1

De wiskundedocent van het Amalia College vraagt zich af of er een verband is tussen de resultaten bij wiskunde en de resultaten bij natuurkunde. De docent heeft de volgende resultaten van twee proefwerken.

Als een leerling voor wiskunde een 9 haalt en een 8 voor natuurkunde, dan zet de docent dat resultaat als een punt ( 9,8 ) in een rooster zoals hiernaast. De resultaten van de eerste drie leerlingen zijn al als punten weergegeven in dit rooster.

a

Neem het rooster over en vul het verder in.

b

Verbaast het verloop van de grafiek je?

2

In het schooljaar 2016-2017 begonnen 78  leerlingen uit havo 3 van het Amalia College in havo 4 met wiskunde A. Met Pasen zijn de rapportcijfers voor wiskunde A vergeleken met de cijfers voor wiskunde een jaar eerder in havo 3. De wiskundedocent heeft het volgende tabelletje bij elkaar geturfd.

a

Hoeveel leerlingen hebben hetzelfde cijfer op hun rapport gehouden?

b

Hoeveel leerlingen zijn er vooruit gegaan?

c

Wat kwam het vaakst voor: vooruit gaan of achteruit gaan?

d

Wat is het grootste aantal punten dat een leerling achteruit is gegaan?

e

Waarom is het niet zinvol om een puntendiagram te maken als in opgave 43?

Van de tabel kun je wel een driedimensionaal histogram maken. Je vat dan het aantal waarnemingen in één hokje op als de ‘hoogte’ van het staafje.

f

Kleur op je werkblad de staven die horen bij leerlingen waarvan het cijfer in klas 4 een punt lager is dan het cijfer in klas 3.

g

Is er enig verband tussen het cijfer voor wiskunde in klas 3 en het cijfer voor wiskunde A in klas 4?

3

Een intelligentietest bestaat uit twee delen. Deel A test de taalvaardigheid en deel B technisch inzicht.
Hieronder zie je de resultaten van 13 personen.

De scores zijn ook nog eens als punten weergegeven in het plaatje hiernaast.

In deze puntenwolk zie je dat er enig verband is tussen de twee componenten van de test. Personen met een hoge (lage) score bij taalvaardigheid hebben meestal ook een tamelijk hoge (lage) score bij technisch inzicht. Een dergelijke grafiek heet een spreidingsdiagram.

Eén manier om het verband te onderzoeken is er een 2 × 2 -kruistabel van te maken. We trekken ergens een verticale en een horizontale lijn, bijvoorbeeld bij score deel A = 70 en score deel B = 60 (zie het spreidingsdiagram). We hebben dan twee indelingen van de 13 personen.

a

Neem de 2 × 2 -kruistabel over en vul deze verder in.

b

Bereken p h i .

c

Wat is het zwakke punt in de wijze waarop p h i is vastgelegd?

4
a

Welk verband (positief, negatief of geen) is er volgens jou tussen x en y bij de puntenwolk hiernaast?

b

Breng op je werkblad met een horizontale lijn en een verticale lijn een verdeling in de puntenwolk aan, zó dat in elk vakje 2 punten komen.

c

Bereken nu p h i .

d

Wat is je commentaar.

Het zal duidelijk zijn dat we er niet alleen maar op moeten letten in welke hoek de punten liggen. We zullen er ook naar moeten kijken hoe ver ze in de hoeken liggen, hoe ze ten opzichte van elkaar liggen. Spreiding speelt immers ook een rol.

In de vorige opgaven hebben we gekeken naar het verband tussen twee kwantitatieve variabelen.
Dat waren respectievelijk:

- resultaten voor wiskunde

- resultaten voor natuurkunde

- cijfer klas 3

- cijfer klas 4

- taalvaardigheid

- technisch inzicht

Er was telkens een verband tussen de variabelen maar hoe kun je dit verband in een getal uitdrukken? We gebruiken hiervoor de correlatiecoëfficiënt. De afspraak is dat hoe meer de punten op één lijn lijken te liggen, des te hoger is de correlatiecoëfficiënt. Kijk maar eens goed naar de voorbeelden hieronder.

De correlatiecoëfficiënt ligt altijd tussen 1 en 1 .
De correlatiecoëfficiënt is alleen dan 1 als de punten op een rechte lijn liggen met positieve richtingscoëfficiënt.
De correlatiecoëfficiënt is alleen dan 1 als de punten op een rechte lijn liggen met negatieve richtingscoëfficiënt.

5

Op een sportdag blijken Harrie, Ebbe, Ton en Walter de beste springers. Bij het verspringen bezetten ze respectievelijk de plaatsen 1, 2, 3 en 4, bij het hoogspringen de plaatsen 2, 1, 3 en 4. In de tabel vind je deze resultaten nog eens terug.

a

Zet deze resultaten in een puntendiagram. Schrijf bij elk punt de eerste letter van de naam van de bijbehorende springer. Hiernaast is al een begin gemaakt.

b

Wat denk je, is het verband tussen verspringen en hoogspringen positief of negatief?

We nemen bij het hoogspringen een andere uitslag. Deze vind je hieronder.

c

Teken het hierbij behorende puntendiagram.

d

Wat is nu het verband tussen verspringen en hoogspringen, positief of negatief?

We houden steeds dezelfde uitslag bij het verspringen.

e

Op hoeveel verschillende kunnen er rangnummers voor het hoogspringen aan gekoppeld worden?

Er is één manier waarbij de correlatiecoëfficiënt 1 is.

f

Teken het puntendiagram dat daarbij hoort.

Er is één manier waarbij de correlatiecoëfficiënt 1 is.

g

Teken het puntendiagram dat daarbij hoort.

Er zijn twee manieren waarbij de correlatiecoëfficiënt 0 is.

h

Teken de twee diagrammen die daarbij horen. Niet te snel opgaven!

(hint)

In één van de twee diagrammen staat er een stip op plaats ( 2,1 ) . Teken dit punt en maak het puntendiagram af. Controleer eventueel je antwoord met behulp van VUStat.

De volgende grafiek laat zien dat er een heel sterk verband is tussen de levensverwachting van mannen en vrouwen. Iedere stip is een land ergens in de wereld.
Een dergelijke grafiek heet spreidingsdiagram, de verzameling punten in het spreidingsdiagram noemen we puntenwolk.

6

Stel dat er een land is dat niet in deze grafiek is opgenomen.
De levensverwachting van mannen in dit land is 73 .

Wat verwacht je dat de levensverwachting voor vrouwen in dat land is?

7

Bij een bedrijf wordt bijgehouden hoeveel reacties een advertentie oplevert. Een overzicht van de kosten x (in euro’s) van advertenties en het aantal reacties y op zo’n advertentie vind je in de onderstaande tabel.

a

Hoeveel reacties mag je verwachten op een advertentie die 400 euro kost?

Hieronder zijn de gegevens uit de tabel in een assenstelsel gezet. De punten liggen bij benadering op een rechte lijn, de trendlijn.

b

Stel een formule op voor deze trendlijn.

c

Hoeveel reacties mag je verwachten op een advertentie die 2000 euro kost?

8

In opgave 44 hebben we bij 78 leerlingen het verband onderzocht tussen het cijfer voor wiskunde op het paasrapport in havo 3 en het cijfer voor wiskunde A in havo 4 van dezelfde leerling een jaar later.

De correlatiecoëfficiënt is 0,46 . Er is dus sprake van een matige positieve samenhang: bij een hoger cijfer in klas 3 vind je gemiddeld ook een hoger cijfer in klas 4.
Deze trend kunnen we ook nog op een andere manier laten zien. We berekenen bij elk cijfer in klas 3 het gemiddelde van de daarbij behorende cijfers in klas 4.

a

Ga na dat de eerste twee waarden in de onderstaande tabel juist zijn en vul de tabel daarna verder in.

b

Geef de punten uit de tabel aan in een rooster.

Ook deze puntenwolk maakt de tendens duidelijk: bij een hoger cijfers in klas 3 gemiddeld ook een hoger cijfer in klas 4.

c

Teken een rechte lijn die zo ongeveer deze trend weergeeft (de trendlijn). Bedenk daarbij dat sommige gemiddelden maar op een paar leerlingen berusten.

d

Hoe groot is ongeveer de richtingscoëfficiënt van de trendlijn die je getekend hebt?

9

Bekijk Ionica Smeets op TEDxDelft en leg uit wat de belangrijkste boodschap van dit filmpje is.