In Albanië leidde een piramidespel in 1997 tot nationale economische chaos en hevige rellen nadat veel mensen al hun geld waren kwijt geraakt. In Nederland zijn piramidespelen sinds 1998 bij wet verboden.
Piramidespelen komen in vele vormen voor, maar het principe is altijd hetzelfde. Om mee te doen, moet je een bepaald bedrag betalen aan iemand die hoger staat in de piramide. Vervolgens moet jij een aantal mensen verleiden mee te doen. Die mensen moeten ook weer elk een aantal mensen mee laten doen. En die mensen ook weer. De mensen die er een aantal ronden na jou zijn ingestapt, moeten jou dan weer een bepaald bedrag betalen.

Stel dat je bij een bepaald spel elke keer drie mensen moet laten meedoen en dat je betaald wordt door de mensen die vijf ronden later mee doen. Stel dat de inzet $100$ euro is.

Hoeveel keer je inzet krijg je dan? Hoeveel euro is dat?

Een piramidespel begint altijd bij één persoon. Dit noemen we de eerste ronde. Stel dat jij in de achtste ronde bent ingestapt.

Hoeveel mensen stappen er in totaal in de achtste ronde in?

Hoeveel mensen moeten er dan in de dertiende ronde instappen zodat iedereen in de achtste ronde de maximale uitbetaling krijgt?

Teken de grafiek van het totale aantal deelnemers dat instapt de eerste tien ronden. Kies zelf een schaalverdeling voor de verticale as.

Het tekenen van een grafiek van een exponentieel verband is soms erg lastig. Vooral als de hoeveelheid zeer snel toe- of afneemt. Het is dan bijna onmogelijk om een schaalverdeling te maken waarbij je de kleine waarden nog nauwkeurig kunt aflezen en tegelijkertijd de grote waarden nog in de figuur passen. Hoe we dit op kunnen lossen, leer je in deze paragraaf.

Een blauwe vinvis is het grootste dier dat ooit geleefd heeft; hij weegt gemiddeld $100$ ton ( $1$ ton = $1000$ kg). Een bij weegt $0,1$ gram.

In de biologie hebben we te maken met erg zware en erg lichte dieren. Om het hele scala van extreem licht tot uiterst zwaar op één getallenlijn in beeld te brengen gebruiken we een logaritmische schaal (de gewichten zijn in grammen).

Hoeveel bijen zijn samen even zwaar als een blauwe vinvis?

Waarom zetten we de gewichten eigenlijk niet uit op een gewone, lineaire, schaal?

Neem de logaritmische schaal over (neem als eenheid $1$ cm) en geef er op aan: de mens ( $100$ kg), de merel ( $100$ gram), de vlo ( $0,01$ gram).

Bij een lineaire schaal wordt, als je $1$ cm naar rechts gaat, het bijbehorende getal $1$ groter.

Hoe zit dat bij de logaritmische schaal?

Waar staat het getal $1000$ op deze schaal?
En waar staat het getal $0,00001$ op deze schaal?

Als je een getal op de logaritmische schaal wil plaatsen, moet je het schrijven als een macht van $10$ .
Op je rekenmachientje zit de knop [log]: daarmee vind je de exponent om een getal als macht van $10$ te schrijven. Toets maar eens in: $\log (10)$ , $\log (100)$ , ... .
Stel je wilt $275$ als macht van $10$ schrijven, dus $275 = 10^{\dots}$ .
De exponent is $\log (275) = 2,439...$ . Dus $275 = 10^{2,439}$ .
Dus het getal $275$ staat op de logaritmische schaal $2,44$ cm rechts van $1$ .

Hoeveel cm rechts van $1$ staat $23$ op de logaritmische schaal?

Hoeveel cm links van $1$ staat $0,02$ op de logaritmische schaal?

Gebruik de log-knop om het gewicht van een olifant ( $4$ ton) op een logaritmische schaal aan te geven. Geef op die schaal ook het gewicht van een spreeuw ( $80$ g) en een mensenbaby ( $3$ kg) aan.

Waar staat het getal $16$ op een getallenlijn met eenheid $1$ cm?

Op een lineaire schaal staat $16$ op afstand $16$ cm rechts van $0$ .
Op een logaritmische schaal staat $16$ op afstand $\log (16) = 1,2$ cm rechts van $1$ .

De opeenvolgende machten van $10$ :
..., $10^{‐ 2} = 0,01$ , $10^{‐ 1} = 0,1$ , $10^{0} = 1$ , $10^{1} = 10$ , $10^{2} = 100$ , ... vind je op een logaritmische schaal op regelmatige afstanden van $1$ cm van elkaar.
In plaats van de cm kun je natuurlijk ook een andere eenheid nemen.

De variatie in geluidssterkte is erg groot. Het menselijk oor is gevoelig voor heel zachte geluiden (een speld valt op een wollen vloerkleed) en voor heel harde geluiden (een startend straalvliegtuig). Om het hele bereik op één getallenlijn aan te geven gebruiken we een logaritmische schaal. We nemen het geluid van de vallende speld als basisgeluid (de gehoordrempel): $0$ bel (bel is de eenheid waarin we geluidssterkte uitdrukken).
Een geluid van $1$ bel is $10$ keer zo sterk als het basisgeluid (dat komt dus overeen met $10$ gelijktijdig vallende spelden). Een geluid van $2$ bel is even sterk als dat van $100$ gelijktijdig vallende spelden, enzovoort.

Maak een logaritmische schaal als bij opgave 47 en geef daarop aan:

ademhaling ( $1000$ spelden)
rustige huiskamer ( $10.000$ spelden)
naburig onweer ( $10$ miljoen spelden)
straalvliegtuig (pijngrens: $10^{14}$ spelden)

Om de plaats (= het aantal bel) van een geluid te bepalen moet je de $10$ -logaritme nemen van het equivalente aantal spelden.

Een normaal gesprek op één meter afstand heeft een geluidssterkte van $300.000$ spelden.
Hoeveel bel is dat? Geef een normaal gesprek aan op de logaritmische schaal.

Dicht bij de boxen haalt een popgroep wel een geluidssterkte van $10$ bel.

Geef dat aan op de logaritmische schaal.
Hoeveel keer zo sterk is dat als een naburig onweer?

De klassen H5a en H5b zijn even rumoerig. Apart brengt elk een geroezemoes van $7$ bel voort. De klassen komen bij elkaar in één lokaal.

Hoeveel bel meet het gezamenlijke geroezemoes van de twee klassen?

Hieronder staat van een aantal landen het inwoneraantal in $2015$ (bron: Wikipedia).


China	$1.367$ miljoen
Verenigde Staten	$321$ miljoen
Tunesië	$11$ miljoen
Suriname	$580.000$
Tuvalu	$11.000$

Hoeveel keer zoveel inwoners heeft China als Tuvalu?

Neem onderstaande getallenlijn over en geef er de vijf landen van hierboven op aan. Neem als afstand tussen de streepjes $1$ cm.

Nederland heeft $17$ miljoen inwoners. Het pijltje van Bangladesh staat ongeveer $1$ cm rechts van Nederland.

Hoeveel inwoners heeft Bangladesh dus ongeveer?

Stel dat over een aantal jaar zowel de bevolking van Nederland als van Bangladesh verdubbeld is.

Wat kan je dan zeggen over de afstand tussen de twee pijltjes?

Een bacteriesoort wordt gekweekt op een voedingsbodem. Het aantal bacteriën groeit exponentieel; de groeifactor per dag is $10$ . Op tijdstip $0$ zijn er $1000$ bacteriën.

Hoeveel bacteriën zijn er na $2,5$ dag?
Geef dat aantal aan op een logaritmische schaal.

Hoeveel bacteriën zijn er $42$ uur vóór tijdstip $0$ ?
Geef dat aantal ook aan op de logaritmische schaal.

Wanneer zijn er een half miljard ( $0,5 \cdot 10^{9}$ ) bacteriën?
Geef dat aantal ook aan op de logaritmische schaal.

We gaan nog eens kijken naar de groei van het aantal konijnen in Australië. We begonnen met tien konijnen en elk jaar werd dat aantal vijf keer zo groot. Dat leverde de volgende tabel op.

Om dit verband weer te geven op normaal papier wordt zeer lastig omdat we te maken hebben met enorme verschillen tussen het aantal konijnen aan het begin en aan het eind. Vandaar dat we langs de verticale as een logaritmische schaal nemen. Het grafiekenpapier dat je dan krijgt, noemt men enkellogaritmisch papier. Hieronder zie je dat.

Teken op het werkblad de grafiek van het aantal konijnen.

Als op beide assen een logaritmische schaal wordt gebruikt, spreekt men van dubbellogaritmisch papier. In de volgende opgave zie je hier een voorbeeld van.

Over het algemeen vertoont een groter organisme een grotere complexiteit. Het ene uiterste is een foraminifeer met maar één soort cel, in een betrekkelijk klein aantal. Het andere uiterste is een walvis met honderd verschillende celtypen.
Hiernaast staan van verschillende organismen het volume en het aantal cellen uitgezet tegen het aantal celtypen. Op de assen zijn logaritmische schalen gebruikt. De grafiek is afkomstig uit De maat van het leven, een uitgave van Natuur en Techniek.
We bekijken de paddestoel.

Bepaal zo nauwkeurig mogelijk met behulp van de grafiek het aantal celtypen, het volume en het aantal cellen van een paddestoel. Gebruik de figuur op het werkblad.

Hoeveel cellen gaan er in één kubieke centimeter?