nauwelijks uit of de trekking met of zonder terugleggen gebeurt. In de volgende opgave bekijken we wat het verschil is bij relatief kleine en bij relatief grote populaties.
Uit een vaas met witte en rode ballen worden ballen getrokken. We willen de kans op twee witte ballen weten.
Bereken die kans als de trekking met terugleggen gebeurt in vier decimalen.
Bereken die kans als de trekking zonder terugleggen gebeurt in vier decimalen.
Uit een vaas met witte en rode ballen worden ballen getrokken. We willen weten wat de kans is op witte ballen.
Bereken die kans als de trekking met terugleggen gebeurt in zes decimalen.
Bereken die kans als de trekking zonder terugleggen gebeurt in zes decimalen.
Wat valt je op?
Hypergeometrisch binomiaal
Als het aantal trekkingen klein is ten opzichte van de totale populatie, dan kun
je kansen zonder terugleggen (hypergeometrisch) praktisch berekenen alsof de trekking
met terugleggen gebeurt (binomiaal). En dat is vaak handiger.
Bij een eerlijke munt zijn de kansen op "kop" en "munt" gelijk. Je mag dus verwachten dat in ongeveer van de worpen "kop" zal worden gegooid. De kans is groot dat het aantal keer kop ten minste en ten hoogste van het aantal worpen is.
We doen worpen.
Bereken de kans dat het aantal keer "kop" ten minste en ten hoogste van het aantal worpen is.
Dezelfde vraag voor worpen, voor worpen en voor worpen.
Hoe groter het aantal worpen, des te groter de kans dat het aantal keer "kop" tussen de en ligt.
Kun je dat verklaren?
Bij een landelijk onderzoek is gebleken dat van alle middelbare scholieren regelmatig spijbelt.
Hoe groot is de kans dat in een vwo5-klas van leerlingen er meer dan zijn die regelmatig spijbelen?
Bij vraag a heb je een binomiale kans berekend. Maar hebben we hier wel te doen met een binomiaal kansexperiment?
Waarom is dat twijfelachtig?
In een bedrijf worden schroeven gefabriceerd. Volgens de bedrijfsleider is van de productie niet bruikbaar. De slechte exemplaren worden niet verwijderd, omdat de controle op bruikbaarheid te veel geld kost. De schroeven worden in doosjes van stuks verkocht aan de winkeliers.
Hoe groot is de kans dat een doosje meer dan vier onbruikbare schroeven bevat?
Een winkelier heeft een partij van doosjes schroeven besteld bij de fabriek.
Hoeveel doosjes met bruikbare schroeven kan hij daarbij verwachten?
Een docent geeft een multiplechoicetest die bestaat uit twintig vierkeuzevragen.
Stel dat hij voor elke goed beantwoorde vraag een half punt toekent.
Hoe groot is de kans dat iemand die alle antwoorden gokt als cijfer een of hoger krijgt?
De docent vindt dat een gokker ten hoogste kans mag hebben om een of hoger te halen.
Bij welk aantal goede antwoorden moet hij dan het cijfer toekennen?
Nederlandse volwassen mannen zijn gemiddeld meter.
Bij een congres in Utrecht over biometrie werd de lengte van de deelnemers gevraagd.
Er antwoordden mannelijke deelnemers; van hen waren langer dan cm.
Bereken de kans op een resultaat van ten minste mannen die langer dan gemiddeld zijn bij een groep van willekeurige Nederlandse mannen.
Zou je – op basis van je antwoord bij a – de groep deelnemers aan het congres “willekeurig” willen noemen?
Er zijn vwo4-leerlingen op het Amalia College, waarvan jongens en meisjes. van de leerlingen hebben wiskunde A/C en hebben wiskunde B. Op grond hiervan veronderstellen we dat de kans dat een willekeurige leerling wiskunde A/C kiest is.
Bereken de kans dat van de jongens er of minder wiskunde A/C kiezen.
Bereken ook de kans dat van de meisjes er of meer wiskunde A/C kiezen.
Op het Amalia College hadden jongens wiskunde A/C gekozen en meisjes.
Zou je de vwo4-leerlingen op het Amalia College “willekeurig” willen noemen?
Als men een verzameling objecten onderzoekt (bijvoorbeeld de lengte van mensen, de kwaliteit van eieren of de neerslag in Nederlandse plaatsen) is het in de praktijk vaak ondoenlijk van elk object het resultaat te meten. In plaats daarvan volstaat men met een deel van de verzameling; dat deel is een zogenaamde steekproef. De objecten in de steekproef moeten wel willekeurig worden gekozen, dat wil zeggen elk object moet van tevoren evenveel kans hebben om in de steekproef terecht te komen.
Versie NL: Ga naar VU-Stat, Simulatie, Steekproeven
Er zijn vier parameters: geheime proportie blauw, omvang populatie, omvang steekproef en aantal steekproeven.
Versie BE: Ga naar VU-Stat, Steekproeven, Steekproeven uit ja-nee populatie. Er zijn
hier drie parameters: deel groen, omvang populatie en omvang steekproef.
Kies zelf waarden voor de parameters en voer enkele simulaties uit.
Klopt het resultaat met wat je vooraf zou verwachten?
Kies geheime proportie blauw of deel groen is , omvang populatie is , omvang steekproef is en aantal steekproeven is of voer handmatig steekproeven uit.
Hoe vaak is het resultaat of minder?
Komt dat overeen met het antwoord van opgave 69a?
Doe hetzelfde als bij c, maar nu met omvang steekproef is .
Hoe vaak is het resultaat of meer?
Komt dat overeen met het antwoord van opgave 69b?
In 2000 is in Nederland de massale enquête Nationale Doorsnee gehouden onder eerste-
en tweedeklassers van het voortgezet onderwijs.
Onder andere werd gevraagd naar het favoriete schoolvak. Bij van de jongens was dat wiskunde, en ook bij van de meisjes. Laten we zeggen gemiddeld bij van de leerlingen.
Hoeveel leerlingen verwacht je in een brugklas van leerlingen voor wie wiskunde het favoriete vak is?
Wat is de kans dat voor precies leerlingen wiskunde het favoriete vak is?
Wat is de kans dat in een klas van leerlingen er of meer wiskunde als favoriete vak hebben?