8.3  Formules van exponentiële verbanden >
1

In de tijd van de grote ontdekkingsreizen was het gewoon om aan boord levende dieren mee te nemen. Tenslotte was in die tijd nog geen diepvrieskist uitgevonden en zo bleef het vlees tenminste goed. Zo had een groep Engelsen op een reis naar Australië konijnen bij zich. In Australië aangekomen, wisten enkele konijnen te ontsnappen. Omdat het konijn in Australië geen natuurlijke vijanden had en er voedsel in overvloed was, groeide het aantal konijnen razendsnel.

Stel dat er tien konijnen ontsnapt waren en dat het aantal konijnen elk jaar vijf keer zo groot werd.

a

Hoeveel konijnen waren er dan na drie jaar? En na zes jaar? En na tien jaar?

b

Hoeveel konijnen waren er t  jaar na de ontsnapping?

Het aantal konijnen t jaren na de ontsnapping noemen we K .

c

Geef een formule voor K uitgedrukt in t .

2

In een kweek zitten 1000  bacteriën. Onder gunstige omstandigheden (vocht, temperatuur, voedsel, ruimte) delen de bacteriën in de kweek zich elk gemiddeld uur. Bij elke deling verdubbelt het aantal bacteriën. Neem aan dat de omstandigheden gunstig zijn.

a

Hoeveel bacteriën zijn er na 1  uur, na 2  uur, na 5  uur?

b

Hoeveel bacteriën zijn er na t  uur?

c

Geef een formule voor het aantal bacteriën B na t  uren.

d

Wat is (in vier decimalen nauwkeurig) de groeifactor van het aantal bacteriën per half uur?

e

Hoeveel bacteriën zijn er na 1 2  uur? En na 1 1 2  uur?

f

Bereken ook met de formule bij c het aantal bacteriën na 1 2  uur en na 1 1 2  uur.

Het aantal bacteriën na 3  kwartier is op twee manieren te berekenen.
1. Met de groeifactor per kwartier.
2. Met de formule bij c.

g

Bereken op beide manieren het aantal bacteriën na 3  kwartier.

3

Jaren geleden, in het tijdperk van de gulden waren er tijden van hoge inflatie. Daarom werd er in die tijd ook een hoge rente op een spaarrekening gegeven.
We volgen de groei van het kapitaal op een spaarrekening waarop jaarlijks 10 % rente wordt bijgeschreven.
Het beginkapitaal is 1000  gulden.
Het kapitaal na t  jaren sparen is K  gulden.

a

Vul de tabel in.

b

Bereken de grootte van het kapitaal K na 10  jaar.

c

Geef een formule voor K uitgedrukt in t .

d

Na hoeveel jaar is het kapitaal verdubbeld?

e

Met hoeveel euro neemt het kapitaal toe in het vijfde jaar?

4

Hoe snel een bacteriekolonie groeit (bij ideale laboratoriumomstandigheden) hangt af van de soort. Gistermiddag schatte een bioloog het aantal bacteriën in een kolonie om 12  uur op 500 en om 4  uur op 4500 .

a

Welk [MAAL] -machientje rekent het aantal bacteriën 2  uur later uit?

b

Hoeveel bacteriën waren er om 2  uur?

c

Hoeveel bacteriën waren er om 1  uur? En om 3  uur? En om 5  uur?

d

Geef een formule voor het aantal bacteriën t  uur na 12  uur.

5

Hoe dieper je onder water komt, hoe donkerder het wordt. Licht dat op water valt wordt gedeeltelijk geabsorbeerd. Hoe troebeler het water, hoe minder licht het doorlaat.
In zeewater bijvoorbeeld, is de hoeveelheid licht op 1  meter diepte ongeveer 75 % van de hoeveelheid licht dat op het wateroppervlak valt.

De hoeveelheid licht op 2  meter diepte is 75 % van 75 % van de oorspronkelijke hoeveelheid licht die op het water valt.

a

Hoeveel procent is dat?

y is de hoeveelheid licht (in procenten van de oorspronkelijke hoeveelheid) op x  meter diepte.

b

Vul de tabel verder in.

c

Geef de formule voor y uitgedrukt in x .

d

Ga na dat de hoeveelheid licht op 8  meter diepte 10 % van de oorspronkelijke hoeveelheid is.

e

Op hoeveel meter diepte is de hoeveelheid licht ongeveer 1 % van de oorspronkelijke hoeveelheid?

De exponentiële formules in de voorgaande opgaven vertonen alle dezelfde eigenschap: de hoeveelheid één tijdseenheid later (of één lengte-eenheid dieper) krijg je door de hoeveelheid nú (of op deze hoogte) met een bepaalde factor te vermenigvuldigen. Deze factor noemen we de groeifactor.

Exponentiële groei kan razend snel gaan, dat zie je bijvoorbeeld in opgave 25 In maart 2014 brak de besmettelijke ziekte ebola uit in West-Afrika. In september van dat jaar begon men zich ernstig zorgen te maken zoals blijkt uit onderstaand bericht op Nos.nl.dinsdag 23 sep 2014, 11:24 (Update: 23-09-14, 15:53)
Door redacteur gezondheidszorg Rinke van den Brink
Als er niet heel snel ingegrepen wordt gaat de groei van ebola exponentieel door en zullen er begin november meer dan 20.000 mensen besmet zijn. Dat staat in een artikel van het Ebola Response Team van de WHO dat vandaag verschenen is in de New England Journal of Medecine (NEJM).
In een artikel op internet van 14-10-2014 staat het volgende.
Zolang er geen maatregelen genomen worden, en zolang het aantal zieken relatief klein is vergeleken met het totale bevolkingsaantal, zal het aantal patiënten exponentieel blijven stijgen. In de begindagen van de huidige ebola-epidemie gebeurde dit a rato van een verdubbeling om de twintig dagen. (Bron: http://www.express.be/business/nl/economy/hoe-snel-
verspreidt-ebola-zich/208525.htm)

6

De groeifactor per meter van de hoeveelheid licht in opgave 29 is 0,75 .

Wat is de groeifactor per uur van de bacteriekolonie in opgave 28?
Wat is de groeifactor per jaar van het kapitaal in opgave 27?

7

Aan water wordt suiker toegevoegd. De suiker lost langzaam op: van de suiker die er op een bepaald moment nog over is, lost in de volgende minuut 20 % op. Om 12.00  uur is 125  gram suiker over. Het aantal grammen suiker dat er t  minuten na 12.00  uur over is noemen we A .

a

Vul de tabel in.

b

Wat is de groeifactor per minuut van de hoeveelheid suiker die over is?

c

Geef de formule voor A , uitgedrukt in t .

d

Hoeveel gram suiker lost er op in de tiende minuut na 12.00 uur?

Je kunt op twee manieren berekenen hoeveel suiker er 2  minuten voor 12.00  uur was.
1. Terugrekenen met de groeifactor per minuut.
2. Met de formule voor de hoeveelheid suiker bij c.

e

Hoeveel gram suiker was er 2  minuten voor 12.00  uur?

f

Ga na wanneer op 1  gram na alle suiker is opgelost.

Een hoeveelheid H groeit exponentieel in de tijd t als H gedurende elke tijdseenheid een vaste factor keer zo groot wordt: de groeifactor.
Als de beginhoeveelheid A is en de groeifactor g , dan moet er na elke tijdseenheid met g vermenigvuldigd worden.

Algemeen: H ( t ) = A g t .

8

Een bioloog doet onderzoek naar de invloed van fosfaten in het water op de groei van algen. Om de groei te kunnen bestuderen, heeft hij twee bakken met algen genomen. De ene bak bevat water met veel fosfaten, de andere fosfaatarm water. Van beide bakken bepaalt hij elke week de hoeveelheid algen. De resultaten van de bak met fosfaatrijk water staan hieronder.

a

Laat zien dat hier sprake is van exponentiële groei.

b

Stel een formule op voor de hoeveelheid H na t weken.

De bioloog was in de andere bak ook begonnen met hoeveelheid 10,0 . Na vier weken was de hoeveelheid algen gegroeid tot 22,9 .
Ook hier verwachten we dat de groei exponentieel verloopt.
We gaan op zoek naar de groeifactor per week. Die kunnen we vinden door een aantal waarden te proberen.

c

Hoe groot is het oppervlak na vier weken als de hoeveelheid algen elke week 1,3  keer zo groot wordt?
Wordt de hoeveelheid algen elke week meer of minder dan 1,3  keer zo groot?

d

Kies aan de hand van je resultaat bij het vorige onderdeel een nieuwe waarde voor de groeifactor. Ga net zolang door tot je de waarde van de groeifactor op twee decimalen nauwkeurig gevonden hebt.

Tegen de groene algensoep (NRC, 19-05-1997)

Fosfaatbelasting en bijbehorende algengroei hebben de binnenwateren troebel gemaakt. Na twintig jaar strijd op vele fronten schijnt hier en daar het zonlicht weer tot op de bodem. De blauwalgen creëren hun eigen favoriete milieu. Ze zorgen bijvoorbeeld voor veel schaduw in het water, waar ze zelf geen last van hebben, maar hun concurrenten wel. Bovendien kunnen deze algen heel zuinig met fosfaat omspringen, ze kunnen goed tegen troebel water en goed tegen kou. Ze zijn niet goed eetbaar voor grazers. Bovendien scheiden ze chemische stoffen af waarvan andere soorten hinder ondervinden. Zo versterkt de algenbloei zichzelf.

Opmerking:

De methode van opgave 32d om de groeifactor te vinden kost wat geduld en rekenwerk. Er is ook een methode om de groeifactor direct te berekenen.
We zochten naar de groeifactor g zo dat 10,0 g 4 = 22,9 .
Hieruit volgt: g 4 = 2,29 , dus g = 2,29 4 1,23 .

9

Nederland verstedelijkt in een rap tempo. Vooral steden in of bij de Randstad groeien als kool. Zo ook de stad Veenendaal tussen Utrecht en Arnhem. In 1983 telde Veenendaal nog maar 42.320 inwoners. Zes jaar later (in 1989) waren dat er al 47.358 . In 1995 woonden er in Veenendaal 54.023 mensen. (Gegevens op 1 januari; bron Statistisch Jaarboek)
Op 1 mei 2014 waren er 63.322 inwoners bron: CBS.

a

Neemt het aantal inwoners van Veenendaal lineair toe? Waarom wel/niet?

b

Hoeveel keer zo groot is het aantal inwoners van Veenendaal geworden in de periode 1983-1989?
En in de periode 1989-1995?

c

Kun je uit je antwoord op het vorige onderdeel al afleiden of het aantal inwoners exponentieel groeit?

Stel dat het aantal inwoners van Veenendaal in de gehele periode 1983-1989 exponentieel groeide.

d

Bereken de groeifactor g per jaar.

Stel dat een hoeveelheid exponentieel groeit en dat de hoeveelheid in 6  uur tijd 5  keer zo groot wordt. Dan geldt voor de groeifactor g per uur: g 6 = 5 .
Dus g = 5 6 , de zesdemachtswortel van 5 .

10

Een luchtballon loopt langzaam leeg, elke dag met 3 %.
Op een gegeven moment ( t = 0 ) zit er 2  liter lucht in.

a

Geef een formule voor de hoeveelheid lucht H in de ballon (in liter) na t  dagen.

b

Hoeveel procent lucht verdwijnt er per week uit de ballon (in één decimaal nauwkeurig).

c

Na hoeveel dagen zit er minder dan een halve liter lucht in de ballon?

Als een hoeveelheid met 2 % per uur toeneemt, groeit die hoeveelheid exponentieel met groeifactor 1,02 per uur.
Als een hoeveelheid met 2 % per uur afneemt, groeit die hoeveelheid exponentieel met groeifactor 0,98 per uur.

11

De prijzen stijgen gemiddeld met 2 % per jaar.

a

Met hoeveel procent stijgen de prijzen in 10  jaar (in één decimaal nauwkeurig)?

Een hoeveelheid groeit met 70 % per week.

b

Bereken in één decimaal nauwkeurig met hoeveel procent de hoeveelheid per dag groeit.

Een belegger ziet zijn beleggingen in 4  jaar groeien van 110 miljoen tot een kwart miljard. Neem aan dat de groei exponentieel is.

c

Met hoeveel procent per jaar groeit zijn belegd kapitaal (in één decimaal nauwkeurig)?

De prijs van sommige electronica daalt spectaculair. De laatste drie jaar geeft een daling 1 3 van de prijs te zien. Neem aan dat de prijs exponentieel daalt.

d

Bereken met hoeveel procent per jaar (in twee decimalen).

Iemand koopt een pakket aandelen. Het eerste jaar stijgen de aandelen met 20 %, het tweede jaar met 7,3 %, het derde jaar dalen ze met 18 % en het vierde jaar stijgen ze weer met 4,4 %.

e

Met gemiddeld hoeveel procent per jaar is het pakket in vier jaar gestegen (in één decimaal nauwkeurig)?