Kansdefinitie
Als er bij een experiment $n$ even waarschijnlijke uitkomsten zijn, waarvan er $k$ zijn van een bepaald type, dan is de kans op een uitkomst van dat type gelijk aan $\frac{k}{n}$.

Bij veel kansen kun je combinatiegetallen gebruiken.
Voorbeeld
Zonder en met terugleggen
In een vaas zitten $25$ knikkers, $10$ rood en $15$ wit.

• We halen er $5$ knikkers uit, zonder terugleggen.
  De kans op $3$ rode knikkers is:
  $\text{P}(3\text{ rood en }2\text{ wit})=\frac{\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}15\\ 2\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}25\\ 5\end{array}\right)}=\frac{60}{253}\approx \mathrm{0,2372}$.

• We halen er $5$ knikkers uit, met terugleggen.
  De kans op $3$ rode knikkers is:
  $\text{P}(3\text{ rood en }2\text{ wit})=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{10}{25}\right)}^3\cdot {\left(\frac{15}{25}\right)}^2\approx \mathrm{0,2304}$.

Dit laatste is een voorbeeld van een binomiale kans. We zeggen dat een stochast $X$ binomiaal verdeeld is als $X$ het aantal successen is bij een aantal herhalingen van een experiment, steeds met twee alternatieven: succes en mislukking, waarbij de kans op succes vast is (en dus ook die op mislukking).
Hierboven zijn er $5$ herhalingen met succeskans $\frac{10}{25}=\mathrm{0,4}$ (“rood” is hier een succes).

Als het aantal trekkingen klein is ten opzichte van de totale populatie, dan kun je kansen zonder terugleggen (hypergeometrisch) praktisch berekenen alsof de trekking met terugleggen gebeurt (binomiaal). De binomiaal berekende kans is dan ongeveer gelijk aan de werkelijke kans.

Als een toevalsgrootheid $X$ de waarden $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $\mathrm{...}$ kan aannemen, dan noemen we $\text{P}(X\le 3)$ een cumulatieve kans. Deze is de som van de kansen: $\text{P}(X=0)$, $\text{P}(X=1)$, $\text{P}(X=2)$ en $\text{P}(X=3)$.

Laat $X$ een stochast zijn die de waarden $x_1,x_2,\dots x_n$ aanneemt, met kansen $p_1,p_2,\dots p_n$.
Dan $\text{E}(X)=p_1\cdot x_1+p_2\cdot x_2+\mathrm{...}{p}_n\cdot x_n$ is de verwachtingswaarde van $X$. Als je de tabel van de kansverdeling kent:

kun je de verwachtingswaarde dus eenvoudig uitrekenen: vermenigvuldig elk van de mogelijke uitkomsten met de kans op die uitkomst en tel vervolgens de producten op.

$\text{sd}(X)=\sqrt{p_1{(x_1-\text{μ})}^2+p_2{(x_2-\text{μ})}^2+\mathrm{...}+p_n{(x_n-\text{μ})}^2}$ is de standaardafwijking van $X$.
De standaardafwijking noteren we ook wel met $\text{σ}$.
De variantie van $X$ is het kwadraat van de standaardafwijking: $\text{Var}(X)=p_1{(x_1-\text{μ})}^2+p_2{(x_2-\text{μ})}^2+\mathrm{...}+p_n{(x_n-\text{μ})}^2$.

Er geldt:
$\text{E}\left(X+Y\right)=\text{E}\left(X\right)+\text{E}\left(Y\right)$ voor elke stochast $X$ en $Y$.
$\text{Var}\left(X+Y\right)=\text{Var}\left(X\right)+\text{Var}\left(Y\right)$, mits $X$ en $Y$ onafhankelijk zijn.

Als $X$ binomiaal verdeeld is met $n$ herhalingen en succeskans $p$, dan is $\text{E}(X)=np$ en $\text{Var}(X)=np(1-p)$.

Een normale verdeling $X$ ligt vast door zijn verwachtingswaarde $\text{μ}$ en zijn standaardafwijking $\text{σ}$.
De kans dat $X$ tussen twee waarden $a$ en $b$ ligt, is de oppervlakte aangegeven in de figuur hiernaast.
Deze kans noteren we met $\text{P}\left(a<X<b|\text{μ;σ}\right)$.
De totale oppervlakte onder de zogenaamde verdelingskromme is $1$.

Voor willekeurige stochasten $X$ en $Y$ en getallen $a$ geldt:

1. $\text{E}\left(a+X\right)=a+\text{E}\left(X\right)$

2. $\text{E}\left(a\cdot X\right)=a\cdot \text{E}\left(X\right)$

en

1. $\text{Var}\left(a+X\right)=\text{Var}\left(X\right)$

2. $\text{Var}\left(a\cdot X\right)=a^2\cdot \text{Var}\left(X\right)$

Bij de formules voor $a+X$ en $a\cdot X$ tekenen we de volgende plaatjes.

Zo kun je elke normale verdeling 'vervormen' tot de standaard-normale verdeling.

De normale grootheid $N$, met verwachtingswaarde $0$ en standaardafwijking $1$ noemen we de standaard-normale verdeling.
Bij een normale verdeling $X$ met verwachtingswaarde $\text{μ}$ en standaardafwijking $\text{σ}$ is bij een waarde $X=a$ de $z$-waarde van $a$:
$z=\frac{a-\text{μ}}{\text{σ}}$.
Overgaan op de standaard-normale verdeling noemen we standaardiseren.
Uitslagen met een

1. $z$-waarde tussen $‐1$ en $1$ zijn heel gewoon: in $68$% van de gevallen;

2. $z$-waarde die meer dan $2$ van $0$ afwijkt, zijn tamelijk zeldzaam in $5$% van de gevallen;

3. $z$-waarde die meer dan $3$ van $0$ afwijken zijn uiterst zeldzaam: in $\mathrm{0,2}$% van de gevallen.

Als $X_1$, $X_2$, $X_3$, $\dots$, $X_n$ normaal verdeeld zijn, dan is
$X=X_1+\dots +X_n$ dat ook.
Er geldt: $\text{E}\left(X\right)=\text{E}\left(X_1\right)+\dots +\text{E}\left(X_n\right)$.
Als $X_1$, $X_2$, $X_3$, $\dots$, $X_n$ onafhankelijk zijn geldt ook:
$\text{Var}\left(X\right)=\text{Var}\left(X_1\right)+\dots +\text{Var}\left(X_n\right)$, dus
$\text{sd}\left(X\right)=\sqrt{{\left(\text{sd}\left(X_1\right)\right)}^2+\dots +{\left(\text{sd}\left(X_n\right)\right)}^2}$.

In het bijzonder geldt de wortel-$n$-wet.
Als $X_1$, $X_2$, $X_3$, $\dots$, $X_n$ onafhankelijk en normaal verdeeld zijn met dezelfde verwachtingswaarde $\text{μ}$ en standaardafwijking $\text{σ}$, dan geldt voor de som $S$ met $S=X_1+\dots +X_n$:
$\text{E}\left(S\right)=n\cdot \text{μ}$ en $\text{sd}\left(S\right)=\sqrt{n}\cdot \text{σ}$.
Voor het gemiddelde $G$ met $G=\frac{1}{n}\left(X_1+\dots +X_n\right)$ geldt:
$\text{E}\left(G\right)=\text{μ}$ en $\text{sd}\left(G\right)=\frac{\text{σ}}{\sqrt{n}}$.

Als onafhankelijke grootheden met dezelfde kansverdeling bij elkaar opgeteld worden, gaat de som steeds meer lijken op een normale verdeling.

De kansverdeling van een binomiale grootheid $X$ met kansparameter $p$ en aantal herhalingen $n$ is goed te benaderen met een normale grootheid $N$ met dezelfde verwachtingswaarde $\text{μ}=n\cdot p$ en standaardafwijking
$\text{σ}=\sqrt{n\cdot p\left(1-p\right)}$.
Zo is bijvoorbeeld:
$\text{P}\left(3<X<\mathrm{10,}n,p\right)\approx \text{P}\left(\mathrm{3,5}<N<\mathrm{9,5}|\text{μ;σ}\right)$ en $\text{P}\left(3<X\le \mathrm{10,}n,p\right)\approx \text{P}\left(\mathrm{3,5}<N<\mathrm{10,5}|\text{μ;σ}\right)$ enzovoort.
Dit klopt beter naarmate $n$ groter is en $p$ in de buurt van $\frac{1}{2}$ ligt.

Op de GR kun je $\text{P}\left(a<X<b|\text{μ;σ}\right)$, $\text{P}\left(X>a|\text{μ;σ}\right)$ en $\text{P}\left(X<a|\text{μ;σ}\right)$ berekenen.
Ook kun je de grenswaarde $a$ bij een gegeven kans $\text{P}\left(X<a|\text{μ;σ}\right)$$=p$ vinden.

Voor alle getallen $x$ en $y$ en positieve gehelen getallen $n$ geldt:
${(x+y)}^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)x^k{y}^{n-k}}$.

Voorbeeld
De vierde rij in de driehoek van Pascal is als volgt: $14641$.
Dus ${\left(x+y\right)}^4=1\cdot x^4+4\cdot x^{3}y+6\cdot x^2{y}^2+4\cdot x{y}^3+1\cdot y^4$.