Rekenregels voor machten

We herhalen kort de regels voor machten uit de onderbouw.

Wat betekent $3^{5}$ ?
$3^{5} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ .
Zo’n uitdrukking noemen we een macht.
Het getal $3$ is het grondtal en het getal $5$ is de exponent.

Bereken zonder rekenmachine.

$2^{4}$	$3^{3}$	$10^{3}$
$5^{2}$	$2^{5}$	$0^{6}$
$7^{1}$	$1^{7}$	${0,5}^{2}$
${(‐ 1)}^{10}$	${(‐ 2)}^{3}$	${(‐ 5)}^{2}$

Wat gebeurt er als we twee machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigen?
$5^{4} \cdot 5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{7}$
$2^{7} \cdot 2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{10}$

We zien dat de volgende regel geldt: $a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$ .

Schrijf als één macht.

$2^{5} \cdot 2^{4}$	$3^{2} \cdot 3^{6}$	$6^{6} \cdot 6^{1}$
$7 \cdot 7^{4}$	$5^{2} \cdot 5^{3} \cdot 5^{4}$	$10^{6} \cdot 10^{9}$
$x^{2} \cdot x^{3}$	$y^{4} \cdot y^{7}$	$z \cdot z^{2} \cdot z^{3}$

Wat gebeurt er als we twee machten met hetzelfde grondtal op elkaar delen?
$\frac{4^{7}}{4^{2}} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4} = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{5}$

We zien dat de volgende regel geldt: $\frac{a^{p}}{a^{q}} = a^{p - q}$ .
Deze regel wordt ook wel als volgt geschreven: $a^{p} : a^{q} = a^{p - q}$ .

Opmerking:

Uit de regel hierboven volgt dat $a^{0} = 1$ . Ga na hoe.

Schrijf als één macht.

$3^{10} : 3^{4}$	$5^{5} : 5^{3}$	$10^{12} : 10^{8}$
$x^{6} : x$	$y^{8} : y^{7}$	$p^{6} : p^{6}$
$\frac{x^{3} \cdot x^{7}}{x^{5}}$	$\frac{y^{4} \cdot y^{5}}{y^{5} \cdot y^{2}}$	$\frac{z^{21}}{z^{7} \cdot z^{4}}$

Wat gebeurt er als we een macht van een macht nemen?
${(3^{2})}^{4} = 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} = 3^{2 + 2 + 2 + 2} = 3^{2 \cdot 4} = 3^{8}$
${(2^{3})}^{5} = 2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3} = 2^{3 + 3 + 3 + 3 + 3} = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}$

We zien dat de volgende regel geldt: ${(a^{p})}^{q} = a^{p \cdot q}$ .

Schrijf als één macht.

${(5^{3})}^{2}$	${(3^{2})}^{5}$	${(2^{5})}^{3}$
${(7^{5})}^{4}$	${(8^{3})}^{7}$	${(10^{4})}^{6}$
${(x^{2})}^{8}$	${(y^{3})}^{1}$	${(z^{5})}^{5}$

Wat gebeurt er als we een macht van een breuk nemen?
${(\frac{2}{5})}^{3} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{2^{3}}{5^{3}} = \frac{8}{125}$

We zien dat de volgende regel geldt: ${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ .

Bereken zonder rekenmachine.

${(\frac{3}{5})}^{2}$

${(\frac{3}{4})}^{3}$

${(\frac{1}{2})}^{5}$

Schrijf zonder haakjes en vereenvoudig zo veel mogelijk.

${(\frac{x}{3})}^{4}$	${(\frac{x}{y})}^{3}$
${(\frac{y}{4})}^{2}$	${(\frac{2}{k})}^{5}$

Wat gebeurt er als we een macht nemen van een product?
${(3 \cdot 7)}^{2} = 3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 7 = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 = 3^{2} \cdot 7^{2}$
${(2 \cdot 5)}^{3} = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^{3} \cdot 5^{3}$

We zien dat de volgende regel geldt: ${(a \cdot b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ .

Schrijf zonder haakjes en vereenvoudig zo veel mogelijk.

${(x \cdot y)}^{7}$	${(x \cdot 2)}^{5}$
${(3 \cdot x)}^{2}$	${(a \cdot b \cdot c)}^{4}$

We zetten de regels voor machten nog eens op een rijtje.

$a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$
$a^{p} : a^{q} = \frac{a^{p}}{a^{q}} = a^{p - q}$
${(a^{p})}^{q} = a^{p \cdot q}$
${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$
${(a \cdot b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

We kunnen deze regels ook combineren, zoals in het volgende voorbeeld te zien is.
$\frac{{(x \cdot y)}^{10}}{{(x^{2})}^{3} \cdot {(y^{4})}^{2}} = \frac{x^{10} \cdot y^{10}}{x^{6} \cdot y^{8}} = \frac{x^{10}}{x^{6}} \cdot \frac{y^{10}}{y^{8}} = x^{4} \cdot y^{2}$

Schrijf zonder haakjes en vereenvoudig zo veel mogelijk.

$\frac{{(2 \cdot y)}^{6}}{{(3 \cdot y^{2})}^{3}}$

$\frac{x^{9} \cdot {(y^{2})}^{7}}{{(x^{3})}^{3} \cdot y^{6}}$

$\frac{{(x \cdot y^{2})}^{5}}{{(x^{3} \cdot y)}^{3}}$

Rekenen met negatieve exponenten

In een kweek zitten $1000$ bacteriën. Onder gunstige omstandigheden delen de bacteriën in de kweek zich gemiddeld elk uur. Bij elke deling verdubbelt het aantal bacteriën. Neem aan dat de omstandigheden gunstig zijn.

Hoeveel bacteriën zijn er na $1$ uur, na $2$ uur, na $5$ uur?

Hoeveel bacteriën zijn er na $t$ uur?

Geef een formule voor het aantal bacteriën $B$ na $t$ uren.

Neem aan dat we om $12.00$ uur zijn begonnen met waarnemen. Er waren op dat moment dus $1000$ bacteriën.

Hoeveel bacteriën waren er dan om $11.00$ uur? En om $10.00$ uur en om $9.00$ uur?

Bereken op je rekenmachine met de formule bij c het aantal bacteriën om $11.00$ uur, om $10.00$ uur en om $9.00$ uur.

Het aantal bacteriën om $7.00$ uur is op twee manieren te berekenen.
1. Met de groeifactor.
2. Met de formule bij c.

Bereken op beide manieren het aantal bacteriën om $7.00$ uur.

Leg uit dat uit f volgt dat $2^{‐ 5} = \frac{1}{2^{5}}$ .

We hebben in de vorige opgave gezien dat $2^{‐ 5} = \frac{1}{2^{5}}$ .
Op dezelfde manier zien we in dat $2^{‐ 1} = \frac{1}{2^{1}} = \frac{1}{2}$ , $2^{‐ 2} = \frac{1}{2^{2}}$ , $2^{‐ 3} = \frac{1}{2^{3}}$ , enzovoort.
Deze regel geldt natuurlijk ook voor andere grondtallen. Zo is bijvoorbeeld $7^{‐ 1} = \frac{1}{7}$ , $3^{‐ 4} = \frac{1}{3^{4}}$ en $5^{‐ 3} = \frac{1}{5^{3}}$ .

We zien dat de volgende regel geldt: $a^{‐ n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

Opmerking:

In het bijzonder is $a^{‐ 1} = \frac{1}{a}$ .

De rekenregels voor machten die we hebben geleerd, gelden ook voor negatieve exponenten.

Voorbeeld:

$4^{‐ 2} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}$
${(\frac{1}{3})}^{‐ 2} = {(3^{‐ 1})}^{‐ 2} = 3^{‐ 1 \cdot ‐ 2} = 3^{2} = 9$

Bereken zonder rekenmachine, gebruik de rekenregels.

$3^{‐ 3}$	$5^{‐ 2}$
$2^{‐ 6}$	$10^{‐ 4}$
${(\frac{1}{2})}^{‐ 1}$	${(\frac{1}{5})}^{‐ 2}$
${(2 \frac{1}{2})}^{‐ 1}$	${(\frac{2}{3})}^{‐ 2}$

Voorbeeld:

${(3 x)}^{2} \cdot x^{‐ 3} = 3^{2} \cdot x^{2} \cdot x^{‐ 3} = 9 \cdot x^{2 + ‐ 3} = 9 x^{‐ 1}$
${(y^{4})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{‐ 3} = y^{4 \cdot 2} \cdot y^{2 \cdot ‐ 3} = y^{8} \cdot y^{‐ 6} = y^{8 + ‐ 6} = y^{2}$

Schrijf als macht van $x$ , dus in de vorm: $x^{...}$ .

${(x^{2})}^{3} \cdot {(x^{‐ 4})}^{2}$	${(x \cdot x^{2} \cdot x^{3})}^{4}$
$\frac{{(x^{2})}^{3}}{x^{‐ 1}}$	${(4 x)}^{3} \cdot 3 x^{‐ 2}$

Schrijf de volgende vormen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk. Gebruik de rekenregels.

${(2 x)}^{3} \cdot 3 x^{‐ 2}$	${(x^{‐ 2})}^{3} \cdot 4 x^{5}$
$\frac{7 x^{‐ 1}}{{(x^{3})}^{2}}$	$\frac{5 x^{‐ 4}}{4 x^{‐ 5}}$
$\frac{{(3 x^{2})}^{3}}{{(2 x^{3})}^{2}}$	$\frac{{(2 x^{3})}^{4}}{x^{‐ 3} \cdot x^{5}}$

Je kunt nog meer oefenen met mini-loco - Rekenregels voor gehele machten.

Op een rekenmachine worden hele grote en hele kleine getallen weergegeven in de zogenaamde standaardnotatie. Bijvoorbeeld $8 000 000 \cdot 6 000 000 = 48 000 000 000 000 000$ (een getal met $12$ nullen). Waarschijnlijk geeft je rekenmachine als uitkomst $4.8 E 13$ of iets wat daar op lijkt. Dit moet worden gelezen als $4,8 \cdot 10^{13}$ . De komma in het getal $4,8$ moet dus $13$ plaatsen naar rechts worden verschoven. Bij hele kleine getallen ziet het er zo uit: $0,000034 = 3,4 \cdot 10^{‐ 5}$ . Hier moet de komma dus $5$ plaatsen naar links worden geschoven. Bij de standaardnotatie staat er altijd één cijfer (ongelijk aan nul) voor de komma.

Schrijf de volgende getallen in de standaardnotatie.

$3412$	$52,17$
$821 000$	$10 300$
$0,023$	$0,000935$
$75$ miljoen	$83$ miljard

Rekenen met wortels

We frissen de kennis over wortels uit de onderbouw even op.

Waarom is $\sqrt{16}$ gelijk aan $4$ ? Het antwoord is: omdat $4^{2} = 16$ .
Dus $\sqrt{49} = 7$ , omdat $7^{2} = 49$ en $\sqrt{100} = 10$ , omdat $10^{2} = 100$ en $\sqrt{2 \frac{1}{4}} = 1 \frac{1}{2}$ , omdat ${(1 \frac{1}{2})}^{2} = 2 \frac{1}{4}$ en $\sqrt{0} = 0$ , omdat $0^{2} = 0$ .

Dus worteltrekken is eigenlijk de omgekeerde bewerking van kwadrateren. Daarbij moeten we wel opletten. De wortel uit een negatief getal bestaat niet, omdat een kwadraat niet negatief kan zijn. Dus we kunnen alleen maar de wortel trekken van een getal dat positief is of nul.

Verder spreken we af dat een wortel altijd positief is (of nul). Daarom is $\sqrt{9}$ gelijk aan $3$ en niet $‐ 3$ .

Bereken de volgende wortels zonder rekenmachine.

$\sqrt{4}$	$\sqrt{36}$	$\sqrt{144}$
$\sqrt{400}$	$\sqrt{3600}$	$\sqrt{14400}$
$\sqrt{0,04}$	$\sqrt{0,36}$	$\sqrt{1,44}$

Opmerking:

Niet elke wortel komt uit op een mooi getal. Zo is bijvoorbeeld $\sqrt{2} = 1,41421356237309504880168872420969807856967187...$ . Dit getal heeft een oneindig lange decimaalontwikkeling, zonder herhaling. Dit betekent dat $\sqrt{2}$ geen breuk is van de vorm $\frac{p}{q}$ met gehele getallen $p$ en $q$ . Het is een zogenaamd irrationaal getal. De wortels van getallen die geen kwadraten zijn, zoals bijvoorbeeld $\sqrt{3}$ , $\sqrt{7}$ en $\sqrt{10}$ , zijn allemaal irrationaal. Gelukkig helpt de rekenmachine ons desgewenst aan goede benaderingen.

We gaan op zoek naar rekenregels voor wortels.

Vergelijk de volgende getallen met elkaar: $\sqrt{4}$ , $\sqrt{25}$ en $\sqrt{100}$ .

Welk verband vind je tussen deze drie getallen?

Welk verband is er tussen de getallen $\sqrt{9}$ , $\sqrt{16}$ en $\sqrt{9 \cdot 16}$ ?

Welke rekenregel voor wortels zit hier achter?

Vergelijk de volgende getallen met elkaar: $\sqrt{4}$ , $\sqrt{9}$ en $\sqrt{\frac{4}{9}}$ .

Welk verband vind je tussen deze drie getallen?

Welk verband is er tussen de getallen $\sqrt{25}$ , $\sqrt{36}$ en $\sqrt{\frac{25}{36}}$ ?

Welke rekenregel voor wortels zit hier achter?

We vinden zo de volgende rekenregels voor wortels:
$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Voorbeeld:

$\sqrt{6400} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{100} = 8 \cdot 10 = 80$
$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$
$\sqrt{2 \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$

Bereken de volgende wortels zonder rekenmachine.

$\sqrt{4900}$	$\sqrt{12 100}$	$\sqrt{90 000}$
$\sqrt{\frac{4}{9}}$	$\sqrt{\frac{25}{36}}$	$\sqrt{\frac{169}{100}}$
$\sqrt{6 \frac{1}{4}}$	$\sqrt{2 \frac{14}{25}}$	$\sqrt{3 \frac{1}{16}}$

Voorbeeld:

$\sqrt{4 x} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = 2 \sqrt{x}$
$\sqrt{\frac{y}{25}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{y}}{5}$
$\sqrt{\frac{16}{z}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{z}} = \frac{4}{\sqrt{z}}$

Herleid zo ook de volgende uitdrukkingen.

$\sqrt{9 x}$	$\sqrt{64 y}$	$\sqrt{144 z}$
$\sqrt{\frac{x}{16}}$	$\sqrt{\frac{y}{49}}$	$\sqrt{\frac{z}{100}}$
$\sqrt{\frac{36}{x}}$	$\sqrt{\frac{81}{y}}$	$\sqrt{\frac{64}{z}}$

Voorbeeld:

$\sqrt{17 x} = \sqrt{17} \cdot \sqrt{x} \approx 4,12 \sqrt{x}$
$3 \sqrt{\frac{y}{5}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{y} \approx 1,34 \sqrt{y}$
$\sqrt{\frac{3 z}{20}} = \frac{\sqrt{3 z}}{\sqrt{20}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{20}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{20}} \cdot \sqrt{z} \approx 0,39 \sqrt{z}$

Herleid zo ook de volgende uitdrukkingen.

$\sqrt{23 x}$	$3 \sqrt{15 y}$	$1,7 \sqrt{5,2 z}$
$\sqrt{\frac{x}{6}}$	$2 \sqrt{\frac{y}{7}}$	$3,5 \sqrt{\frac{z}{10}}$
$7 \sqrt{\frac{5 a}{12}}$	$6 \sqrt{\frac{7 b}{10}}$	$2,7 \sqrt{\frac{3 c}{2}}$