Hoofdstukken > Discrete dynamische modellen

Wat is een limiet?

Voorbeeld:

Gegeven is de rij $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .
We schrijven het begin van de rij op:
$0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$
Als we de rij verder en verder opschrijven, blijkt dat de getallen in de rij zo dicht bij $1$ komen als je maar wil.
We zeggen: de getallen in de rij naderen tot $1$ .
Ook: de limiet van de rij $u_{n}$ (als $n$ nadert tot oneindig) is $1$ .
of: de rij convergeert naar $1$ .
We schrijven: $\lim_{n \to \infty} u_{n} = 1$ .

Neem de rij $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .

Bereken exact vanaf welke waarde van $n$ de termen van de rij $u_{n}$ minder dan $\frac{1}{1000}$ van $1$ afwijken.

Gegeven is de rij $v_{n} = \frac{2 n + 10}{n + 3}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .
De rij convergeert naar het getal $L$ .

Welk getal is $L$ ?

Bereken exact vanaf welke waarde van $n$ de termen van de rij $v_{n}$ minder dan $\frac{1}{100}$ van $L$ afwijken.

Gegeven is een rij $u_{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .
Dan $\lim_{n \to \infty} u_{n} = L$ , als de termen van de rij $u_{n}$ op den duur minder dan elk positief getal, hoe klein ook, van $L$ afwijken.
We zeggen: de rij $u_{n}$ convergeert naar $L$ .

$L$ heet limiet(waarde) van de rij $u_{n}$ .

Als er een getal is waar naar toe de getallen in de rij naderen, dan heet de rij convergent.
Van Dale:
limiet is grens, grenswaarde.
convergent is in een punt samenkomend.

Voorbeeld:

Gegeven is de rij $u_{n} = \frac{n^{2}}{n + 1}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$
Uitgeschreven: $0, \frac{1}{2}, 2 \frac{1}{4}, 3 \frac{1}{5}, 4 \frac{1}{6}, 5 \frac{1}{7}, \dots$ .
Als we de rij verder en verder opschrijven, blijkt dat de getallen in de rij willekeurig groot worden. We zeggen: de rij $u_{n}$ nadert tot oneindig (als $n$ nadert tot oneindig).
We schrijven: $\lim_{n \to \infty} u_{n} = \infty$ . De rij $u_{n}$ is dus niet convergent.
Je kunt nu zelf wel bedenken wat betekent: $\lim_{n \to \infty} u_{n} = ‐ \infty$ .

Bepaal of de volgende rijen convergent zijn. Zo ja, geef de limiet. Zo nee, is dan het symbool $\infty$ of $‐ \infty$ van toepassing?
Het is mogelijk dat geen van drieën het geval is.

$u_{n} = 100 - 0,01 n$

$u_{n} = 100 \cdot {0,9}^{n}$

$u_{n} = 100 \cdot {(‐ 1)}^{n}$

$u_{n} = \sqrt[3]{n}$

$u_{n} = \sqrt[n]{3}$

$u_{n} = \frac{n^{2}}{2 n^{2} - 1}$

$u_{n} = \sin (\frac{1}{2} π n)$

$u_{n} = \frac{2^{n} + 1}{2^{n + 1}}$

$u_{n} = \frac{\sqrt{4 + n}}{\sqrt{4 n}}$

Augustin-Louis Cauchy
1789 - 1857

Wiskundige begrippen moeten heel precies vastgelegd worden. Zo ook het begrip "limiet". Maar dat is geen eenvoudige zaak. Wij danken de moderne exacte definitie aan de Fransman Cauchy. Deze definitie luidt als volgt.

$\lim_{n \to \infty} u_{n} = L$ als bij elk (klein positief) verschil $a$ er een rangnummer is, zo dat vanaf dat rangnummer voor alle termen in de rij geldt: $L - a < u_{n} < L + a$ .

Voor de rij uit het eerste voorbeeld met $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ is $L = 1$ , want:
kies $a = 0,1$ ; er geldt $0,9 < u_{n} < 1,1$ voor alle $n \geq 10$ ,
kies $a = 0,01$ ; er geldt $0,99 < u_{n} < 1,01$ voor alle $n \geq 100$ ,
kies $a = 0,001$ ; er geldt $0,999 < u_{n} < 1,001$ voor alle $n \geq 1000$ ,
enzovoort.

Voor $\lim_{n \to \infty} u_{n} = \infty$ luidt de definitie als volgt.
$\lim_{n \to \infty} u_{n} = \infty$ als bij elk (groot) getal $A$ er een rangnummer is, zo dat vanaf dat rangnummer voor alle termen in de rij geldt: $u_{n} \geq A$ .

Voor de rij $u_{n} = \frac{n^{2}}{n + 1}$ uit het tweede voorbeeld geldt
$\lim_{n \to \infty} u_{n} = \infty$ , want:
kies $A = 10$ ; er geldt $u_{n} > A$ voor alle $n \geq 10$ ,
kies $A = 100$ ; er geldt $u_{n} > A$ voor alle $n \geq 100$ ,
kies $A = 1000$ ; er geldt $u_{n} > A$ voor alle $n \geq 1000$ ,
enzovoort.

De punten $A$ en $B$ liggen verticaal 3 van elkaar af en horizontaal 4. We maken trappen tussen $A$ en $B$ van $n$ treden $n = 1, 2, 3, \dots$ . Hieronder staan de voorbeelden voor $n = 5$ en $n = 20$ . De lengte van de traplijn met $n$ treden noemen we $u_{n}$ .

Anneke redeneert als volgt.
De traplijn gaat steeds meer op het lijnstuk $A B$ lijken. De lengte van $A B$ bereken ik met de stelling van Pythagoras. Dus: $\lim_{n \to \infty} u_{n} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .