Wat is een limiet?
1
a

1 u n < 1 1000 1 n + 1 < 1 1000 n > 999 , dus vanaf n = 1000 .

b

L = 2

c

v n 2 < 1 100 4 n + 3 < 1 100 n > 397 , dus vanaf n = 398 .

2
a

, 0 , bestaat niet

b

, 1 , 1 2

c

bestaat niet, 1 2 , 1 2

3

Annekes redenering is fout. Voor elke n is de lengte van de trap 7 .

4

Annekes redenering is fout. Vanaf rangnummer n = 10 groeit de noemer sneller dan de teller.

5

Annekes redenering is fout. 100 sin ( x ) kan nooit groter worden dan 100 .

6

Annekes redenering is fout. Elk van de termen gaat weliswaar naar 0 , maar het worden er wel steeds meer. De teller kun je schrijven als 1 2 n ( n + 1 ) . Dus u n = 1 2 + 1 2 n , dus lim n u n = 1 2 .

7
a

Annekes redenering is fout. n wordt weliswaar groot, maar tegelijkertijd wordt sin ( 1 n ) klein.

b

Boris' redenering is fout. sin ( 1 n ) wordt weliswaar klein, maar tegelijkertijd wordt n groot. De GR wijst als waarschijnlijke limiet 1 aan.

8
a

Annekes redenering is fout. Je neemt weliswaar een steeds grotere macht van een getal groter dan 1 , maar het grondtal komt steeds dichter bij 1 .

b

Boris redenering is fout. Het grondtal nadert weliswaar tot 1 , maar de exponent wordt heel groot.
De GR geeft als waarschijnlijke limiet een getal in de buurt van 2,71 . Uit hoofdstuk 10 van wiskunde B weten we dat lim n u n = e .

Rekenen met limieten
9
a

Juist

b

Juist

c

Juist

d

Juist

10
a

Onjuist, bijvoorbeeld als u n = sin ( n ) n , dan 'slingert' 1 u n op en neer, wordt heel groot, maar in de volgende stap heel negatief.

b

Juist

11
a

Onjuist, neem bijvoorbeeld u n = 10 1 n .

b

Juist

c

Onjuist, neem bijvoorbeeld u n = 1 1 n en v n = 1 + 1 n

d

Juist

12

lim n c u n = als c > 0 en lim n c u n = als c < 0 ;
lim n ( u n + v n ) = ;
lim n ( u n v n ) = ;
lim n ( u n v n ) = als lim n v n > 0 , lim n ( u n v n ) = als lim n v n < 0 en lim n ( u n v n ) kan van alles zijn als lim n v n = 0 , bijvoorbeeld:
als v n = 87 n en u n = n , dan is de limiet 87 ,
als v n = 1 n en u n = n 2 , dan is de limiet ,
als v n = 1 n en u n = n 2 , dan is de limiet ,
als v n = 1 n en u n = n , dan is de limiet 0 .

13

lim n ( n 1 + n 0 + n ) =

lim n ( ( 1 4 ) n + 5 2 n ) =

lim n ( n 2 + n 1 + n 0 ) = 1

lim n ( 4 n + 5 1 2 n ) =

lim n ( n 2 + n 1 + n 0 ) =

lim n ( ( 1 4 ) n + 5 1 2 n ) = 0

lim n ( 4 n 0,1 + n 4 0,1 ) =

lim n ( 4 n + 5 2 n ) =

14
a

3 5

b

0

c

De rij u v is zeker niet convergent, lim n | u n v n | = .

d

Je kunt er niets van zeggen.

e

f

0

g

Je kunt er niets van zeggen.

15

lim n 4 n + 100 n + 1 = 4

lim n 1 6 n 4 1 + 3 n 4 = 2

lim n n 2 + 1 n + 1000 =

lim n 4 n 3 + 100 1 2 n 3 = 2

lim n 4 n + 100 1 2 n 3 = 0

lim n n 2 + 1 1 2 n 3 = 0

16

lim n 4 n 2 + 1 n + 2 = lim n 4 + n 2 1 + 2 n 1 = 2

lim n 4 n 3 + 1 n + 2 =

lim n 4 n 3 + 1 n 2 + 2 = 0

lim n 4 n 3 + 8 3 n 3 + 1 3 = 4 3

lim n 6 n + 5 n 4 n + 3 n =

lim n 4 n + 3 n 6 n + 5 n = lim n ( 2 3 ) n + ( 1 2 ) n 1 + ( 5 6 ) n = 0

lim n π 2 n 6 n + 2 5 n = lim n ( π 2 6 ) n 1 + 2 ( 5 6 ) n = 0

lim n 4 n + 1 + 1 2 n + 100 = lim n 4 + 4 n 1 + 100 2 n = 2

17

lim n ( 1,1 n 2,2 n ) = lim n 2,2 n ( ( 1 2 ) n 1 ) = , want de eerste factor gaat naar oneindig en de tweede naar 1 .
lim n ( 2 n 2 3 1 2 n ) = lim n 2 n ( 1 2 ( 1 2 3 ) n ) = , want de eerste factor gaat naar en de tweede naar 1 want 1 2 3 < 1 .