Tot nu toe hebben we gekeken hoe een “berg” cijfers overzichtelijk in beeld gebracht kan worden en hoe kerngegevens berekend kunnen worden. Dit noemen we beschrijvende statistiek. Er is nog een andere tak van de statistiek, namelijk de wiskundige statistiek. Deze houdt zich bezig met steekproeven.

Bij een onderzoek in de Verenigde Staten bleek dat $630$ van de $1500$ mensen, die geïnterviewd waren, zich 's avonds onveilig op straat voelden. Op grond van dit gegeven werd geconcludeerd dat $42\text{\%}$ zich 's avonds onveilig op straat voelt. Wat heeft men aan zo'n uitspraak? Niet natuurlijk dat precies $42\text{\%}$ van de totale bevolking zich 's avonds onveilig op straat voelt. Toch hopen de onderzoekers dat het percentage ongeveer rond de $42\text{\%}$ is. Als de steekproef 'goed' genomen is, kan men iets over de betrouwbaarheid van die $42\text{\%}$ zeggen. Daar houdt de wiskundige statistiek zich mee bezig. Zo kunnen onderzoekers na enig rekenen zeggen dat het vrijwel zeker is dat het echte percentage van de bevolking dat zich 's avonds onveilig op straat voelt tussen $39\text{\%}$ en $45\text{\%}$ ligt. Dan moeten ze nog wel vertellen wat zij met 'vrijwel zeker' bedoelen. 'Vrijwel zeker' moet gelezen worden als 'in $95$ van de $100$ gevallen' dat een steekproef zo gehouden wordt.

Dit houdt dus in dat het soms (naar verwachting in $5$ van de $100$ steekproeven) gebeurt dat het echte percentage meer dan $45\text{\%}$ of minder dan $39\text{\%}$ is. Onderzoekers spreken van een onbetrouwbaarheidsmarge of foutenmarge van $3\text{\%}$.

Een onbetrouwbaarheidsmarge van $3\text{\%}$ betekent dus dat het echte percentage vrijwel zeker tussen 'het (in de steekproef) gevonden percentage min $3\text{\%}$' en 'het gevonden percentage plus $3\text{\%}$' ligt. En dat “vrijwel zeker” betekent “in $95$ van de $100$ steekproeven”.

Er zijn meerdere manieren om een steekproef te nemen maar de hele theorie over betrouwbaarheidsmarges en zekerheden geldt alleen als de mensen voor de steekproef geloot worden uit de te onderzoeken populatie. Iedere persoon in Frankrijk moet een even grote kans hebben om in de steekproef te komen. Zo’n steekproef heet aselect. Dat lijkt simpel, maar is het niet.

Als in de krant staat dat de helft van de bevolking vertrouwen heeft in de premier, wil dat dan zeggen dat ruim $8$ miljoen Nederlanders aan een enquêtebureau verteld hebben dat ze vertrouwen in de premier hebben? Nee natuurlijk. Het bureau heeft bijvoorbeeld $1200$ mensen opgebeld en ze naar hun mening gevraagd.

Het met een speld prikken suggereert dat het loten eerlijk gebeurt: iedereen zou een even grote kans hebben om in de steekproef te komen.
Men kan ook gebruik kunnen maken van dobbelstenen met meer dan $6$ kanten, bijvoorbeeld een $100$-kantige dobbelsteen. Of zo'n $100$-kantige dobbelsteen bestaat of niet, het beeld is duidelijk: als je ermee gooit krijg je een getal (van $00$ t/m $99$) dat door toeval tot stand gekomen is.
Zoiets zou prima functioneren als je uit een groep van $100$ mensen een steekproef van $10$ mensen wilt nemen. Je geeft alle $100$ mensen een nummer (van $00$ t/m $99$); je gooit nu net zolang met de $100$-kantige dobbelsteen totdat je $10$ verschillende getallen hebt. De mensen met deze nummers komen in de steekproef.

We gaven al aan dat zo'n $100$-kantige dobbelsteen misschien niet bestaat; het was een gedachtenexperiment. Bovendien, als de groep te onderzoeken mensen uit $95$ personen bestaat, zou je dan een $95$-kantige dobbelsteen maken? De computer bewijst hier zijn nut. Deze kan een lijst van zogenaamde toevalsgetallen maken. Hieronder zie je een lijst van willekeurige getallen van twee cijfers, als ware er met een $100$-kantige dobbelsteen gegooid.

Nu is het aan de steekproefnemers om deze lijst handig te gebruiken.

Bij een autofabriek moeten de laatste $50$ auto's van de productielijn gecontroleerd worden. Men neemt een steekproef van $6$ stuks, die grondig getest worden. Welke auto's kiest men nu? Niet de eerste zes of laatste zes. Loten dus.
In het gedachtenexperiment zouden we met een $50$-kantige dobbelsteen gooien totdat we zes verschillende nummers hadden. In plaats daarvan gaan we de lijst met toevalsgetallen gebruiken.
We kiezen een willekeurige regel, bijvoorbeeld regel zeven. Deze luidt: $29$ $31$ $09$ $15$ $98$ $59$ $12$ $23$ $93$ $17$ $15$ enz.
We nemen steeds twee cijfers naast elkaar. Zo ontstaan getallen van $00$ tot en met $99$. Getallen boven de vijftig zijn niet bruikbaar: die slaan we over. Voor de steekproef worden de auto's gekozen met de nummers: $29$, $31$, $09$, $15$, $12$ en $23$.

We weten nu dat een steekproef 'goed' moet worden genomen en dat dat inhoudt dat iedere persoon uit de te onderzoeken populatie een even grote kans heeft om in de steekproef te komen. Toch zal in de praktijk de steekproef niet altijd direct uit de hele populatie getrokken worden.
Men wil een onderzoek doen naar wiskundedocenten in het voortgezet onderwijs. Bij een 'goede' steekproef van $150$ docenten blijken er $130$ mannen en $20$ vrouwen gekozen te worden. Natuurlijk weten de onderzoekers dat er veel meer mannelijke dan vrouwelijke wiskundedocenten zijn. Als ze bovendien weten hoe de verhouding is tussen die twee groepen (bijvoorbeeld $70\text{\%}$ man en $30\text{\%}$ vrouw), dan kunnen ze ook $105$ mannelijke docenten en $45$ vrouwelijke docenten kiezen.

Als de te onderzoeken populatie uit een aantal deelgroepen bestaat en de verhouding van het aantal personen in de deelgroepen is bekend, dan kun je als onderzoeker besluiten de steekproef op te delen in een aantal kleinere steekproefjes uit de verschillende groepen. De steekproef is dan qua samenstelling representatief voor de populatie.
Een laatste probleem met onderzoek door middel van steekproeven is: "Krijg je de informatie die je hebben wilt?”

Kijken en beslissen

• De cijfers voor wiskunde gaan omhoog; dus de bijles is goed.

• De benauwdheid verdwijnt; dus werkt het medicijn.

• Er sterven mensen na vaccinatie; dus stoppen met de vaccinatie.

Bij deze methode moet je voorzichtig zijn met het trekken van conclusies.

Kijken en vergelijken

• De cijfers gaan ook omhoog bij de leerlingen die geen bijles hebben; de bijles maakt niets uit.

• De benauwdheid verdwijnt ook bij neppillen; het effect is waarschijnlijk psychologisch.

• Zonder vaccinatie waren er misschien wel veel meer mensen gestorven; doorgaan met vaccineren.

Deze methode is veel beter, omdat de resultaten van de experimentele groep worden vergeleken met een controlegroep.