Voorbeeld:

Gegeven zijn de formules $y = 2 a + 4 b$ en $a = x - 3$ en $b = 3 x - 1$ .
Druk $y$ uit in $x$ . Schrijf je antwoord zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

$\begin{array}{l} y = 2 a + 4 b \\ = 2 (x - 3) + 4 (3 x - 1) \\ = 2 x - 6 + 12 x - 4 \\ = 14 x - 10 \end{array}$

Dus $y = 14 x - 10$ .

Voorbeeld:

Gegeven zijn de formules $z = 5 x - y - 8$ en $y = 3 x - 15$ .
Druk $z$ uit in $x$ . Schrijf je antwoord zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

$\begin{array}{l} z = 5 x - y - 8 \\ = 5 x - (3 x - 15) - 8 \\ = 5 x - 3 x + 15 - 8 \\ = 2 x + 7 \end{array}$

Dus $z = 2 x + 7$ .

Schrijf je antwoorden zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

Gegeven zijn de formules $y = 1,5 c - 0,3 d$ en $c = 14 x + 38$ en $d = 4 x + 24$ .

Druk $y$ uit in $x$ .

Gegeven zijn de formules $z = x - y + 2,9$ en $y = 2,7 x - 4,1$ .

Druk $z$ uit in $x$ .

Gegeven zijn de formules $y = 3 x + 2 a - 4 b$ en $a = 7,5 - x$ en $b = 1,5 x + 2,5$ .

Druk $y$ uit in $x$ .

Gegeven zijn de formules $z = 1,4 w$ en $w = 3 y + 2$ en $y = 0,4 x - 3,6$ .

Druk $z$ uit in $x$ .

Voorbeeld:

Gegeven is de formule $y = \frac{4 x + 10}{7}$ . Schrijf deze formule in de vorm $x = a y + b$ voor zekere getallen $a$ en $b$ .

$\begin{array}{l} y = \frac{4 x + 10}{7} \\ 7 y = 4 x + 10 \\ 7 y - 10 = 4 x \\ \frac{7 y - 10}{4} = x \end{array}$

Dus $x = \frac{7}{4} y - \frac{10}{4}$ of $x = 1,75 y - 2,5$

Voorbeeld:

Gegeven zijn de formules $z = 4,2 x + 3,4 y$ en $x + y = 3$ .
Druk $x$ uit in $z$ in een formule van de vorm $x = a z + b$ voor zekere getallen $a$ en $b$ .

Uit de formule $x + y = 3$ volgt dat $y = 3 - x$ . Dit vullen we in bij de andere formule.

$\begin{array}{l} z = 4,2 x + 3,4 y \\ = 4,2 x + 3,4 (3 - x) \\ = 4,2 x + 10,2 - 3,4 x \\ = 0,8 x + 10,2 \end{array}$

Dus $z = 0,8 x + 10,2$ . Deze formule schrijven we om naar $x = a z + b$ .

$\begin{array}{l} z = 0,8 x + 10,2 \\ z - 10,2 = 0,8 x \\ \frac{z - 10,2}{0,8} = x \\ \frac{1}{0,8} z - \frac{10,2}{0,8} = x \end{array}$

Dus $x = 1,25 z + 12,75$ .

Gegeven is de formule $y = \frac{3 x - 5}{4}$ .

Druk $x$ uit in $y$ . Schrijf de formule in de vorm $x = a y + b$ .

Gegeven zijn de formules $w = 2 x + 3 y$ en $y = 2 x - 8$ .

Druk $x$ uit in $w$ . Schrijf de formule in de vorm $x = a w + b$ .

Gegeven zijn de formules $K = 7 A + 3 B$ en $A = 0,5 T + 1,5$ en $B = 1,5 T + 0,5$ .

Druk $T$ uit in $K$ . Schrijf de formule in de vorm $T = a K + b$ .

Gegeven zijn de formules $p - 2 q + 3 r = 10$ en $r = 2 p + q$ .

Druk $q$ uit in $p$ . Schrijf de formule in de vorm $q = a p + b$ .

Stel dat er drie grootheden in het spel zijn: $A$ , $B$ en $C$ .
Neem aan dat er een formule is waarmee $B$ kan worden berekend uit $A$ . We noteren deze formule als $A \to B$ .
Neem aan dat er ook een formule is waarmee $C$ kan worden berekend uit $B$ . We noteren deze formule als $B \to C$ .
Als je nu $A$ weet, dan kun je $B$ berekenen en met $B$ kun je $C$ berekenen. Zo kunnen de formules $A \to B$ en $B \to C$ worden gecombineerd tot een nieuwe formule $A \to C$ waarmee $C$ kan worden berekend met $A$ .
Dit procédé heet het schakelen van formules en wordt genoteerd als $A \to B \to C$ .

In de volgende opgaven zien we voorbeelden van het schakelen van formules.

Een Hyundai i20 rijdt $1$ op $20$ , d.w.z. hij heeft $1$ liter benzine nodig per $20$ km. Benzine kost $€ 1,60$ per liter. Als je weet hoeveel km een reis lang is, dan kun je berekenen hoeveel liter benzine de auto voor die reis nodig heeft. Vervolgens kun de benzinekosten van de reis berekenen. Noem de reisafstand in kilometers $R$ , de benzinekosten (in euro) $K$ en het aantal benodigde liters benzine $B$ .

Geef een formule voor $B$ , uitgedrukt in $R$ .

Geef een formule voor $K$ , uitgedrukt in $B$ .

Geef een formule voor $K$ , uitgedrukt in $R$ .

Geef een formule voor $R$ , uitgedrukt in $K$ .

Van een kubus noemen we de ribbe $r$ (in cm), de totale oppervlakte (dus van zes grensvlakken) $O$ (in ${cm}^{2}$ ) en de inhoud $V$ (in ${cm}^{3}$ ).

Druk $O$ en $V$ uit in $r$ .

Bereken $r$ en vervolgens $O$ als $V = 27$ .

Bereken $O$ als $V = 50$ . Rond je antwoord af op twee decimalen.

Als je $V$ weet, kun je eerst $r$ uitrekenen, en met $r$ kun je dan $O$ uitrekenen.

Geef een formule waarmee $O$ wordt uitgedrukt in $V$ .

Omgekeerd: als je $O$ kent, kun je $r$ uitrekenen en met $r$ kun je $V$ uitrekenen.

Bereken $r$ en vervolgens $V$ als $O = 150$ .

Bereken $V$ als $O = 180$ . Rond je antwoord af op twee decimalen.

Geef een formule waarmee $V$ wordt uitgedrukt in $O$ .

Al eerder heb je de formule gezien die het verband legt tussen het gewicht van een ei en het gewicht van de moedervogel: $E = 0,3 \cdot G^{0,75}$ . Hierin is $E$ het eigewicht en $G$ het lichaamsgewicht, beide in grammen.
Het aantal dagen dat nodig is om een ei uit te broeden hangt ook van het gewicht van de moedervogel af: $T = 9,1 \cdot G^{0,17}$ . Hierin is $T$ de broedtijd in dagen.

Een kolibri heeft $11$ dagen nodig om zijn eitjes uit te broeden.

Hoe zwaar (of beter: hoe licht) is een kolibri volgens deze formule? Geef je antwoord in grammen en afgerond op 2 decimalen.

Hoeveel gram weegt het ei van een kolibri volgens de formule? Rond je antwoord af op 2 decimalen.

Uit de formule $E = 0,3 \cdot G^{0,75}$ kan de volgende formule worden afgeleid: $G = 5 \cdot E^{1,33}$ .

Laat zien hoe je deze formule stap voor stap kunt herleiden vanuit de gegeven formule en controleer de formule met de gegevens die je inmiddels weet van de kolibrie.

Het ei van de prehistorische vogel Aepyornis woog $10$ kg.

Bereken de tijd (in hele dagen) die de Aepyornis volgens de formules nodig had voor het uitbroeden van zijn monsterei.

We kunnen de formules schakelen: $E \to G \to T$ .

Stel een formule op waarmee $T$ wordt uitgedrukt in $E$ . Schrijf deze formule in de vorm $T = a \cdot E^{b}$ met $a$ en $b$ getallen in twee decimalen nauwkeurig.

We laten van grote hoogte een steen vallen, vanuit stilstand. We doen net alsof er geen luchtwrijving is. De tijd die de kogel valt noemen we $t$ (in seconden), de valweg noemen we $s$ (in meters) en de snelheid van de kogel noemen we $v$ (in m/s). Zoals je misschien weet, gelden (bij benadering) de volgende formules: $s = 5 t^{2}$ en $v = 10 t$ .

Bereken de snelheid op het moment dat de kogel $80$ meter gevallen is.

Bereken de valweg op het moment dat de kogel met een snelheid van $15$ m/s valt.

Als je $s$ weet, kun je $v$ berekenen, en omgekeerd. In beide gevallen gaat dat in twee stappen, namelijk via de ketting $s \to t \to v$ of via de ketting $v \to t \to s$ .

Welke ketting heb je gebruikt bij vraag a en welke bij b?

Laat zien dat $s = 5 \cdot {(\frac{v}{10})}^{2}$ .

Schrijf de formule van de vorige vraag in de vorm $s = a \cdot v^{2}$ .

Laat zien dat $v = 10 \cdot \sqrt{\frac{s}{5}}$ .

Laat zien dat de formule van de vorige vraag kan worden geschreven als $v = 4,472 \cdot \sqrt{s}$ .

Er is uitgebreid onderzoek gedaan naar de hoeveelheid energie die mens en dier nodig hebben om zich te verplaatsen.

Voor landdieren vond men de formule: $E = 3 \cdot M^{‐ 0,34}$ . Hierbij is $M$ het lichaamsgewicht in kg en $E$ is de hoeveelheid energie in Wh (Wattuur) die nodig is voor $1$ km verplaatsing per kilogram lichaamsgewicht.

Ga na dat een landdier van $2$ kg aan transportenergie $4,74$ Wh per km kwijt is.

Onderzoek wie er volgens dit model meer energie kwijt is om zich over $1$ km te verplaatsen: een hond van $25$ kg of een olifant van $5000$ kg.

Leg uit dat de transportenergie $T$ die nodig is voor een dier van $M$ kg om zich over $1$ km te verplaatsen gegeven wordt door de formule $T = 3 \cdot M^{0,66}$ .

Voor welke waarden van $M$ is $E$ groter is dan $2$ ?

Voor vogels geldt de formule: $E = 2,5 \cdot M^{‐ 0,15}$ .
Als we een vogel van $1$ kg en een landdier van $1$ kg vergelijken, dan is de transportenergie van de vogel ( $2,5$ Wh) kleiner dan die van het landdier ( $3$ Wh).

Onderzoek bij welke lichaamsgewichten $M$ de transportenergie van een vogel kleiner is dan die van een even zwaar landdier.

We bekijken drie formules: $y = 2 x + 3$ , $z = 3 x + 4 y$ en $w = 0,2 \cdot z - 3,5$ .

Bereken achtereenvolgens $w$ als $x = 1$ , $x = 2$ en $x = 3$ .

Geef een rechtstreekse formule voor $w$ , uitgedrukt in $x$ .

Schrijf de formule van het vorige onderdeel in de vorm: $w = a \cdot x + b$ met $a$ en $b$ zekere getallen.

Van een populierensoort is het verband tussen de diameter (op $1,3$ meter hoogte) $D$ en de leeftijd $L$ bekend in de vorm van een grafiek. Ook het verband tussen de hoogte van de boom $H$ en zijn leeftijd $L$ is in de vorm van een grafiek gegeven.

Teken de grafiek die het verband tussen $H$ en $D$ weergeeft.

Bij de grafieken zijn ook formules bekend: $L = 0,8 \cdot D - 3$ en $H = ‐ 0,01 \cdot L^{2} + 1,1 \cdot L + 6$ .

Onderzoek met de GR hoe hoog deze populierensoort maximaal kan worden en bij welke leeftijd hij zijn maximale hoogte bereikt.

Bij welke diameter bereikt deze populierensoort zijn maximale hoogte?

De omtrek (perimeter) $P$ (in cm) van een boom is eenvoudig te berekenen uit de diameter $D$ (in cm) met de formule: $P = 3,14 \cdot D$ .

Bereken de hoogte van een populier met een omtrek van $130$ cm.

Een populier mag in de regel pas gekapt worden als hij minstens $25$ m hoog is.

Welke omtrek moet een populier minstens hebben voor hij gekapt mag worden?

Treinreizigers die op een bepaald station uitstappen, kunnen de uitgang van het station alleen bereiken via een voetgangerstunnel. De tunnel is $30$ meter lang en $3$ meter breed. De snelheid van de voetgangersstroom in de tunnel is afhankelijk van de drukte. Een maat voor de drukte is het gemiddeld aantal vierkante meter per voetganger. Deze maat noemen we de module.

Op een zeker moment bevinden zich $120$ mensen in de tunnel die allemaal in de richting van de uitgang lopen.

Bereken voor deze situatie de module.

Leg uit dat het aantal mensen in de tunnel $A$ en de module $M$ omgekeerd evenredig zijn.

Bedenk een formule waarmee de module $M$ kan worden berekend uit het aantal mensen $A$ in de tunnel.

Op een bepaald moment zijn er een aantal mensen in de tunnel. Als dat aantal opeens verdubbelt, dan gaat de module met $0,6$ omlaag.

Bereken hoeveel mensen er eerst in de tunnel waren.

Op een bepaald moment zijn er een aantal mensen in de tunnel. Als er opeens $9$ mensen bijkomen, dan gaat de module met $0,5$ omlaag.

Bereken hoeveel mensen er eerst in de tunnel waren.

Het verband tussen de snelheid van de voetgangersstroom $V$ en de module $M$ wordt gegeven door de formule: $V = 1,5 - \frac{0,45}{M}$ , met $V$ in m/s en $M$ in $m^{2}$ per voetganger.
In de figuur hiernaast zie je een schets van de grafiek van $V$ .

Van deze grafiek kun je een toenamediagram maken. Hier zie je enkele toenamediagrammen.

Welke van deze drie toenamediagrammen lijkt het meest op het toenamediagram van $V$ ?

Bereken voor welke waarde van $M$ de voetgangersstroom geheel tot stilstand zal komen.

Met welke snelheid (in km per uur) lopen mensen volgens dit model als ze ongestoord kunnen lopen?

Leg aan de hand van de formule van $V$ uit dat $V$ toeneemt als $M$ groter wordt.

Het aantal voetgangers dat de tunnel per seconde verlaat noemen we $N$ . Bij deze tunnel geldt: $N = \frac{3 \cdot V}{M}$ . Voor de snelheid $V$ (in m/s) geldt nog steeds de formule: $V = 1,5 - \frac{0,45}{M}$ .

Combineer deze twee formules tot één formule die $N$ uitdrukt in $M$ .

De formule in het vorige onderdeel kan worden geschreven als: $N = \frac{4,5}{M} - \frac{1,35}{M^{2}}$ . De bijbehorende grafiek staat hiernaast. Je ziet dat $N$ op een zeker moment een maximale waarde bereikt. Teken deze grafiek op je GR. Laat daarbij de waarden van $M$ variëren van $0$ tot $5$ .

Zoek met behulp van de GR uit wat het maximale aantal mensen is dat per minuut de tunnel kan verlaten en bij welke $M$ dat gebeurt.

Met welke snelheid (in km/uur) lopen de voetgangers uit de tunnel als de doorstroom maximaal is.

Bedenk weer even dat de tunnel $30$ m lang is en $3$ m breed.

Hoeveel mensen bevinden zich in de tunnel bij die maximale doorstroom.