Hoofdstukken > Discrete dynamische modellen

Sparen
Anneke spaart met de regelmaat van de kalender. Op 1 januari 2000 had zij € $235$ . Elke week weet ze daar $23$ euro aan toe te voegen. Het gespaarde bedrag na $n$ weken noemen we $b_{n}$ .

Leg uit dat: ${\begin{cases} b_{0} = 235 \\ b_{n} = b_{n - 1} + 23 \end{cases} n = 1, 2, 3, \dots$ .

Geef een formule voor $b_{n}$ .

Na hoeveel weken is Anneke de $1000$ -euro-grens gepasseerd?

De formule in opgave 6a zegt hoe je - als je de $n$ -de term kent - de $n + 1$ -ste term kunt berekenen.
Als je bijvoorbeeld $b_{12}$ wilt berekenen, zul je eerst $b_{11}$ moeten uitrekenen; daarvoor moet je eerst $b_{10}$ uitrekenen. Enzovoort. Omdat je de startwaarde $b_{0}$ kent, kun je dus in twaalf stappen $b_{12}$ uitrekenen. We noemen de twee regels tezamen een recursieve formule.
De formule $b_{n} = 235 + 23 n$ in opgave 6b zegt hoe je direct de term bij een gegeven rangnummer $n$ kunt berekenen. We noemen dit een directe formule.

Pakketje
Iemand heeft een groot stuk papier $5$ keer dubbelgevouwen. Zodoende is er een aardig dik pakketje ontstaan.

Hoeveel lagen is het pakketje dik?

Het aantal lagen dat het pakketje na n keer dubbelvouwen dik is, noemen we $a_{n}$ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ .

Geef een recursieve formule voor $a_{n}$ . Vergeet niet ook de startwaarde te geven.

Geef een directe formule voor $a_{n}$ .

Opmerking:

In de opgaven 6 en 7 is er sprake van een rij getallen. Soms beginnen we bij $0$ te tellen, soms bij $1$ , soms krijgt de beginterm nog een ander nummer. Een rij is (meestal) oneindig lang.
Er zijn twee manieren om zo'n rij vast te leggen: direct en recursief. In beide gevallen kun je de rij in de GR invoeren.
Kijk hoe dat op jouw machine gaat.

Hondenbelasting
In Nijmegen was de gemeentelijke hondenbelasting in 2018 als volgt.
Voor de eerste hond moest de eigenaar € $112$ betalen; voor elke volgende hond € $168$ .
$H_{n}$ is de belasting voor $n$ honden (in euro's). Hierbij is $n$ een positief geheel getal.

Een Nijmegenaar had in 2018 zeven honden.

Hoeveel moest hij aan hondenbelasting betalen?

Stel een directe formule op voor $H_{n}$ .

Stel een recursieve formule op voor $H_{n}$ .

Verdunnen
In een bak zit $7$ liter water, met daarin $320$ gram zout opgelost. We voeren de volgende verdunning uit:
voeg $1$ liter water toe aan de bak; roer goed; schep er $1$ liter water uit, zodat er weer $7$ liter overblijft.
We voeren deze verdunning bij herhaling uit.

Hoeveel gram zout is er nog over in de bak als je twee keer de verdunning hebt uitgevoerd?

Na $n$ keer verdunnen, is er nog $g_{n}$ gram zout over in de bak.

Geef een recursieve formule voor $g_{n}$ .

Maak een tabel op de GR.

Geef een directe formule voor $g_{n}$ .

Na hoeveel verdunningen is er minder dan $10$ gram zout in de bak over?

Samengestelde interest
Bij de meeste spaarbanken wordt de rente jaarlijks berekend. Als je de rente niet opneemt, wordt die bij het tegoed bijgeschreven en levert hij het jaar daarop dus ook rente op. Men spreekt dan van samengestelde interest.
Stel dat je $4$ % rente ontvangt per jaar. In 2000 had je € $1207$ ; $n$ jaar later is dit kapitaal aangegroeid tot $K_{n}$ euro.

Hoe kun je $K_{4}$ (dat is het kapitaal na $4$ jaar) berekenen als je $K_{3}$ kent?

Geef een recursieve formule voor $K_{n}$ , $n = 0, 1, 2, 3, \dots$

Maak een tabel voor $K_{n}$ op de GR en bepaal daarmee wanneer de $10.000$ -euro-grens overschreden wordt.

Geef een directe formule voor $K_{n}$ .

We bekijken $K_{n} - K_{n - 1}$ .

Toon aan: $K_{n} - K_{n - 1} \approx 46,4 \cdot {1,04}^{n}$ .

Wat is de betekenis van $K_{n} - K_{n - 1}$ ?

Halve competities
Vier ploegen spelen een halve competitie, dat wil zeggen dat elke ploeg één keer tegen elk van de drie andere ploegen speelt.

Hoeveel wedstrijden worden er in totaal gespeeld?

Je kunt uittellen dat bij een halve competitie van tien ploegen er in totaal $45$ wedstrijden worden gespeeld.

Weet je nu ook het totaal aantal wedstrijden in een halve competitie van elf ploegen?

$n$ ploegen spelen een halve competitie ( $n$ is een positief geheel getal). $c_{n}$ is het aantal wedstrijden dat in totaal gespeeld wordt.

Hoe kun je $c_{n + 1}$ uitrekenen als je $c_{n}$ weet?

Geef een recursieve formule voor $c_{n}$ .

Maak een tabel voor $c_{n}$ op de GR.

Je weet nu dat $c_{7} = c_{6} + 6$ ; $c_{6} = c_{5} + 5$ ; $c_{5} = c_{4} + 4$ ; $c_{4} = c_{3} + 3$ ; $c_{3} = c_{2} + 2$ ; $c_{2} = 1$ . Dus $c_{7}$ is de som van de eerste zes positieve getallen. Die kun je uitrekenen met de truc van Gauss. Dat gaat zo:

Maak deze berekening van $c_{7}$ af.

Maak net zo'n berekening van $c_{11}$ .

Welke directe formule vind je op deze manier voor $c_{n}$ ?

We kijken nog eens naar de medicijnspiegel van opgave 3. Het aantal milligram medicijn in het lichaam, na de inname van de dagelijkse dosis op dag $n$ is $m_{n}$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ).
We hebben de volgende recursieve betrekking: ${\begin{cases} m_{1} = 1500 \\ m_{n + 1} = 0,75 \cdot m_{n} + 1500 \end{cases} n = 1, 2, 3, \dots$ .

Bepaal met een tabel op de GR hoeveel mg er in het lichaam zit onmiddellijk na de inname op dag $20$ ?

Onderzoek op de GR wat het aantal milligram op den duur ongeveer is (dat wil zeggen na een groot aantal dagen).

Fibonacci
circa 1170 – 1250

In het boek Liber Abaci van Leonardo van Pisa, die ook wel Fibonacci (= zoon van Bonacci) werd genoemd, komt de beroemde konijnenrij voor.
Het boek, dat in 1202 verscheen, heeft veel bijgedragen aan de verspreiding van het tientallig stelsel in West-Europa. Mede door dit boek is de wiskunde na de Middeleeuwen tot bloei gekomen.
De konijnenrij bekijken we in de volgende opgave.

Deze opgave gaat over de rij van Fibonacci.
Fibonaccikonijnen gaan nooit dood. Vanaf zijn tweede levensjaar werpt een fibonaccikonijn één jong per jaar (mannetjes en vrouwtjes kennen de fibonacci's niet). In het (begin van het) jaar $1$ is er $1$ fibonaccikonijn.

Leg uit dat er in het (begin van) jaar $1$ nog steeds $1$ konijn is en dat in het (begin van) jaar $2$ er $2$ konijnen zijn.

Maak een tabel van het aantal konijnen in het begin van de jaren:

jaar	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
aantal	$1$	$1$	$2$

Het aantal konijnen in het begin van jaar $n$ noemen we $u (n)$ .

Leg uit dat geldt: $u (n) = u (n - 1) + u (n - 2)$ voor alle gehele getallen $n > 1$ .

Een recursieve formule voor deze rij is:
${\begin{cases} u (0) = 1 \\ u (1) = 1 \\ u (n) = u (n - 1) + u (n - 2) (n = 2, 3, 4, \dots) \end{cases}$
Merk op dat je, om een volgende term te berekenen, de twee vorige moet optellen. Vandaar dat er ook twee beginwaarden gegeven zijn.

Voer deze recursieve formule in op je GR.
Zoek uit hoe je een rij met twee beginwaarden invoert.

Maak een tabel van de rij op je GR en lees af vanaf welk jaar er voor het eerst meer dan $100$ konijnen zijn.

Bepaal hoeveel konijnen er in het jaar $40$ zijn.

Opmerking:

Het is niet zo eenvoudig een directe formule voor de rij van Fibonnaci op te stellen.

Op sommige typen GR, bijvoorbeeld de TI, wordt een rij $u_{n}$ geschreven als $u (n)$ . Je ziet de rij dan als een functie $u$ met domein de natuurlijke of positieve gehele getallen.

Die notatie gebruiken we ook in de volgende opgave.

We bekijken de rij $u$ met de recursieve formule:
${\begin{cases} u (0) = 2 \\ u (1) = 1 \\ u (n) = u (n - 1) + 2 u (n - 2) (n = 2, 3, 4, \dots) \end{cases}$ .

Bereken zonder GR $u (2)$ en $u (3)$ .

Voer deze rij in op je GR.
Om de berekening te kunnen beginnen, moeten er weer twee termen ingevoerd worden, $u (0)$ en $u (1)$ .

Bereken $u (20)$ met de GR.

Bekijk nu de rij $v (n) = 2^{n}$ , $n = 0$ , $1$ , $2$ , ... .

Vergelijk de rijen $u$ en $v$ op de GR en geef een directe formule voor de rij $u$ in de vorm:
${\begin{cases} u (n) = ... als n even \\ u (n) = ... als n oneven \end{cases}$ .

We kijken nog eens naar de rattenpopulatie van opgave 4. Het aantal ratten na $n$ periodes van $40$ dagen is $r_{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ . We hadden de volgende recursieve betrekking: ${\begin{cases} r_{0} = 1 \\ r_{1} = 1 \\ r_{n} = r_{n - 1} + 3 \cdot r_{n - 2} \end{cases} n = 2, 3, 4, \dots$ .

Bepaal met een tabel op de GR hoeveel ratten er na $400$ dagen zijn.

Zoek op de tabel wanneer er meer dan $1$ miljoen ratten zijn.

In opgave 2 hangen de aantallen rupsen en de aantallen vlinders van elkaar af. Je hebt dus te maken met twee rijen die aan elkaar gekoppeld zijn. Om de ontwikkeling van de aantallen rupsen en vlinders te kunnen volgen, moeten beide rijen tegelijk op de GR worden ingevoerd. Zoek uit hoe dat op jouw machine gaat.
Je kennis kunt je in de volgende opgave testen.

Rups van de koninginnepage

Voer de rijen van opgave 2 in op de GR.
Hoeveel rupsen en vlinders zijn er in jaar $18$ ?

Gemiddelde
Anneke zit in de brugklas. Elke week krijgt ze een overhoring Engels. De eerste keer had ze nog niet door hoe het werkte en haalde ze prompt een $1$ . Ze heeft zich daardoor niet uit het veld laten slaan; alle volgende overhoringen scoorde Anneke een $10$ .
Na elke nieuwe overhoring berekent ze het gemiddelde van alle overhoringen tot dan toe.

Bereken het gemiddelde dat Anneke heeft na $2$ overhoringen. En na $3$ , na $4$ en na $5$ overhoringen

$g_{n}$ is het gemiddelde na $n$ overhoringen, $n = 1, 2, 3, \dots$ .

Geef een directe formule voor $g_{n}$ .

Bepaal met een tabel op de GR na hoeveel overhoringen het gemiddelde boven de $9,6$ komt.

In de voorgaande opgaven heb je allerlei soorten rijen ontmoet.

rekenkundige rijen, dat zijn rijen met constant verschil tussen de opvolgende termen,
meetkundige rijen, dat zijn rijen met een constante verhouding (reden) tussen de opvolgende termen,
kwadratische rijen, dat zijn rijen van het type:
$a_{n} = a + b \cdot n + c \cdot n^{2}, n = 0, 1, 2, \dots$ .

Er zijn natuurlijk ook nog rijen die niet onder een van deze types vallen.

Zeg bij de opgaven 6 tot en met 11 van welk type de rij is.
Geef bij een rekenkundige rij ook het verschil en bij een meetkundige rij de reden.

Voor een zekere rekenkundige rij $u$ geldt: $u_{0} = 5$ en constant verschil $3$ .

Schrijf de eerste zes termen op.

Bereken $u_{20}$ .

Geef een directe formule voor de rij $u_{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .

Voor een zekere meetkundige rij $u$ geldt: $u_{0} = 5$ en constant reden $3$ .

Schrijf de eerste zes termen op.

Bereken $u_{20}$ .

Geef een directe formule voor de rij $u_{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .

Een zekere kwadratische rij heeft directe formule:
$u_{n} = a + b \cdot n + c \cdot n^{2}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .
De eerste drie termen van de rij zijn bekend: $u_{0} = 5$ , $u_{1} = 8$ en $u_{2} = 9$

Bereken $a$ , $b$ en $c$ .

Bereken $u_{20}$ .