10.3 Verbanden in de praktijk >

Hoofdstukken > Formules en verbanden

Vanaf nu bekijken we alleen maar machten waarvan het grondtal positief is. Dan gelden de volgende rekenregels ook als de exponent niet een geheel getal is.

Rekenregels voor machten

$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$
$a^{x} : a^{y} = a^{x - y}$
${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$
${(a \cdot b)}^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$
$a^{‐ x} = \frac{1}{a^{x}}$

Deze regels gelden voor alle positieve getallen

a

b

, en willekeurige getallen

x

y

Er draaien acht planeten om de zon. Onze aarde doet $1$ jaar over één omloop. Mercurius en Venus doen korter over een rondje, de andere planeten doen er langer over. Algemeen geldt: hoe verder een planeet van de zon staat, des te langer is zijn omlooptijd. Aan de astronoom Johannes Kepler (1571-1630) danken we de volgende formule: $T = 0,2 \cdot R^{1,5}$ . Hierin is $R$ de afstand tot de zon in miljoenen km en is $T$ de omlooptijd in dagen.

De aarde is (gemiddeld) $149,5$ miljoen km van de zon verwijderd.

Bereken hiermee de omlooptijd. Klopt het redelijk?

Saturnus is maar liefst $1427$ miljoen km van de zon verwijderd.

Bereken de omlooptijd van Saturnus in jaren.

De verst van de zon verwijderde planeet in ons zonnestelsel is Neptunus. Deze planeet heeft een omlooptijd van $165$ jaar.

Bereken hoe ver Neptunus van de zon staat.

Een auto rijdt met een snelheid van $v$ km/u. Als de auto plotseling uit alle macht moet remmen (men spreekt dan van een noodstop), legt hij nog een aantal meters af voordat hij stil staat. Dat aantal meters is de remweg $r$ .
Volgens een vuistregel geldt: $r = 0,0075 \cdot v^{2}$ .

Bij een snelheid van $20$ km/u is de remweg $3$ meter.

Hoeveel keer zo lang is de remweg als de snelheid $2$ keer zo hoog is?

De snelheid is $32$ km/u.

Hoeveel keer zo lang wordt de remweg nu als de snelheid $2$ keer zo hoog wordt?

Laat met een berekening zien dat algemeen geldt: de remweg wordt $4$ keer zo lang bij een snelheid die $2$ keer zo hoog is.

(hint)

Vergelijk

r

als je

v

invult met

r

als je

2 v

invult.

Bereken met welke snelheid de auto reed, als zijn remweg bij een noodstop $170$ meter bedraagt.

Bedenk een formule waarmee de snelheid $v$ wordt uitgedrukt in de remweg $r$ .

Controleer met de formule uit onderdeel e de snelheid die je hebt gevonden bij een remweg van $170$ meter.

Biologen proberen verbanden in de natuur vast te leggen in formules. Veel van die verbanden zijn machtsverbanden.
Bij een machtsverband hoort een formule van de vorm $y = a \cdot x^{b}$ met zekere getallen $a$ en $b$ .

Het warmteverlies van een dier hangt af van zijn huidoppervlakte: via een grotere huid gaat meer warmte verloren dan via een kleinere huid. De warmteproductie hangt af van zijn volume: een groot dier produceert meer warmte dan een klein dier. Biologen vergelijken daarom de huidoppervlakte $H$ (in m²) met het lichaamsgewicht $G$ (in kg).
Het verband tussen $H$ en $G$ wordt gegeven door de formule $H = c \cdot G^{0,67}$ . De constante $c$ hangt af van de vorm van het dier en is dus per diersoort verschillend. Een paar voorbeelden:
$c_{koe} = 0,09$ , $c_{aap} = 0,12$ , $c_{egel} = 0,075$ , en $c_{muis} = 0,09$ .
Voor een koe en een muis geldt dus: $H = 0,09 \cdot G^{0,67}$ .
Een koe weegt gemiddeld $500$ kg, een muis $0,025$ kg.

Bereken de huidoppervlakte van een koe en van een muis.

Hoe verhouden zich de lichaamsgewichten van een koe en een muis?
En hoe verhouden zich hun huidoppervlakten?

Hoe verhouden zich de huidoppervlakten van een egel en een muis die even zwaar zijn?

Als de huidoppervlakten van een egel en een muis precies even groot zijn, wie van de twee is dan het zwaarst?

We gaan verder met de formule van de vorige opgave.

Een volwassen Afrikaanse olifant kan wel $6000$ kg wegen, terwijl een baby-olifantje bij de geboorte maar $100$ kg weegt. De twee formaten hebben dezelfde vorm, dus de formules hebben dezelfde constante.

Hoeveel keer zo groot is de huidopppervlakte van de volwassen olifant, vergeleken met het baby-olifantje?
De constante $c$ is voor olifanten niet bekend.

(hint)

Gebruik de formule om de beide huidoppervlakten uit te drukken in de constante

c

Stel dat van een diersoort twee formaten voorkomen. De formaten hebben dezelfde vorm, dus de formules hebben ook dezelfde constante $c$ . Het grote formaat is $8$ keer zo zwaar als het kleine formaat.

Laat met een berekening zien dat de huidoppervlakten van de twee formaten zich ongeveer verhouden als $4 : 1$ .

(hint)

Stel dat het gewicht van het kleine formaat

g

is. Dan is het gewicht van het grote formaat

8 \cdot g

.
Druk met de formule de huidoppervlaktes van beide formaten uit in

g

en laat daarmee zien dat de huidoppervlakte van het grote formaat ongeveer

4

keer zo groot is als die van het kleine formaat.

Grotere dieren kunnen gemakkelijker extreme kou verdragen dan kleine dieren.

Kun je dat met het vorige onderdeel verklaren?

Het verband tussen het skeletgewicht $S$ van een dier en zijn lichaamsgewicht $G$ , beide in gram, wordt gegeven door de formule $S = 0,06 \cdot G^{1,1}$ .

Een edelhert weegt ongeveer $150$ kg.

Hoeveel kg vlees (inclusief orgaanvlees) heeft het edelhert naar verwachting op zijn botten?

In Siberië is een skelet van een mammoet gevonden. Het skelet weegt ongeveer $2000$ kg. Men wil graag weten hoe zwaar het inmiddels uitgestorven dier was.

Bereken het oorspronkelijke gewicht van deze mammoet.

Hoe groter de vogelsoort, hoe groter de eieren. Na een onderzoek van $800$ vogelsoorten kwam de ornitholoog Rahn tot een formule die het verband legt tussen het gewicht van een ei en het gewicht van de moedervogel: $E = 0,3 \cdot G^{0,75}$ . Hierin is $E$ het eigewicht en $G$ het lichaamsgewicht, beide in grammen.

Een grauwe gans weegt (ongeveer) $3,5$ kilogram.

Hoe zwaar zijn haar eieren volgens de formule?

Van de prehistorische vogel Aepyornis die op Madagascar leefde heeft men een fossiel ei gevonden. Men schat dat het ei $10$ kg heeft gewogen.

Hoe zwaar is de Aepyornis volgens de formule geweest?

Terugrekenen

In de vorige opgave heb je het gewicht van een mammoet berekend uit zijn skeletgewicht. Waarschijnlijk heb je dat met behulp van de GR gedaan. Maar het kan ook algebraïsch.
Hoe dat gaat, gaan we nu bekijken.

Gebruik bij deze opgave geen rekenmachine.

Schrijf ${(3^{4})}^{2}$ , ${(2^{3})}^{3}$ en ${(5^{2})}^{3}$ als een macht.

Bereken ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ , ${(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$ en ${(5^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

Bereken ${(12^{\frac{1}{3,5}})}^{3,5}$ , ${({3,7}^{\frac{1}{0,15}})}^{0,15}$ en ${({1,23}^{2,17})}^{\frac{1}{2,17}}$ .

Laat zien dat $x = 10^{\frac{1}{2,8}}$ een oplossing is van de vergelijking $x^{2,8} = 10$ .

Als $x^{p} = a$ , dan $x = a^{\frac{1}{p}}$ .

Deze regel geldt voor alle positieve getallen $x$ , $p$ en $a$ .

Vind oplossingen van de volgende vergelijkingen, zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine. Geef je antwoorden in drie decimalen nauwkeurig.

$x^{4,2} = 50$

$y^{0,17} = 3,5$

$z^{1,6} = 7,8$

$w^{12,3} = 100$

Voorbeeld:

Voor welk getal $x$ geldt: $2 \cdot x^{0,4} = 6$ ?

Oplossing

$2 \cdot x^{0,4}$	$=$	$6$	DEEL DOOR $2$
$x^{0,4}$	$=$	$3$	Als $x^{p} = a$ , dan $x = a^{\frac{1}{p}}$
$x$	$=$	$3^{\frac{1}{0,4}} = 3^{2,5} = 15,588... \approx 15,59$

Bereken langs algebraïsche weg in drie decimalen het positieve getal $x$ waarvoor geldt:

$2 \cdot x^{0,3} = 5$

$x^{2} \cdot x^{0,5} = 10$

$4 \cdot x^{0,75} = 20$

$20 \cdot x^{1,7} = 4 \cdot x^{0,3}$

In opgave 37 heb je met behulp van de GR berekend hoever de planeet Neptunus van de zon staat.

Bereken nogmaals hoever Neptunus van de zon staat, maar nu op algebraïsche wijze.

In opgave 41 heb je met behulp van de GR het gewicht van een mammoet berekend uit zijn skeletgewicht.

Bereken nogmaals het gewicht van de mammoet, maar nu op algebraïsche wijze.

In opgave 42 heb je met behulp van de GR uit het gewicht van het ei van de Aepyornis berekend, hoe zwaar deze reuzenvogel moet zijn geweest.

Bereken nogmaals het gewicht van de Aepyornis, maar nu op algebraïsche wijze.

Nu je weet hoe je algebraïsch terug kunt rekenen, kun je zonder veel moeite ook formules omschrijven. In feite doe je dan vrijwel hetzelfde. En de rekenregels voor machten komen hier ook weer van pas.

Voorbeeld:

Gegeven is het verband $y = 0,3 \cdot x^{2,2}$ . Druk $x$ uit in $y$ .
Schrijf het resultaat in de vorm $x = a \cdot y^{b}$ , met $a$ en $b$ in twee decimalen.

Oplossing

$y$	$=$	$0,3 \cdot x^{2,2}$	DEEL DOOR $0,3$
$x^{2,2}$	$=$	$\frac{y}{0,3} = \frac{1}{0,3} \cdot y$	Als $y = x^{p}$ , dan $x = y^{\frac{1}{p}}$
$x$	$=$	${(\frac{1}{0,3} \cdot y)}^{\frac{1}{2,2}}$	Rekenregel 4 toepassen: ${(a \cdot b)}^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$
$x$	$=$	${(\frac{1}{0,3})}^{\frac{1}{2,2}} \cdot y^{\frac{1}{2,2}} \approx 1,73 \cdot y^{0,45}$

Druk $x$ uit in $y$ . Schrijf het resultaat in de vorm $x = a \cdot y^{b}$ , met $a$ en $b$ getallen in twee decimalen nauwkeurig.

$y = 4 \cdot x^{2}$

$y = 27 \cdot x^{3}$

$y = 6,2 \cdot x^{1,2}$

$y = 0,21 \cdot x^{0,7}$

We kijken nog even naar de formule $E = 0,3 \cdot G^{0,75}$ in opgave 42.

Leg uit dat $E$ niet evenredig is met $G$ .

Laat met een berekening zien dat $E^{4} = 0,0081 \cdot G^{3}$ .

Leg uit dat $E^{4}$ evenredig is met $G^{3}$ en geef de bijbehorende de evenredigheidsconstante.

Geef een formule waarmee $G$ wordt uitgedrukt in $E$ . Schrijf deze formule in de vorm $G = a \cdot E^{b}$ met de getallen $a$ en $b$ in twee decimalen nauwkeurig.

Zoals we gezien hebben in opgave 41 wordt het verband bij zoogdieren tussen het skeletgewicht $S$ en het lichaamsgewicht $G$ in gram gegeven door de formule $S = 0,06 \cdot G^{1,1}$ .

Voor grotere dieren zou je liever een formule hebben met het verband tussen skeletgewicht en het lichaamsgewicht in kg. Noem het skeletgewicht in kg $s$ en het lichaamsgewicht in kg $g$ .

Wat is het verband tussen $S$ en $s$ (en tussen $G$ en $g$ )?

Laat zien dat uit de formule $S = 0,06 G^{1,1}$ volgt dat
$s = 0,12 \cdot g^{1,1}$ .

(hint)

Voor $S = 1000 s$ en voor $G = 1000 g$ invullen in $S = 0,06 G^{1,1}$ geeft ...

Het opgewekte vermogen van een windmolen is evenredig met de derde macht van de windsnelheid. In formule: $P = c \cdot V^{3}$ , waarbij $P$ het opgewekte vermogen is in Watt, $c$ een evenredigheidsconstante en $V$ de windsnelheid in m/s.

Iemand beweert: Als het "halve kracht" waait, dan is het vermogen van de windmolen nog geen $13$ % van het vermogen bij "volle kracht".

Laat met een berekening zien dat dit klopt.

(hint)

Neem aan dat $v$ de windsnelheid is als het waait op volle kracht. Het opgewekte vermogen is dan $P = c \cdot v^{3}$ .
Als het waait op halve kracht, dan is de windsnelheid $0,5 \cdot v$ . Het opgewekte vermogen is dan $P = c \cdot {(0,5 \cdot v)}^{3} = ...$

Een ander beweert: Als de wind met $20$ % afneemt, dan halveert het vermogen van de windmolen.

Laat met een berekening zien dat dit ongeveer klopt.