2.6 De standaardafwijking >

Hoofdstukken > Binomiale en normale verdelingen

Hieronder staat schematisch het bord van Galton. Een balletje wordt boven in de trechter losgelaten en valt over de pinnen naar beneden. Als het balletje op zo'n pin komt, valt het met even grote kans naar links als naar rechts. Na $10$ keer een pin geraakt te hebben, komt het balletje in een van de elf bakjes onderaan het bord.
De bakjes zijn genummerd van 0 tot en met 10.

Hoeveel routes leiden er naar bakje 3?

Een balletje raakt op zijn weg naar beneden de derde pin van links op de zevende rij.

In welke bakjes kan het balletje dan nog terecht komen?

Hieronder zie je het resultaat van een simulatie op een Galtonbord met $10$ rijen. Er zijn $1000$ balletjes naar beneden gevallen.

Hoe groot schat jij op grond van deze simulatie de kans dat een balletje in bakje 3 terecht komt?

Bij een enkel balletje valt absoluut niet te voorspellen welke route het zal volgen. Alle routes zijn namelijk even (on)waarschijnlijk.

Bereken de kans dat een balletje in bakje 3 terecht komt.

Bij de simulatie met $1000$ balletjes kan een histogram gemaakt worden.

Het nummer van het bakje waarin het balletje terecht komt, noemen we $X$ . $X$ is binomiaal verdeeld.

Maak een tabel van de kansverdeling.

Teken het bijbehorende kanshistogram.
Vergelijk het met het histogram van de simulatie hierboven.

Je kunt bij Galtonborden met verschillende aantallen rijen pinnen histogrammen maken.

Het is lastig om uit deze histogrammen precieze kansen af te lezen. Voor precieze kansen moet je rekenen.

Hoe hoog is in het histogram bij $8$ rijen, de balk van bakje 2 precies?

Het laten vallen van een balletje in een Galtonbord met $n$ rijen pinnen, is een binomiaal kansexperiment.

Wat is de succeskans?
Wat is het aantal herhalingen?
Wat is de stochast $X$ : het aantal successen?
Hoe groot is $E (X)$ ?

Als het aantal rijen $n$ toeneemt, verandert het kanshistogram van vorm; het blijft niet gelijkvormig!

Wat verandert er aan de vorm van het kanshistogram?

Bij elk aantal rijen $n$ is het kanshistogram symmetrisch.

Waar ligt de symmetrie-as?

Het verschil tussen de kanshistogrammen dat bedoeld werd in b heeft te maken met de "spreiding". Dat is de mate waarin de waarden van X uit elkaar liggen.

Als $n$ groter wordt, wordt dan de spreiding groter of kleiner?

In het volgende zoeken we een maat voor de spreiding.

Een afwijking bekijk je ten opzichte van de verwachtingswaarde. Dat wil zeggen, bij een waarde $k$ bekijk je de afwijking $| E (X) - k |$ .

Waarom wordt de absolute waarde gebruikt?

Hieronder staat de kanstabel bij het Galtonbord met $n = 6$ .

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P (X = k)$	$\frac{1}{64}$	$\frac{6}{64}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{20}{64}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{6}{64}$	$\frac{1}{64}$

Welke waarden nemen de afwijkingen $| E (X) - k |$ aan? En met welke kans?

Bereken de verwachtingswaarde van deze afwijkingen.

We gaan preciezer zeggen wat we met spreiding bedoelen. Dat doen we niet alleen voor de binomiale verdeling, maar algemeen.
Zoals gezegd nemen we daarvoor de afwijking ten opzichte van de verwachtingswaarde. Als de kans op een afwijking groot is, zal hij vaker voorkomen dan wanneer de kans op een afwijking klein is. Kansrijke afwijkingen moeten dus een groter "gewicht" hebben dan kansarme afwijkingen. De grootte van het gewicht is de kans op die afwijking. Daarom lijkt de volgende formule wel redelijk.
$Vaa (X) = \sum_{k = 0}^{n} p_{k} | E (X) - x_{k} |$ .
Hierbij zijn de waarden $x_{k}$ , $k = 0, \dots, n$ de verschillende waarden die $X$ aan kan nemen en $p_{k}$ de bijbehorende kansen.
Vaa staat voor verwachte absolute afwijking. Toegepast op het voorbeeld in opgave 77 is deze formule helemaal uitgeschreven: $\frac{1}{64} \cdot | 0 - 3 | + \frac{6}{64} \cdot | 1 - 3 | + \frac{15}{64} \cdot | 2 - 3 | + \frac{20}{64} \cdot | 3 - 3 | + \frac{15}{64} \cdot | 4 - 3 | + \frac{12}{64} \cdot | 5 - 3 | + \frac{1}{64} \cdot | 6 - 3 | = \frac{15}{16}$ .

Welke uitkomst krijg je als je in de formule de absolutewaardestrepen weglaat en dus werkt met de formule:
$Vaa (X) = \sum_{k = 0}^{n} p_{k} (E (X) - x_{k})$ ?

Als je de verwachtingswaarde en de verwachte absolute afwijking kent, ligt de stochast nog niet vast. Maar deze twee gegevens samen zeggen toch wel aardig wat over de stochast. Dit blijkt uit de volgende opgave.

In een bak zitten zes kaartjes, elk met een geheel getal erop geschreven. We pakken aselect een kaartje uit de bak. De stochast $X$ is het getal dat op dat kaartje staat. Gegeven is dat $E (X) = 10$ en $Vaa (X) = 1$ .

Welke getallen staan er op de zes kaartjes? Een van de mogelijkheden is: 8, 9, 10, 10, 11, 12.

We bekijken twee "dobbelstenen". De ene heeft drie grensvlakken met $0$ ogen en drie grensvlakken met $4$ ogen. De andere heeft twee grensvlakken met $6$ ogen en vier grensvlakken met $0$ ogen. Iemand werpt met beide stenen. Het aantal ogen waarop de eerste steen valt, noemen we $X$ , dat van de andere steen $Y$ .

Bereken $Vaa (X)$ en $Vaa (Y)$ .

De stochast $X + Y$ neemt dus de waarden $0$ , $4$ , $6$ en $10$ aan.

Maak een kanstabel voor $X + Y$ en bereken $Vaa (X + Y)$ .

Ga na dat $Vaa (X + Y) \neq Vaa (X) + Vaa (Y)$ .

$Vaa$ lijkt een goede maat te zijn voor de spreiding. Er is echter een probleem: $Vaa (X + Y) \neq Vaa (X) + Vaa (Y)$ . Een spreidingsmaat waarvoor zo'n eigenschap wel zou gelden, heeft grote voordelen. Een spreidingsmaat die deze eigenschap wel heeft is de volgende.

Laat $X$ een stochast zijn die de waarden $x_{0}, x_{1}, \dots x_{n}$ aanneemt, met kansen $p_{0}, p_{1}, \dots p_{n}$ .
Dan is $Var (X) = \sum_{k = 0}^{n} p_{k} {(x_{k} - E (X))}^{2}$ .
$Var (X)$ is de zogenaamde variantie van $X$ .

Opmerking:

Zijn er nu geen absolute-waardestrepen nodig?

We gaan verder met opgave 80 .

Bereken $Var (X)$ en $Var (Y)$ voor de stochasten $X$ en $Y$ .

Bereken ook $Var (X + Y)$ .

Ga na dat nu wel geldt: $Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y)$ .

Somregel voor de verwachtingswaarde
Voor elk tweetal stochasten $X$ en $Y$ geldt:
$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ .
In woorden: de verwachtingswaarde van de som is de som van de verwachtingswaarden.

Somregel voor de variantie
Voor elk tweetal onafhankelijke stochasten $X$ en $Y$ geldt: $Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y)$ .
In woorden: de variantie van de som is de som van de varianties, mits de stochasten onafhankelijk zijn.
De somregels gelden natuurlijk ook voor drie of meer stochasten.

$Y$ is het aantal ogen dat met een dobbelsteen geworpen wordt.

Ga na met een exacte berekening na dat $Var (Y) = \frac{35}{12}$ .

Pieter werpt met $n$ dobbelstenen. $Y_{n}$ is de som van het aantal ogen van een worp.

Geef een formule voor $Var (Y_{n})$ .

Sophie werpt met een dobbelsteen. $X$ is het aantal ogen aan de bovenkant en $Y$ is het aantal ogen aan de onderkant.

Hoe groot zijn $E (X)$ , $E (Y)$ en $E (X + Y)$ ?

Bereken $Var (X)$ , $Var (Y)$ en $Var (X + Y)$ .

Is de somregel voor de verwachtingswaarde van toepassing?
En de somregel voor de variantie?

In een doos zitten zes briefjes. Op drie briefjes staat het getal 5, op twee briefjes staat 10 en op één briefje staat 25. Iemand trekt aselect en met terugleggen twee keer een briefje uit de doos. $S$ is de som van de getrokken getallen.

Maak een tabel van de kansverdeling van $S$ .

Bereken exact $E (S)$ en $Var (S)$ .

We gaan verder met opgave opgave 84. $X$ is het getal op het eerste briefje, $Y$ is het getal op het tweede briefje dat getrokken wordt. Dus $S = X + Y$ .

Maak een tabel van de kansverdeling van $Y$ .

Bereken $E (Y)$ en $Var (Y)$ .

Is aan de voorwaarde "mits..." in de somregel voor de variantie voldaan? Geldt dus $Var (S) = Var (X + Y)$ ?

We werken met dezelfde doos als in opgave 84.
Nu worden er twee briefjes tegelijk getrokken. $T$ is de som van de getrokken getallen.

Maak een tabel van de kansverdeling van $T$ .

Bereken $E (T)$ en $Var (T)$ .

We gaan verder met opgave 84. $X$ is het getal op het eerste briefje en $Y$ is het getal op het tweede briefje dat getrokken wordt. Dus $X + Y = T$ .

Maak een tabel van de kansverdeling van $Y$ .

Bereken $E (Y)$ en $Var (Y)$ .

Hoe groot zijn $E (X)$ en $Var (X)$ ?

Ga na dat $E (X + Y)$ .

Is aan de voorwaarde "mits ..." in de somregel voor de variantie voldaan?
Ga na dat $Var (X + Y) \neq Var (X) + Var (Y)$ .

De variantie van de som is bij mèt terugleggen groter dan bij zonder terugleggen.

Waarom mocht je dat wel verwachten?

$X$ is het aantal ogen bij een worp met een dobbelsteen. Er geldt: $E (X) = 3 \frac{1}{2}$ en $Var (X) = 2 \frac{11}{12}$ , zie opgave 82.
We bekijken twee spellen.
Spel 1Werp met een dobbelsteen; je krijgt twee keer zoveel euro's uitbetaald als het aantal ogen van de worp.
Deze uitbetaling noemen we $D$ . Dus $D = 2 \cdot X$ .
Spel 2Werp met twee dobbelstenen; je krijgt zoveel euro's uitbetaald als het totaal aantal ogen van de worp.
Deze uitbetaling noemen we $S$ .

Welke stochast heeft de grootste variantie denk je, $D$ of $S$ ?

Teken een kanshistogram van $D$ en ook van $S$ .

Waarom geldt: $Var (S) = 2 \cdot Var (X)$ ?

Ga na dat geldt: $Var (D) = 4 \cdot Var (X)$ .

Voor elke stochast $X$ en positief getal $k$ geldt:
$Var (k \cdot X) = k^{2} \cdot Var (X)$ .

De variantie is nog niet helemaal de spreidingsmaat die we zoeken. Stel dat we een toevalsgrootheid $X$ hebben die wordt uitgedrukt in cm.

Waarin wordt $E (X)$ uitgedrukt? En $X - E (X)$ ? En $Var (X)$ ? En $\sqrt{Var (X)}$ ?

Stel dat we van cm overstappen op mm. De bijbehorende toevalsgrootheid noemen we $Y$ . Dus $Y = 10 \cdot X$ .

Wat is het verband tussen $E (X)$ en $E (Y)$ ? En tussen $Var (X)$ en $Var (Y)$ ? En tussen $\sqrt{Var (X)}$ en $\sqrt{Var (Y)}$ ?

Er zijn veel spreidingsmaten mogelijk. Wij kiezen de volgende.

$X$ is een stochast die de waarden $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ kan aannemen met kansen achtereenvolgens $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ .
De zogenaamde standaardafwijking van $X$ is dan
$sd (X) = \sqrt{Var (X)}$ .

Als je de verwachtingswaarde en de variantie kent, ligt de stochast nog niet vast. Maar deze twee gegevens samen zeggen toch wel aardig wat over de stochast. Dit blijkt uit de volgende opgave.

In een bak zitten $16$ kaartjes, elk met een geheel getal erop geschreven. We pakken aselect een kaartje uit de bak. De stochast $X$ is het getal dat op dat kaartje staat. Gegeven is dat $E (X) = 10$ en $Var (X) = 1$ .
Wat zit er in de bak? Een mogelijkheid is: $6$ kaartjes met 9, $6$ kaartjes met 10 , $2$ kaartjes met 11 en $2$ kaartjes met 12.

Geef de andere acht mogelijkheden.

Een formule voor standaardafwijking van een binomiaal verdeelde stochast

$X$ is een binomiaal verdeelde stochast, met $n$ onafhankelijke herhalingen, elk met succeskans $p$ . Dus $X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ , waarbij $X_{i} = 1$ als er de
$i$ -de keer succes is en $0$ anders.

Bepaal $E (X_{1})$ en $Var (X_{1})$ .

Bepaal $E (X)$ , $Var (X)$ en $sd (X)$ .

$X$ is een binomiale stochast met $n$ herhalingen en succeskans $p$ . Dan $sd (X) = \sqrt{n p (1 - p)}$

Bereken de standaardafwijking van de volgende stochasten.

Het aantal keer kop bij $100$ worpen met een munt.

Het aantal keren succes bij $100$ keer draaien met een kanstol met successector $120$ graden.