1

Elektriciteit kost geld. De hoeveelheid elektriciteit wordt gemeten in kWh (kiloWattuur). Consumenten hebben de keus uit twee soorten tarieven: het enkel- en het dubbeltarief.

Bij het enkeltarief is er een vaste prijs per kWh: $22,4$ cent. Het vastrecht bedraagt hierbij $€ 5,50$ per maand.

Bij het dubbeltarief hangt de prijs per kWh af van het moment waarop je de elektriciteit gebruikt: overdag (normaal tarief: $22,4$ cent) is de prijs hoger dan 's avonds en 's nachts (laag tarief: $17,4$ cent). Het vastrecht bij het dubbeltarief bedraagt $€ 9,50$ per maand.

In $2015$ koos familie De Vrij voor het dubbeltarief. Het jaarverbruik overdag was $1032$ kWh en het jaarverbruik tijdens laagtariefuren was $765$ kWh.

a

Bereken of familie De Vrij in $2015$ met het dubbeltarief voordeliger uit geweest zou zijn dan met het enkeltarief.

Neem aan dat familie De Vrij in een jaar $60$ % van het jaarverbruik overdag heeft en $40$ % tijdens laagtariefuren.
Noem het jaarverbruik van familie De Vrij $x$ (kWh) en de totale kosten $K$ (euro).

b

Leg uit dat bij het enkeltarief de totale kosten worden gegeven door de formule $K = 0,224 \cdot x + 66$ .

c

Laat zien dat bij het dubbeltarief de totale kosten worden gegeven door de formule $K = 0,204 \cdot x + 114$ .

d

Bij welk totaal jaarverbruik is het dubbeltarief voordeliger dan het enkeltarief?

(hint)

Stel een vergelijking op om uit te vinden bij welk jaarverbruik het enkel- en dubbeltarief even duur zijn.

2

In een kweek wordt de hoeveelheid bacteriën bijgehouden.
$A$ is de hoeveelheid (in microgram) na $t$ dagen.
$1$ microgram is $10^{‐ 6}$ gram.

a

Ga na dat er sprake is van exponentiele groei.

b

Wat is de procentuele toename per dag?

c

Bereken de procentuele toename per uur in één decimaal.

Een andere bacteriesoort groeit exponentieel in $3$ dagen van $200$ tot $600$ mg.

d

Bereken de procentuele toename per dag in één decimaal.

e

Wat is de verdubbelingstijd van deze soort?
Geef je antwoord in uren en minuten nauwkeurig.

3

Een meer bevat $10.000$ m³ water waarin $10$ % verontreiniging is opgelost. Dus dat meer heeft $1000$ m³ verontreiniging en $9000$ m³ schoon water.
Om het water te zuiveren wordt elke week aan de ene kant $1000$ m³ water uit het meer gepompt en aan de andere kant wordt er $1000$ m³ zuiver water ingepompt. Er ontstaat meteen een goed mengsel.

a

Leg uit dat de hoeveelheid verontreiniging elke week $10$ % minder is dan de week ervoor.

Het aantal m³ verontreiniging neemt per dag exponentieel af.

b

Laat zien dat dit met groeifactor $0,985$ (in drie decimalen nauwkeurig) gebeurt.

c

Geef een formule voor $A$ , het aantal m³ verontreiniging, uitgedrukt in $t$ , het aantal dagen na het begin van de schoonmaak.

Na een aantal dagen is de hoeveelheid verontreiniging afgenomen tot $100$ m³.

d

Bereken dit aantal dagen, rond af op een geheel aantal.

e

Hoeveel m³ water is er dan ongeveer in het meer gepompt? Rond af op een honderdtal.

4

Los de volgende vergelijkingen op, in twee decimalen nauwkeurig.

$4 x^{5} - 1 = 7$	$3 \cdot 2^{t} + 1 = 25$
$\frac{36}{3^{t} - 1} = 4$	$2 \cdot (x^{3} + 6) - 14 = 5$
$\frac{3 \cdot a^{4} + 2}{7} = 5$	$5 \cdot (7^{p} - 14) = 7^{p} + 2$

5

Volgens een beleggingsfolder kun je je kapitaal in $10$ jaar tijd verdubbelen.
Neem aan dat er sprake is van exponentiële groei.

a

Hoeveel procent rendement per jaar heb je dan?

De halfwaardetijd van Radon-222 is $3,8$ dagen.

b

Bereken in twee decimalen nauwkeurig met hoeveel procent per uur de hoeveelheid Radon-222 afneemt.

Op www.drugsforum.nl staat: "Toch hoor ik van mensen dat het niet zo is dat na twee keer de halfwaardetijd de stof volledig uit je bloed is?? Hoe werkt dit dan precies?"

c

Hoeveel is er na twee keer de halfwaardetijd van de stof verdwenen?

6

Op grote hoogte is de luchtdruk veel lager dan op zeeniveau. Afgezien van kleine schommelingen is de luchtdruk op zeeniveau $1000$ hectopascal. De luchtdruk is een exponentiële functie van de hoogte. Op $5$ km hoogte is de luchtdruk ongeveer $500$ hectopascal.

a

Hoe groot is de luchtdruk op $1$ km hoogte?

De luchtdruk op hoogte $h$ km is $L$ hectopascal.

b

Geef een formule voor $L$ uitgedrukt in $h$ .

7

Hieronder staan in één figuur de overlevingsgrafieken van het fruitvliegje, de mens, de zoetwaterpoliep (hydra) en de oester. Op de verticale as is een logaritmische schaal gebruikt; bij elk van de vier soorten is begonnen met $1000$ exemplaren. Op de horizontale as is een lineaire schaal gebruikt; daarop is de relatieve leeftijd uitgezet (de maximale leeftijd van elke soort is gesteld op $1$ ).

De mens wordt hoogstens $100$ jaar oud.

a

Waar op de horizontale as staat jouw huidige leeftijd?

b

Bij welke soort is de sterfte onder de jeugd het grootst?

De grafiek van de mens is maar een gemiddelde. Je zou aparte grafieken kunnen maken voor ontwikkelingslanden en rijke landen.

c

Hoe zouden die twee grafieken liggen ten opzichte van dit gemiddelde?

d

Welk getal moet er op de verticale as halverwege $1$ en $10$ staan? En welk getal staat halverwege $100$ en $1000$ ?

De zoetwaterpoliep (hydra) kan hoogstens $60$ dagen oud worden. We beginnen weer met $1000$ exemplaren.
Het aantal dat $x$ dagen of langer leeft, noemen we $H$ .

e

Hoe groot is $H$ als $x = 20$ ? En als $x = 40$ ?

De grafiek van $H$ is een rechte lijn, dankzij de logaritmische schaal op de verticale as. Dit betekent dat er een exponentieel verband is tussen $H$ en $x$ .

f

Wat is de groeifactor per $20$ dagen?
En per dag (in drie decimalen)?

g

Stel een formule op voor $H$ als functie van $x$ .

h

Bereken na hoeveel dagen er nog maar $5$ % van de oorspronkelijke hoeveelheid zoetwaterpoliepen is?

8

Het onderstaande artikel uit de Volkskrant gaat over de enorme groei van de nijlbaars in het Victoriameer.

Omdat er geen maatregelen tegen de groei van de nijlbaars zijn genomen is de groei al die tijd exponentieel geweest. In $25$ jaar tijd is het aantal nijlbaarzen toegenomen van $400$ in 1960 tot $400$ miljoen in 1985.

a

Met hoeveel procent neemt het aantal nijlbaarzen per jaar toe?

b

Bereken hoeveel nijlbaarzen er waren in 1970 en in 1980.

c

Stel een formule op voor het aantal nijlbaarzen $N$ , $j$ jaar na 1960.

d

Bereken in welk jaar er voor het eerst meer dan een miljoen nijlbaarzen waren?

9

Oplopende rente
Bank A adverteert met de volgende aanbieding:
1^e jaar $3,00$ % rente
2^e jaar $3,25$ % rente
3^e jaar $3,40$ % rente
4^e jaar $3,55$ % rente
5^e jaar $5,00$ % rente
Wie spaargeld inlegt bij bank A voor een periode van $5$ jaar, krijgt dus het eerste jaar $3,00$ % rente, het tweede jaar $3,25$ % en het derde jaar $3,40$ % en zo verder.
Neem aan dat bank B een vast rentepercentage per jaar aanbiedt voor een periode van $5$ jaar.

Iemand wil een bedrag inleggen bij een bank voor een periode van $5$ jaar.

Bereken bij welk vast rentepercentage per jaar van bank B hij bij beide banken hetzelfde eindbedrag in handen krijgt. Rond je antwoord af op vier decimalen.

10

figuur 1

Een geluidsbron (boormachine, piano) hoor je doordat die geluidsbron het trommelvlies in je oor in trilling brengt. Geluid is meestal samengesteld uit tonen van verschillende hoogte. De hoogte van een zuivere toon wordt bepaald door zijn trillingsgetal: hoe hoger het trillingsgetal, uitgedrukt in Hertz (Hz), hoe hoger de toon. Het trillingsgetal is het aantal trillingen per seconde. Een stemvork produceert een vrijwel zuivere toon, meestal met een trillingsgetal van $440$ Hz.
ln de muziek werken we met octaven: het trillingsgetal van de hoogste toon in een octaaf is twee keer zo groot als het trillingsgetal van de laagste toon. Op een piano zitten op een octaaf dertien tonen (acht witte en vijf zwarte toetsen). Een moderne piano is zo gestemd dat de verhouding van de trillingsgetallen van een toon en de volgende toon steeds hetzelfde is. Zo'n piano heet gelijkzwevend gestemd (Bach wohltemperiertes Klavier). De zo ontstane toonladder heet een chromatische toonladder.

a

figuur 2

Bereken het verhoudingsgetal tussen twee opeenvolgende tonen in vier decimalen nauwkeurig.

Om verschillende instrumenten in een orkest goed samen te laten spelen moet de absolute hoogte van de tonen vaststaan. Het trillingsgetal van de a (op de notenbalk met een G-sleutel tussen de tweede en derde lijn, zie figuur 2) is $440$ Hz.

b

Bereken het trillingsgetal van de centrale c (zie figuur 1.)