Opmerking:

De stof in deze paragraaf behoort niet tot de eindtermen voor het landelijk centraal examen.

Gemiddeld bedraagt de temperatuur in De Bilt in de maand juli $16,6 ° C$ . In 1983 was de gemiddelde juli-temperatuur in De Bilt $20,1 ° C$ .

Is dat uitzonderlijk hoog? Wat denk jij?

De consumentenbond controleert een kilopak suiker. Gemiddeld behoren de pakken $1000$ gram te bevatten. Het gecontroleerde pak bleek $982$ gram te bevatten.

Vind jij dit uitzonderlijk?

Vaak is het lastig om, zo op het oog, te beoordelen of een waarneming uitzonderlijk is. Daarom gebruiken we de volgende methode.
Bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking. Ga na hoeveel keer de standaardafwijking de waarneming afwijkt van het gemiddelde. Hoe hoger dit aantal keer, des te uitzonderlijker is de waarneming.

De juli-temperatuur (in $° C$ ) in De Bilt is normaal verdeeld met gemiddelde $16,6$ en standaardafwijking $1,4$ . In 1983 was de gemiddelde juli-temperatuur in De Bilt $20,1 ° C$ .

Hoeveel keer de SD wijkt deze waarneming af van het gemiddelde?
Is de juli-temperatuur van 1983 uitzonderlijk, vind jij?

De consumentenbond controleert een kilopak suiker. Het gewicht van een pak is gemiddeld $1000$ gram, met een standaardafwijking van $10$ gram. Het gecontroleerde pak bleek $982$ gram te bevatten.

Hoeveel keer de SD wijkt deze waarneming af van het gemiddelde? Is een pak met $982$ gram uitzonderlijk, vind jij?

Uit de testresultaten van duizenden kinderen van $12$ jaar bij een bepaalde intelligentietest is berekend dat een kind gemiddeld $80$ punten scoort met een standaardafwijking van $10$ punten.
Een kind dat $95$ punten haalt, zit $1,5 \cdot SD$ boven het gemiddelde. Psychologen zeggen dan dat het kind een $z$ -score van $1,5$ heeft.

Welk aantal punten hoort bij een $z$ -score van $‐ 0,7$ ?

Opmerking:

In de statistiek spreken we in plaats van “ $z$ -score” meestal van gestandaardiseerde waarde of korter $z$ -waarde.

Het aantal keer de standaardafwijking (SD) dat een waarneming afwijkt van het gemiddelde, heet de z-waarde.
Je berekent de $z$ -waarde als volgt:
$z -waarde = \frac{waarneming - gemiddelde}{SD}$ .

We bekijken de lengten in twee groepen: $16$ -jarige jongens en $16$ -jarige meisjes. Bij de jongens is de gemiddelde lengte $176$ cm en de standaardafwijking $12$ cm. Bij de meisjes is de gemiddelde lengte $164$ cm en de standaardafwijking $10$ cm. Een jongen en een meisje uit deze groepen krijgen verkering. Ze zijn beiden erg lang: de jongen $196$ cm en het meisje $186$ cm.

Bereken de $z$ -waarde van de lengte van de jongen en van de lengte van het meisje om te bepalen wie van de twee de grootste uitschieter is qua lengte binnen zijn/haar groep.

Hoe lang is een meisje dat een $z$ -waarde heeft van $0$ ?

Hoe lang is een meisje dat een $z$ -waarde heeft van $‐ 1,6$ ?

Hiernaast is nogmaals de normale kromme getekend van de lengtes van de $2504$ dienstplichtige jongens, We nemen aan dat deze kromme representatief is voor alle $18$ -jarige (Nederlandse) jongens. (De gemiddelde lengte is $181,76$ cm en de standaardafwijking is $6,85$ cm.)

Hoe groot is de kans dat een willekeurig gekozen $18$ -jarige jongen:

kleiner is dan $181,76$ cm?
groter is dan $188,61$ cm?
groter dan $181,76$ en kleiner dan $188,61$ cm is?

Elk van deze drie kansen correspondeert met een gedeelte onder de normale kromme. Het vlakdeel dat bij de eerste kans hoort, is in het plaatje hiernaast gekleurd.

Neem de figuur over en kleur ook de vlakdelen die bij de tweede (blauw) en de derde kans (rood) horen.

Drukken we de lengtes uit in inches, dan worden alle getallen door $2,54$ gedeeld. De klokvorm blijft.

Hoe verandert dan het gemiddelde en hoe de standaardafwijking?

De klokvorm blijft ook als we van alle lengtes (in cm) een vast getal, bijvoorbeeld het gemiddelde, aftrekken.

Hoe verandert dan het gemiddelde en hoe de standaardafwijking?

In het bijzonder blijft de klokvorm bestaan als we alle getallen vervangen door hun $z$ -waarden. De normale kromme die bij de $z$ -waarden hoort, staat bekend als de standaard normale kromme (zie hiernaast).

De standaard normale verdeling is de normale verdeling met gemiddelde $0$ en standaardafwijking $1$ .

Opmerking:

De formule is: $y = 0,4 \cdot {0,6}^{x^{2}}$ beschrijft de normale verdeling. Hierin zijn $0,4$ en $0,6$ benaderingen. De grafiek heeft de gewenste klokvorm en de oppervlakte onder de grafiek is gelijk aan $1$ .

Deze formule is voor het eerst beschreven door de Frans/Engelse wiskundige Abraham de Moivre (1667-1754). Ook door andere wiskundigen is er veel onderzoek gedaan op het gebied van de klokkromme. Een van de onderzoekers was Carl Friedrich Gauss. De kromme wordt daarom ook wel Gausskromme genoemd.

De kans dat een $z$ -waarde tussen $a$ en $b$ ligt, is gelijk aan de oppervlakte onder de kromme van $a$ tot $b$ (zie hiernaast). Die oppervlakte kunnen we berekenen als we de oppervlakte onder de kromme links van $a$ en de oppervlakte onder de kromme links van $b$ kennen.

Wat moet je met de oppervlakte links van $a$ en de oppervlakte links van $b$ doen om de oppervlakte onder de kromme tussen $a$ en $b$ te vinden?

We kijken nu naar de oppervlakte onder de standaard normale kromme die links van een aangegeven punt $z$ ligt (zie onderstaande figuur). De gekleurde oppervlakte noemen we $Φ (z)$ , spreek uit: fie-zet. Van de oppervlakte onder de standaard normale kromme links van een $z$ -waarde zijn tabellen gemaakt. Met die tabellen kunnen allerlei kansen berekend worden. In de tabel hieronder staan enkele waarden van $Φ$ .

Ga na dat de oppervlakte links van $‐ 1,5$ en de oppervlakte links van $1,5$ samen $1$ zijn. Heb je daar een verklaring voor?

Hoe groot is de oppervlakte rechts van $1$ ? En rechts van $2$ ?

Ga na dat de oppervlakte tussen $0$ en $1$ gelijk is aan $0,3413$ .

Hoe groot is de kans op een $z$ -waarde:

groter dan $1$ ?
tussen $‐ 1$ en $1$ ?
tussen $‐ 0,5$ en $2$ ?
tussen $‐ 2$ en $0,5$ ?

Een uitgebreide tabel voor de standaard normale verdeling vind je via deze link: standaardnormale tabel.

Een stukje daarvan is hieronder afgebeeld:

In de eerste kolom staan de $z$ -waarden tot in één decimaal nauwkeurig. Achter $z = 0,6$ staan $10$ getallen. Dat zijn de oppervlaktegetallen $Φ (z)$ die horen bij achtereenvolgens $z = 0,60$ , $z = 0,61$ , $z = 0,62$ , $...$ , $z = 0,69$ .
Voorbeeld: $Φ = (0,64) = 0,7389$ , zie de tabel.
De oppervlaktegetallen zijn niet in procenten, maar als getallen van $0,0000$ tot $1,0000$ . Het getal $0,7389$ kan dus ook gelezen worden als $73,89 %$ . De betekenis van $Φ (0,64) = 0,7389$ wordt in het plaatje hiernaast nog eens gegeven.

Opmerking:

De oppervlaktegetallen kun je ook met je rekenmachine bepalen. Je gebruikt daarvoor de optie normalcdf (op de TI) of NormCD (op de Casio).

Bepaal met de tabel voor de normale verdeling (of de GR) de oppervlakte van de gekleurde stukken.

De tabel kan dus gebruikt worden om bij gegeven $z$ -waarde de oppervlakte $Φ (z)$ op te zoeken. Omgekeerd kan bij een gegeven oppervlakte de bijbehorende $z$ -waarde gevonden worden.
Voorbeeld
Voor de gevraagde $z$ hiernaast moet gelden: $Φ (z) = 0,60$ . De $z$ -waarde die daar het dichtst in de buurt komt, is $z = 0,25$ .
Controleer dit in de tabel.

Welke $z$ -waarden passen het best bij de volgende oppervlakten?

We hebben een tabel voor de normale verdeling met gemiddelde $0$ en standaardafwijking $1$ . Als een verdeling niet standaard normaal is, kunnen we deze herleiden tot de standaard normale verdeling. Dit noemen we standaardiseren. Dat doen we door de $z$ -waarden te berekenen en daarna de tabel te gebruiken.

De lengte van de jongens in een zekere groep is normaal verdeeld met gemiddelde $182$ cm en standaardafwijking $10$ cm. We willen weten hoeveel procent langer is dan $200$ cm.

Wat is de $z$ -waarde van een lengte van $200$ cm?

Leg uit dat het deel dat langer is dan $200$ cm gelijk is aan $1 - Φ (1,8)$ . Hoe groot is dat percentage dat langer is dan $200$ cm?

Je hebt een vraag over de normale verdeling met gemiddelde $182$ en standaardafwijking $10$ teruggebracht naar een vraag over de standaard normale verdeling. Dat standaardiseren brengen we in beeld:

Je ziet drie keer hetzelfde plaatje, alleen met verschillende schaalverdeling op de horizontale as.

Het eerste plaatje betreft de echte lengtes (in cm).
Het tweede plaatje geeft de afwijkingen van het gemiddelde.
Het derde plaatje geeft de $z$ -waarden.

De bijbehorende twee rekenstappen zijn naast de plaatjes geschreven. Wat verandert er bij die rekenstappen aan het gemiddelde en de standaardafwijking?

Als je $182$ van de lengtes aftrekt, wordt het nieuwe gemiddelde $0$ ; de standaardafwijking blijft onveranderd $10$ .
Als je dan door $10$ deelt, blijft het gemiddelde $0$ , maar wordt de standaardafwijking $10$ keer zo klein, dus $1$ .

Bij andere voorbeelden gaat dat natuurlijk precies hetzelfde.

De $z$ -waarden van een normaal verdeelde variabele zijn standaard normaal verdeeld.

De lengte van $18$ -jarige meisjes is normaal verdeeld met
$μ = 170$ cm en $σ = 8$ cm.

Hoeveel procent van de groep heeft een lengte tussen $160$ en $180$ cm?

Een vulmachine vult pakken met (ongeveer ) $1$ kg suiker. Als de machine ingesteld staat op $1000$ gram, zal het werkelijke gewicht van een pak normaal verdeeld zijn met gemiddelde $1000$ gram en standaardafwijking $10$ gram.

Toon aan dat bijna $7 %$ van de pakken een gewicht heeft van $985$ gram of minder.

Volgens EU-richtlijnen mag slechts $2 %$ van dit soort pakken suiker een gewicht van $985$ gram of minder hebben. Dit houdt in dat de vulmachine op een hoger gemiddeld gewicht moet worden ingesteld. We nemen aan dat bij een andere instelling de standaardafwijking onveranderd $10$ gram is.
Het probleem is nu op welk gewicht de machine minimaal ingesteld moet worden.

Los dit probleem op door te standaardiseren.

Uit een onderzoek bleek dat de scores van leerlingen bij het CSE wiskunde A havo bij benadering normaal verdeeld zijn. In 1991 was het gemiddelde $62$ punten en $28 %$ van de leerlingen hadden een onvoldoende ( $54$ punten of minder).

Bereken de standaardafwijking.

Bereken hoeveel punten je moet hebben om bij de $20 %$ besten te horen.

Bij vraagstukken rond de normale verdeling draait alles om drie grootheden: het gemiddelde $μ$ , de standaardafwijking $σ$ en een percentage (oppervlakte onder de normale kromme). De drie grootheden zijn gekoppeld: als er twee bekend zijn, kun je de derde uitrekenen. In principe zijn er dus drie verschillende soorten vragen mogelijk. Van elk soort volgt nu een voorbeeld.

$μ$ en $σ$ zijn bekend
Auto’s worden op de lopende band in elkaar gezet. Een robot heeft voor het monteren van een wiel gemiddeld $96$ seconden nodig met een standaardafwijking van $5$ seconden.
Er treedt vertraging op in de totale montagelijn als de robot meer dan $110$ seconden nodig heeft.

Bereken in hoeveel procent van de gevallen er vertraging zal optreden.

$μ$ en percentage zijn bekend
Een robot heeft gemiddeld $80$ seconden nodig voor het bevestigen van een bumper. In zo’n $20 %$ van de gevallen is hij al na $77$ seconden klaar.

Bereken hoe groot de standaardafwijking is.

$σ$ en percentage zijn bekend
De robot die de deuren inzet, heeft daarvoor in $8$ op de $1000$ gevallen meer dan $105$ seconden nodig. De standaardafwijking voor de bewerking bedraagt $4$ seconden.

Bereken hoeveel seconden de robot gemiddeld doet over zijn karwei.