3.6 Webgrafieken >

Hoofdstukken > Discrete dynamische modellen

In paragraaf 4 is de iteratiefunctie geïntroduceerd. We hebben gezien, afhankelijk van de beginsituatie en de functie, dat een rij een limiet kan hebben of chaotisch gedrag vertoont. Met behulp webgrafieken proberen we greep op de situatie te krijgen.

Medicijnspiegel
We bekijken de opgave over de medicijnspiegel van paragraaf 1.

Elke dag verdwijnt 25% van het medicijn uit het lichaam door uitscheiding.
De patiënt neemt dagelijks 1500 mg van het medicijn in.

$m_{n}$ is het aantal milligram medicijn in het lichaam, na de inname van de dagelijkse dosis op dag $n$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ).
$m_{1} = 1500$ . Er geldt: $m_{n} = F (m_{n - 1})$ voor $n = 2, 3, 4, \dots$ , waarbij $F (x) = 0,75 x + 1500$ . Hieronder is de grafiek van de functie $F$ en de lijn $y = x$ getekend.

Ga na dat in het diagram hierboven het proces

in beeld gebracht wordt.

Teken op het werkblad de pijlen om $m_{5}$ en $m_{6}$ te vinden.

In het diagram kun je zien dat de medicijnspiegel op den duur nauwelijks nog verandert. De medicijnspiegel heeft een limiet.

Lees uit het diagram af hoe groot die limiet ongeveer is.

Stel een vergelijking op om deze limiet te berekenen en los de vergelijking op.

De limietwaarde van de medicijnspiegel noemt wel het verzadigingsniveau.

Het diagram in opgave 71 noemen we een webgrafiek. De functie $F$ die $m_{n - 1}$ omrekent in $m_{n}$ is de iteratiefunctie.
De functie $F$ rekent bij de vorige medicijnspiegel de nieuwe uit. Een dag later is dit de oude medicijnspiegel geworden. Door opnieuw $F$ toe te passen krijg je de nieuwe, enzovoort.

Leeglopende ballon
In opgave 46 hebben we de hoeveelheid draaggas in een ballon bekeken.
Elke dag vermindert de hoeveelheid draaggas met $5$ %. De hoeveelheid draaggas in het begin van dag $n$ noemen we $D_{n}$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ). Er geldt: $F (D_{n - 1}) = D_{n}$ , waarbij $F (x) = 0,95 x$ .

Teken de grafiek van $F$ op het interval $[75,100]$ .

Neem $D_{0} = 100$ en teken vier stappen van de webgrafiek.

Wat is $\lim_{n \to \infty} D_{n}$ ?

In opgave 71 is het werken met een webgrafiek vruchtbaar: je ziet hoe hoog de medicijnspiegel op den duur wordt. In opgave 72 is het resultaat dat je met een webgrafiek boekt niet spectaculair: dat de ballon op den duur nagenoeg helemaal leeg zal zijn is zonder web-grafiek ook wel duidelijk.

Medicijnspiegel
We gaan verder met opgave 71. Hoe snel medicijn weer uit het lichaam verdwijnt, hangt onder andere af van de leverfunctie. Bij een zeker persoon wordt per dag niet $25$ % van het medicijn afgebroken in het lichaam, maar $20$ %. Als er elke dag $1500$ mg medicijn wordt toegediend, zal de hoeveelheid medicijn in het lichaam bij deze persoon op den duur ook nagenoeg constant worden, maar het verzadigingsniveau zal hoger liggen, dan in opgave 71.

Lees dit verzadigingsniveau af uit een webgrafiek.
Bepaal die waarde ook door een vergelijking op te lossen.

Het medicijn werkt optimaal als de limietwaarde niet $7500$ maar $6000$ mg bedraagt.

Hoeveel medicijn moet er per dag worden toegediend om verzadigingsniveau $6000$ mg te krijgen als er per dag $20$ % in het lichaam wordt afgebroken?

Hoeveel moet de medicatie zijn bij een patiënt waarbij per dag $30$ % wordt afgebroken om op den duur een medicijnspiegel van $6000$ mg te krijgen?

Je kunt webgrafieken op je GR maken. Hoe dat bijvoorbeeld voor de TI gaat vind je op de website van de Wageningse Methode.

Maak webgrafieken op de GR bij opgave 71 en opgave 72.

Bepaal op de GR de eventuele limieten van de volgende rijen.

$u_{0} = 6$ , $u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}}$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ )

$u_{0} = 6$ , $u_{n + 1} = \frac{2}{u_{n}}$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ )

$u_{0} = 6$ , $u_{n + 1} = 1 + \frac{2}{u_{n}}$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ )

Stelling 1
Laat $y = F (x)$ de iteratiefunctie zijn van een rij $u$ .
Als $F$ continu is, en de rij $u$ is convergent, zeg naar limiet $L$ , dan geldt: $F (L) = L$ .

Opmerking:

Dat $F$ continu is wil zeggen dat $F$ geen "sprongen" maakt. Als $u_{n}$ willekeurig dicht bij $L$ , komt ook $F (u_{n})$ willekeurig dicht bij $F (L)$ .

(Gebroken) veeltermfuncties, wortelfuncties, exponentiële en logaritmische functies zijn continu.

Controleer de stelling voor de rijen in opgave 75 a en c.

De stelling stelt je in staat eventuele limieten exact te berekenen door een vergelijking op te lossen. Doe dat voor de volgende rijen. De beginwaarde van de rijen wordt niet vermeld.

$u_{n + 1} = \sqrt{6 - u_{n}}$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ )

$u_{n + 1} = 2 \frac{1}{2} u_{n} - 3$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ )

$u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + \frac{1}{u_{n}}$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ )

$u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ )

Opmerking:

Pas op! De stelling zegt niet dat de rij convergeert. Hij zegt alleen wat de mogelijke limietwaarden zijn, indien de limiet bestaat.
Zie de volgende opgave.

Neem voor elk van de rijen in opgave 75 de beginwaarde $u_{0} = 6$ .

Bij welke van deze rijen was de oplossing van de vergelijking $F (x) = x$ toch niet de limiet?

Als je een iteratiefunctie $F$ hebt en een beginwaarde, kun je in een webgrafiek zien wat de eventuele limiet is: het is een van de dekpunten van $F$ , dat wil zeggen een getal $x$ waarvoor geldt: $F (x) = x$ .

Bekijk de iteratiefunctie $f$ met $f (x) = 1 - \frac{1}{2} x^{2}$ .
Op de $x$ -as is een beginwaarde $u_{0}$ gekozen.

Construeer op het werkblad nauwkeurig het webdiagram. Geef de plaatsen van $u_{1}$ tot en met $u_{7}$ aan op de $x$ -as.

Als je $u_{0}$ een beetje verplaatst, houd je dezelfde limiet.

Probeer een beginwaarde te vinden zodat de rij naar het andere dekpunt convergeert.

Bereken beide dekpunten.

Opmerking:

Ook in GeoGebra kun je met webgrafieken werken, zie bijvoorbeeld materiaal van Wim Haazen.

Maak op de GR een webdiagram bij de volgende rijen.
Wat is de limiet?

$u_{0} = 6$ , $u_{n + 1} = \sqrt{6 - u_{n}}$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ )

$u_{0} = 6$ , $u_{n + 1} = 2 \frac{1}{2} u_{n} - 3$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ )

$u_{0} = 6$ , $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + \frac{1}{u_{n}}$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ )

$u_{0} = 6$ , $u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ )

$u_{0} = \frac{1}{2}$ , $u_{n + 1} = ‐ u_{n} \sqrt{1 + {u_{n}}^{2}}$ , $(n = 0, 1, 2, \dots)$

$u_{0} = ‐ 1$ , $u_{n + 1} = 2 - {u_{n}}^{2}$ $(n = 0, 1, 2, \dots)$

Er zijn vier soorten webdiagrammen:

convergente spiralen
divergente spiralen
convergente trappen
divergente trappen

Van Dale: divergent is uit een punt ontspringend, steeds verder uiteenwijkend.

Bijzondere aandacht verdienen ook de "randgevallen"; en ook de periodieke rijen.

Verdieping

We nemen een lineaire iteratiefunctie: $f : x \to a x + b$ . Het dekpunt noemen we $d$ ; dus $f (d) = d$ . We onderscheiden vier gevallen.

Het hangt niet van de beginwaarde af welk soort webdiagram je krijgt.

Onderzoek in elk van deze vier gevallen wat voor soort webdiagram je krijgt.

Waar hangt het kennelijk van af of je een convergente/ divergentie spiraal/trap als webdiagram krijgt?

Hoe zit het als de richtingscoëfficiënt van de grafiek van de iteratiefunctie
( $a$ dus) gelijk is aan $1$ of $‐ 1$ ?

In de figuur hiernaast is de iteratiefunctie lineair: zijn grafiek heeft vergelijking $y = a x + b$ .
Er is één stap gezet van het webdiagram: van $u_{n}$ naar $u_{n + 1}$ .

We letten erop hoe ver $u_{n}$ en $u_{n + 1}$ van het dekpunt $d$ afliggen.
Die afstanden zijn $| u_{n} - d |$ en $| u_{n + 1} - d |$ .

Leg aan de hand van het plaatje uit dat $| u_{n + 1} - d | = | a | | u_{n} - d |$ .
De absolute waarde-strepen staan er omdat je in het algemeen niet weet of $u_{n}$ en $u_{n + 1}$ links of rechts van $d$ liggen en je wilt de afstanden positief hebben. Dank zij de absolute waarde-strepen geldt $| u_{n + 1} - d | = | a | \cdot | u_{n} - d |$ ook als we met een van de andere drie type webdiagrammen te maken hebben.

Stelling 2
Gegeven is de rij $u$ met lineaire iteratiefunctie $f : x \to a x + b$ , dus $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ . Veronderstel dat $d$ dekpunt van $f$ is, dus $f (d) = d$ .
Dan geldt: $| u_{n + 1} - d | = | a | \cdot | u_{n} - d |$ .

Gegeven is de rij ${\begin{cases} u_{0} = 5 \\ u_{n + 1} = 3 - 0,5 \cdot u_{n} \end{cases} n = 0, 1, 2, \dots$ , voor $n = 0, 1, 2, \dots$ .

Wat is de iteratiefunctie? Wat is het dekpunt $d$ ?

Hoe groot zijn: $| u_{0} - d |$ , $| u_{1} - d |$ en $| u_{2} - d |$ ?

Geef een formule voor $| u_{n} - d |$ .

Vanaf welke $n$ geldt: $u_{n}$ verschilt minder dan $0,00001$ van de limiet?

Gegeven is de rij ${\begin{cases} u_{0} = 5 \\ u_{n + 1} = ‐ 3 + 1,5 \cdot u_{n} \end{cases} n = 0, 1, 2, \dots$ , voor $n = 0, 1, 2, \dots$ .

Wat is de iteratiefunctie? Wat is het dekpunt $d$ ?

Hoe groot zijn: $| u_{0} - d |$ , $| u_{1} - d |$ en $| u_{2} - d |$ ?

Geef een formule voor $| u_{n} - d |$ .

Vanaf welke $n$ geldt: $u_{n}$ verschilt minder dan $100000$ van de limiet?

Gegeven is de rij ${\begin{cases} u_{0} = 5 \\ u_{n + 1} = 3 - u_{n} \end{cases} n = 0, 1, 2, \dots$ , voor $n = 0, 1, 2, \dots$ .

Wat is de iteratiefunctie? Wat is het dekpunt $d$ ?

Hoe groot zijn: $| u_{0} - d |$ , $| u_{1} - d |$ en $| u_{2} - d |$ ?

Welke bijzonderheid heeft de rij $u$ ?

Opmerking:

In het bovenstaande was de iteratiefunctie $f$ lineair. In dat geval kun je onmiddellijk zeggen welk type webdiagram je krijgt. En je weet hoe snel de rij convergeert of divergeert. De afstand tot het dekpunt wordt namelijk elke stap $| a |$ keer zo groot, hierbij is $a$ de richtingscoëfficiënt van de functie $f$ .
De afstanden tot het dekpunt $| u_{0} - d |$ , $| u_{1} - d |$ , $| u_{2} - d |$ , $| u_{3} - d |$ , $\dots$ vormen dus een meetkundige rij, met beginterm $| u_{0} - d |$ en reden $| a |$ .
De convergentie/divergentie gaat dus exponentieel snel.

Als de iteratiefunctie niet lineair is, is het allemaal lastiger. We moeten het een en ander voorzichtig formuleren.

Laat de rij $u$ gegeven zijn door $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , voor $n = 0, 1, 2, \dots$ .
Laat $d$ een dekpunt zijn van de functie $f$ .

de rij $u$ geheel ligt in een zeker interval $I$ , en
$| f (x) - f (d) | \leq c \cdot | x - d |$ voor alle $x$ in $I$ ,

dan geldt: $| u_{n + 1} - d | < c \cdot | u_{n} - d |$ voor $n = 0, 1, 2, \dots$ en dus
dus: $| u_{n} - d | < c^{n} \cdot | u_{0} - d |$ voor $n = 0, 1, 2, \dots$ . dus convergeert de rij exponentieel snel naar $d$ .

In de buurt van een dekpunt is de iteratiefunctie nagenoeg lineair (zoom maar in!) en neemt de helling van de grafiek in het dekpunt - dat is $f^{'} (d)$ - de rol van de richtingscoëfficiënt $a$ in het lineaire geval over.
Als $f$ differentieerbaar is in $d$ (dat wil zeggen $f^{'} (d)$ bestaat), dan kun je aan de waarde van $| f^{'} (d) |$ zien of $d$ limiet kan zijn van de rij. Namelijk:

Als $| f^{'} (d) | < 1$ en een van de termen $u_{n}$ komt "dicht genoeg" bij $d$ , dan convergeert de rij naar $d$ .
Als $| f^{'} (d) | > 1$ dan kan $d$ alleen limiet zijn van de rij als een der termen $u_{n}$ toevallig precies gelijk is aan $d$ .

Gegeven is voor elke getal $p$ de rij ${\begin{cases} u_{0} = p \\ u_{n + 1} = f (u_{n}) \end{cases} n = 0, 1, 2, \dots$ , met iteratiefunctie $f (x) = x^{2}$ .

Er zijn twee beginwaarden $p$ waarbij $1$ de limiet van de rij is.

Welke?

Ga met een webdiagram na wat de limiet is als $‐ 1 < p < 1$ .

Hoe zit het als $p > 1$ of als $p < ‐ 1$ ?