3.1 Voorbeelden van dynamische systemen >

Hoofdstukken > Discrete dynamische modellen

Hieronder staan vier voorbeelden van dynamische modellen ook wel systemen genoemd, met de verschillende factoren die een rol spelen.

Stroming in een havenmond
- eb- en vloedbeweging
- vaarbewegingen van schepen
- aanvoer water uit een rivier
- wind
Het weer
- luchtverplaatsingen (de luchtdruksituatie in de omgeving)
- temperatuur
- luchtvochtigheid
- geografische omstandigheden (bijvoorbeeld open water)
- bewolking
Prijsontwikkeling (van bijvoorbeeld benzine)
- productie van olie
- politieke spanningen
- milieuoverwegingen
- seizoensinvloeden
Griepepidemie
- agressiviteit van het griepvirus
- voorzorgsmaatregelen (inenting)
- het weer
- immuniteit
- verspreidingssnelheid (besmettelijkheid )

Zoek nog enkele voorbeelden van dynamische systemen. Kies de voorbeelden uit verschillende vak- en toepassingsgebieden.
Noem bij elk voorbeeld de voornaamste factoren die een rol spelen.

Een dynamisch systeem ontwikkelt zich in de loop van de tijd. Er spelen verschillende variabelen een rol. Die variabelen beïnvloeden elkaar: als een ervan verandert, veranderen de andere ook.
De praktijk is complex. Daarom zullen we de werkelijkheid vaak vereenvoudigen. Je moet altijd kritisch blijven of de gedane vereenvoudigen min of meer verantwoord zijn en het model de werkelijkheid nog wel redelijk beschrijft.

We gaan nu eerst enkele dynamische systemen voor een paar stappen doorrekenen.

De koninginnepage is een grote dagvlinder. Hij vliegt in Nederland van mei tot oktober. Hij is geel met een zwarte tekening. De rups is groen met zwarte banden.

Rupsen en vlinders
Vlinders leggen eieren. Daar komen rupsen uit. Als de rups volgroeid is, gaat hij verpoppen. Na verloop van tijd kruipt er een vlinder uit de pop. Dan is de cyclus rond. Onderweg kan er een heleboel mis gaan. Zo zijn de rupsen een smakelijk hapje voor vogels. En vlinders zijn (vooral als ze net uit de pop zijn gekomen) erg kwetsbaar.
Er zijn wel $100.000$ soorten vlinders, waarvan er zo'n $2000$ in Nederland voorkomen. Hoe lang de verschillende fasen van de cyclus duren, hangt sterk af van de soort. En ook de leefgewoonten en overlevingskansen in deze fasen. Bekende vlinders in Nederland zijn het koolwitje, de dagpauwoogvlinder en de koninginnepage.

Het aantal rupsen in een jaar hangt af van het aantal vlinders in het jaar daarvoor. En het aantal vlinders hangt af van het aantal rupsen in het jaar daarvoor. We volgen de populatie rupsen en vlinders. Stel dat elke vlinder een jaar later $2$ rupsen veroorzaakt en dat elke rups met kans $0,6$ een vlinder wordt.
In een zeker jaar, het jaar $0$ , waren er $1000$ vlinders en $3000$ rupsen. Een jaar later, het jaar $1$ , zijn er $2000$ rupsen en $1800$ vlinders.

Hoeveel vlinders en rupsen zijn er de volgende twee jaren. Zet je uitkomsten in een tabel zoals hiernaast.
$V_{n}$ is het aantal vlinders in het jaar $n$ , $R_{n}$ is het aantal rupsen in het jaar $n$ ( $n = 0, 1, 2, ...$ ).

Bovenstaande aannamen kunnen we zo opschrijven:
$V_{0} = 1000$ ,
$R_{0} = 3000$ ,
$R_{n} = 2 \cdot V_{n - 1}$ , $n = 1, 2, ...$
$V_{n} = 0,6 \cdot R_{n - 1}$ , $n = 1, 2, ...$

Ga dat na.

Opmerking:

De derde regel: $R_{n} = 2 \cdot V_{n - 1}$ , $n = 1, 2, ...$ ,
is een samenvatting van oneindig veel regels:
$R_{1} = 2 \cdot V_{0}$ ,
$R_{2} = 2 \cdot V_{1}$ ,
$R_{3} = 2 \cdot V_{2}$ ,
$R_{4} = 2 \cdot V_{3}$ ,
enzovoort.

Hoe de populatie rupsen en vlinders zich verder zal ontwikkelen in de loop der jaren is niet een-twee-drie te zeggen. Zullen ze uitsterven, zal de populatie exploderen, zal de populatie zich stabiliseren (zo ja, op welke aantallen)? Dit is een onderwerp van onze studie. En als de kans $0,6$ wordt vervangen door $0,5$ , hoe zal de vlinder-rups-toekomst er dan uitzien?

Medicijnspiegel
De bijsluiter over het gebruik van een medicijn vertelt het volgende.

Elke dag verdwijnt $25$ % van het medicijn uit het lichaam door uitscheiding.
Neem dagelijks $1500$ mg van het medicijn in.

We gaan ervan uit dat de patiënt vóór dag $1$ nog niets van het medicijn in het lichaam heeft. Op dag $1$ neemt hij voor het eerst, geheel volgens de regels van de bijsluiter, $1500$ mg in. En dat zo elke dag.

Hoeveel mg medicijn heeft de patiënt in zijn lichaam op dag $2$ , dag $3$ en dag $4$ , meteen nadat hij zijn dagelijkse dosis heeft ingenomen?

$m_{n}$ is het aantal milligram medicijn in het lichaam, na de inname van de dagelijkse dosis op dag $n$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ).
We kunnen het voorgaande dan zo opschrijven:

$m_{1} = 1500$
$m_{n} = 0,75 \cdot m_{n - 1} + 1500$ , $n = 2, 3,4, \dots$ .

Ga dat na.

Ook nu is niet onmiddellijk duidelijk hoe de medicijnspiegel zich zal ontwikkelen in de loop der dagen. En hoe zal dat gaan als we de vaste inname van $1500$ mg veranderen? En als de gegeven $25$ % niet helemaal juist blijkt te zijn?

Ratten
Een rattenvrouwtje werpt gemiddeld elke veertig dagen een nest. Zo'n nest heeft gemiddeld zes jongen, waarvan er drie vrouwtje zijn. De jonge rattenvrouwtjes zijn de eerste tijd nog niet vruchtbaar. Na tachtig dagen werpt een rattenvrouwtje voor het eerst een nest van zes jongen. We beginnen met één rattenpaar, dus met $1$ rattenvrouwtje. Na $40$ dagen zijn er dan $1 + 3 = 4$ vrouwtjes, waaronder er maar $1$ vruchtbaar is. Na $80$ dagen zijn er 1 $1 + 3 + 3 = 7$ rattenvrouwtjes, waaronder er $1 + 3 = 4$ vruchtbaar zijn.

Bereken hoeveel rattenvrouwtjes er zijn na $120$ dagen. Hoeveel vruchtbare vrouwtjes zijn daarbij?
Ook na $160$ dagen.

Het aantal vruchtbare rattenvrouwtjes na $n$ periodes van $40$ dagen noemen we $r_{n}$ . Dan laten de bovenstaande aannamen zich als volgt vertalen:
$r_{0} = 1$ , $r_{1} = 1$ ,
$r_{n} = r_{n - 1} + \dots$ , $n = 2, 3,4, \dots$ .

Wat moet er ingevuld worden? Licht je antwoord toe.

Duidelijk is dat het aantal ratten explodeert. Maar hoeveel er na $800$ dagen zijn, is niet zo snel duidelijk.
En hoe zal het aantal ontwikkelen als we de vruchtbaarheid van de rattenvrouwtjes weten terug te brengen tot van $3$ tot $1,5$ ?

Wat is een discreet dynamisch model?
Je hebt nu drie voorbeelden gezien van zogenaamde discrete dynamische modellen.
Waarom dynamisch?
De toestand op een bepaald moment hangt af van één of meer toestanden daarvoor.

Bij opgave 1: als er vorig jaar $1000$ vlinders en $3000$ rupsen zijn, zijn er dit jaar $1800$ vlinders en $2000$ rupsen.
Bij opgave 2: als er gisteren $1500$ gram medicijn in het lichaam was, is er vandaag $2625$ gram.
Bij opgave 3: als er vorige periode $7$ rattenvrouwtjes waren en twee periodes geleden $4$ , dan zijn er nu $19$ .

Waarom discreet?
Je bekijkt de toestand niet doorlopend maar om gezette tijden. In de voorbeelden was dat om het jaar, om de dag of om een periode van $40$ dagen. Wat er tussentijds gebeurt, is onbekend; in elk geval interesseert ons dat niet.
Waarom model?
De werkelijkheid is sterk vereenvoudigd. Feitelijk werk je met gemiddelde waarden en omstandigheden die niet (te veel) mogen veranderen. Hierbij laat je allerlei praktische storingen buiten beschouwing.
Bijvoorbeeld in opgave 2 neem je onder andere aan dat de overlevingskansen elk jaar hetzelfde blijven.

Welke aannamen maak je bij opgave 3?

En bij opgave 4?

In een dynamisch model is steeds hetzelfde hoe de toestand op een bepaald moment afhangt van de vorige toestand(en). Je past dus steeds weer dezelfde manier van berekenen toe. Die manier is gegeven door een formule of een berekeningswijze. Die formule of berekeningswijze verandert dus niet in de loop van de tijd.
De aantallen vlinders in de opvolgende jaren (opgave 2) vormen een rij getallen:
$1000$ , $18.000$ , $1200$ , $2160$ , 1440 , … .
De aantallen mg medicijn in de opvolgende dagen (opgave 3) vormen een rij:
$1500$ , $2625$ , $3468,8$ , $4101,6$ , $4576,2$ , … .
De aantallen rattenvrouwtjes in de opvolgende periodes van $40$ dagen (opgave 4) vormen een rij:
$1$ , $1$ , $4$ , $7$ , $19$ , $40$ , $97$ , … .
In de volgende paragraaf gaan we ons bezighouden met rijen.
Het is duidelijk dat, om bij een model de rij van aantallen in de opvolgende stappen te berekenen, een computer handig is. In de drie voorbeelden werd de nieuwe situatie steeds op dezelfde manier berekend uit de vorige of de vorige twee. En een computer kan snel en foutloos eenzelfde berekening heel vaak herhalen. Ook de GR kan dat prima.
Een programma op internet vind je in
Met wat daar ingevuld is, vind je de aantallen rattenvrouwtjes in de opvolgende periodes.