Exponenten berekenen

In de vorige paragraaf moest je een aantal keren het tijdstip zoeken, waarbij een exponentiële formule een bepaalde waarde bereikt. Dit komt neer op de juiste exponent zoeken bij een exponentieel verband. Dit kan door proberen, maar het gaat sneller met een gerichte methode. Op de GR kan dit door een grafiek of tabel te maken of een vergelijkingoplosser (solver of intersect) te gebruiken. Het kan ook met behulp van de log-knop (of logBase, of logab) op je rekenmachine.

De oplossing (in drie decimalen) van de vergelijking $2^{x} = 3$ is: $x = {}^{2} log (3) = \frac{\log (3)}{\log (2)} \approx 1,585$ .

Opmerking:

Het getal ${}^{2} log (3)$ wordt internationaal - en dus misschien ook op jouw grafische rekenmachine - vaak genoteerd als $\log_{2} (3)$ .
Deze functie heet op je GR waarschijnlijk logBase, of logab, of iets dergelijks. Zoek uit hoe het op jouw rekenmachine werkt.

Los de volgende vergelijkingen op, in twee decimalen nauwkeurig. Let op: ze zijn niet allemaal van dezelfde soort.

$g^{7} = 3$	${1,1}^{t} = 2$
${0,8}^{x} = 0,4$	$a^{6} = 6$
$4^{t} = 2000$	$x^{4} = 1000$
$p^{5} = 0,18$	$23^{y} = 123$

De volgende vergelijkingen zien er ingewikkelder uit dan die hierboven. Maar ze zijn te herschrijven tot zulke vergelijkingen.

Los deze vergelijkingen op, in twee decimalen nauwkeurig.

$3 \cdot 2^{x} - 15 = 18$	$7 \cdot (a^{3} - 1) = 3 \cdot (a^{3} + 11)$
$5 \cdot x^{10} + 12 = 3 \cdot (20 - x^{10})$	$1,5 \cdot {2,5}^{t} + 2,5 = 40$
$\frac{4 \cdot 5^{t} + 17}{3} = 23$	$\frac{18}{x^{5} + 2} = 3$

Halfwaardetijd en verdubbelingstijd

In $1986$ vond er een explosie plaats in de kerncentrale van Tsjernobyl in de toenmalige Sovjetunie: de grootste kernramp in de geschiedenis. Daarbij kwamen veel radioactieve stoffen vrij. Deze stoffen vervallen: onder het uitzenden van straling veranderen ze in een stof die niet meer radioactief is. De radioactiviteit neemt dus af. En dat gebeurt exponentieel. Een van de vrijgekomen stoffen in Tsjernobyl was Cesium-137. Van Cesium-137 neemt de radioactiviteit jaarlijks af met $2$ %.

Geef een formule voor het percentage straling $P$ dat er nog over is na $t$ jaar.

Bereken na hoeveel jaar ongeveer de straling gehalveerd is.

Halfwaardetijd is een begrip uit de natuurkunde. Het geeft aan hoelang het duurt voordat de straling van een radioactieve stof gehalveerd is. Het begrip halfwaardetijd wordt ook wel gebruikt bij andere zaken dan radioactiviteit. Strontium-90 is een radioactieve stof die in grote hoeveelheden is vrijgekomen na de kernramp in Tsjernobyl in 1986. Omdat het gemakkelijk in de botten wordt opgenomen is het gevaarlijk voor mens en dier. Stel dat wij $100$ mg strontium-90 hebben. De halfwaardetijd van Strontium-90 is ongeveer $29$ jaar; dat wil zeggen dat er na $29$ jaar nog ongeveer de helft van over is.

Hoeveel mg strontium-90 is er dan nog over na $87$ jaar?

Hoeveel procent strontium-90 vervalt er jaarlijks?

Stel een formule op voor de hoeveelheid strontium-90 na $t$ jaar. Noem die hoeveelheid $H$ .

Bereken hoeveel jaar het duurt totdat er nog maar 1 gram strontium-90 over is.

Als een hoeveelheid van een stof exponentieel in de tijd afneemt, bijvoorbeeld door radioactief verval, dan noemen we de tijd waarin die hoeveelheid halveert de halfwaardetijd van die stof.

Een hoeveelheid stof neemt exponentieel toe. De tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt, noemen we de verdubbelingstijd.
Voor het berekenen van de verdubbelingstijd bij een bepaald groeipercentage bestaat een vuistregel. Deze vuistregel gaat alleen op als het groeipercentage niet al te groot is (tot $10$ %).
Hij luidt:
De verdubbelingstijd $= \frac{70}{groeipercentage}$ .
Stel dat de bevolking van een land elk jaar met $2$ % groeit.

Hoelang zou het dan volgens de vuistregel duren voordat de bevolking verdubbeld is?

Hoeveel keer zo groot wordt de bevolking in de tijd die je bij het vorige onderdeel hebt gevonden? Klopt het ongeveer?

De vuistregel kan ook omgekeerd gebruikt worden.
Stel dat van een ander land de bevolking in $14$ jaar verdubbelt.

Met hoeveel procent groeit de bevolking van dat land dan jaarlijks volgens de vuistregel?

Bereken in twee decimalen nauwkeurig met hoeveel procent de bevolking van dit land precies groeit.

Een hoeveelheid stof neemt exponentieel toe. De tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt, noemen we de verdubbelingstijd.

Een bacteriekolonie groeit met $10$ % per dag. Op een bepaald moment is er $15$ mg aanwezig.

Stel een formule op voor het aantal $A$ mg bacteriën na $t$ dagen.

Bereken de verdubbelingstijd van het aantal bacteriën in één decimaal nauwkeurig.

Een andere bacteriekolonie groeit ook exponentieel en neemt in $3$ dagen toe van $17$ tot $24$ mg.

Bereken de verdubbelingstijd van deze kolonie, in uren nauwkeurig.

Meer toepassingen

Een kapitaal van $€ 5432, -$ staat uit tegen $10$ % rente per jaar op de bank. De groei van het kapitaal is exponentieel.

Wat is de groeifactor per jaar?

Geef een formule voor het kapitaal $K$ in euro na $t$ jaar.

Zodra het kapitaal is aangegroeid tot $€ 10.000, -$ wordt het opgenomen.

Hoelang duurt dat (in maanden nauwkeurig)?

In 1804 woonden er één miljard mensen op de wereld. In 1927 waren dat er twee miljard. Eind jaren 50 in de vorige eeuw groeide de wereldbevolking tot drie miljard personen. Op 11 juli 1987 werd het Kroatische jongetje Matej Gaspar symbolisch uitgeroepen tot vijfmiljardste wereldburger.
Op 19 juli 1999 werd volgens de Verenigde Naties de $6$ miljardste mens geboren. Een jongen uit Sarajevo kreeg de eer. Dit was uiteraard een symbolische keuze, omdat het niet was na te gaan wie daadwerkelijk de zesmiljardste wereldburger werd. De VN koos voor Sarajevo om te tonen dat de regio zich herstelde. Op 31 oktober 2011, iets meer dan $12$ jaar later, werd de $7$ miljardste mens geboren.
Men schatte in 1999 dat de wereldbevolking elk jaar zou toenemen met $1,9$ %.

Als in 1999 de $6$ miljardste mens geboren werd en de schatting van $1,9$ % juist is, hoeveel mensen zouden er dan $12$ jaar later zijn?

Hoe groot is de verdubbelingstijd met een groeipercentage van $1,9$ % per jaar? Bereken deze tijd in jaren nauwkeurig.

Hoe groot is het jaarlijkse groeipercentage, in tienden van procenten nauwkeurig, in de periode van 1804 tot 1927, als de bevolking groeit van $1$ miljard naar $2$ miljard?

Een glasplaat van $1$ cm dikte neemt $20$ % van het licht weg dat erop valt.

Leg uit dat een glasplaat van $2$ cm dikte $64$ % van het licht doorlaat.

Hoeveel procent van het licht wordt doorgelaten door een glasplaat van $3,5$ cm?

Hoeveel procent van het licht wordt doorgelaten door een glasplaat van $x$ cm?

Hoe dik moet je een glasplaat maken (in mm nauwkeurig) zodat die slechts $40$ % van het licht doorlaat?

Als lucht opwarmt, dan kan die meer waterdamp bevatten. Met de relatieve luchtvochtigheid wordt uitgedrukt hoeveel waterdamp een bepaalde hoeveelheid lucht bevat. In de tabel hieronder kun je zien hoe de relatieve luchtvochtigheid verandert als een hoeveelheid geheel verzadigde lucht ( $100$ % relatieve luchtvochtigheid) van $10 ° C$ wordt opgewarmd.
Noem de temperatuur $T$ (in $° C$ ) en de relatieve luchtvochtigheid $R$ (in %).

Laat zien dat er een exponentieel verband is tussen de temperatuur en de relatieve luchtvochtigheid.

Met hoeveel procent (in twee decimalen) neemt de relatieve luchtvochtigheid af als de temperatuur met $1 ° C$ toeneemt?

Stel een formule op die de relatieve luchtvochtigheid $R$ van de lucht uitdrukt in de temperatuur $T$ .

Hoe groot is de relatieve luchtvochtigheid van de lucht bij een temperatuur van $23 ° C$ ?

Bij welke temperatuur is de relatieve luchtvochtigheid $10$ %?

In een woonkamer is de temperatuur $18 ° C$ en de relatieve luchtvochtigheid $65,4$ %. De bewoners willen door te luchten de luchtvochtigheid omlaag brengen. De buitenlucht van $10 ° C$ is geheel verzadigd en zal in de woonkamer opwarmen tot $18 ° C$ .

Zal door te luchten de relatieve luchtvochtigheid in de woonkamer omlaag gaan?

Opmerking:

Wil je nog extra op een speelse manier oefenen met exponentiële groei en afname, halveringstijd en verdubbelingstijd?
Dat kan met de applet Mini-loco: groeifactor .