1

Verslaggevers van schaatswedstrijden voorspellen vaak aan de hand van een tussentijd de eindtijd. We bekijken in deze opgave de $10 000$ meter hardrijden. De schaatsers rijden dan $25$ rondjes van $400$ meter. Aan de hand van de tussentijd op $8000$ meter ( $T$ ) wordt de waarschijnlijke eindtijd ( $E$ ) berekend. Dit gebeurt als volgt: Eerst wordt de gemiddelde rondetijd $G$ berekend met de formule $G = \frac{T}{20}$ en daarmee wordt de eindtijd berekend $E$ berekend met de formule $E = 25 \cdot G - 3$ . $G$ , $E$ en $T$ zijn allemaal in seconden.

a

Bereken met behulp van de formules op welke eindtijd iemand uitkomt die een tussentijd op $8000$ meter heeft van $10 : 30 : 65$ ( $10$ min. en $30,65$ sec.).

Een formule die in dit model gebruikt wordt is: $E = 25 \cdot G - 3$ .

b

Bedenk een mogelijke verklaring waarom er " $- 3$ " staat in de formule van $E$ .

c

Stel een formule op, waarmee de eindtijd $E$ direct kan worden berekend uit de tussentijd $T$ . Schrijf deze formule zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

Een wedstrijdrijder wil op eindtijd $13 : 30 : 00$ uitkomen.

d

Welke tussentijd moet hij op de $8000$ meter halen?

e

Stel een formule op waarmee de tussentijd $T$ kan worden berekend uit de eindtijd $E$ . Schrijf deze formule zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

Een alternatieve formule om de eindtijd $E$ te berekenen is: $E = T + 5 \cdot (G - 0,5)$ .

f

Leg uit wat de gedachte is achter deze alternatieve formule.

g

Stel met de alternatieve formule een formule op voor de verwachte eindtijd $E$ , uitgedrukt in $T$ . Schrijf deze formule weer zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

2

Het vermogen $P$ dat een windmolen levert, is evenredig met de derde macht van de windsnelheid ( $V^{3}$ ). Het vermogen is ook evenredig met het kwadraat van de diameter van de rotor ( $D^{2}$ ). Dit geeft de volgende formule voor het vermogen $P$ van een windmolen (in W): $P = 0,24 \cdot D^{2} \cdot V^{3}$ . Hierbij is $D$ de rotordiameter (in m) en $V$ de windsnelheid (in m/s).

Een windmolen heeft een rotordiameter van $75$ m.

a

Hoeveel MW levert deze windmolen bij een windsnelheid van $27$ km/h?
( $1$ MW = $1 000 000$ W)

Stel dat een windmolen ten minste $0,36$ MW moet produceren bij een windsnelheid van $6$ m/s.

b

Hoe groot moet de rotordiameter dan minstens zijn? Geef je antwoord in hele meters nauwkeurig.

De Amstelvogel is een windmolen in Ouderkerk aan de Amstel met een rotordiameter van $71$ m en een maximumvermogen van $2$ MW.

c

Bij welke windsnelheid haalt deze windmolen volgens de formule een vermogen van $2$ MW?

De Amstelvogel heeft een verwachte jaaropbrengst van $4100$ MWh. Hij voorziet daarmee $1200$ huishoudens van elektriciteit.

d

Hoeveel kWh is het gemiddelde jaarverbruik van een huishouden?

Het waait natuurlijk niet altijd even hard. Maar veronderstel eens dat dat wel het geval zou zijn: $24$ uur per dag en $365$ dagen per jaar precies dezelfde windsnelheid.

e

Bij welke windsnelheid wordt volgens de formule een jaaropbrengst van $4100$ MWh gehaald?

3

Een lijstenmakerij levert wissellijsten in alle gewenste afmetingen. De prijs van een wissellijst bestaat uit de prijs voor het glas en de prijs voor de omlijsting. Glas kost $1,25$ euro per ${dm}^{2}$ en de omlijsting kost $0,35$ euro per dm.

a

Wat kost een lijst van $4$ bij $6$ dm?

Noem de hoogte van de lijst $H$ (in dm) en de breedte $B$ (in dm).

b

Wat zijn de kosten voor de glasplaat, uitgedrukt in $H$ en $B$ ?

c

En wat zijn de kosten voor de omlijsting?
Schrijf je antwoord zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

d

Stel een formule op voor de prijs $P$ van een wissellijst met hoogte $H$ dm en breedte $B$ dm.

Anneke koopt een lijst van $5$ dm breed voor $€ 59,10$ .

e

Hoe hoog is deze lijst?

Amal koopt een lijst die twee keer zo breed als hoog is voor $€ 80, -$ .

f

Bepaal met je GR wat de afmetingen zijn van deze lijst.

4

Voor de variabelen $a$ , $b$ en $c$ geldt: $c = 3 a + 2 b + 1$ en $a = 2 b + c - 1$ .
Door in de tweede formule $c$ te vervangen door $3 a + 2 b + 1$ , krijg je een verband met alleen de variabelen $a$ en $b$ .

a

Druk $a$ uit in $b$ .

b

Druk $c$ uit in $b$ .

c

Druk $c$ uit in $a$ .

5

We bekijken een formule waarin het huidoppervlak $H$ van een mens is uitgedrukt in zijn lichaamsgewicht $G$ en zijn lengte $L$ :
$H = 0,007 \cdot G^{0,425} \cdot L^{0,725}$ met $H$ in $m^{2}$ , $G$ in kg en $L$ in cm.
Iemand heeft een huidoppervlakte van $2 m^{2}$ .

a

Hoe lang is die persoon als hij $80$ kg weegt? Bereken het antwoord langs algebraïsche weg in cm nauwkeurig.

b

Hoe zwaar is die persoon als hij $1,75$ meter lang is? Bereken het antwoord langs algebraïsche weg in één decimaal nauwkeurig.

6

Als je van een viervoeter de dikte en het lichaamsgewicht kent, is zijn lengte ook min of meer bepaald. Hij kan niet langer dan een zekere waarde zijn, vanwege het “doorzakeffect”. De dikte noemen we $D$ (in cm), het lichaamsgewicht $G$ (in gram) en de maximale lengte $L$ (in cm). Iemand heeft de volgende formules opgesteld: $G \cdot L^{2} = 680 \cdot D^{4}$ en $L \cdot D^{2} = G$ .

a

Druk met behulp van de eerste formule $G$ uit in $L$ en $D$ .

Vul de uitdrukking die je in het vorige onderdeel voor $G$ gevonden hebt in de tweede formule in. Je krijgt een formule voor het verband tussen $L$ en $D$ .

b

Laat zien dat die formule te herschrijven is tot $L^{3} = 680 \cdot D^{2}$ .

De formule uit het vorige onderdeel kun je schrijven in de vorm: $L = a \cdot D^{b}$ , voor zekere getallen $a$ en $b$ .

c

Bereken de getallen $a$ en $b$ in twee decimalen nauwkeurig.

7

Lloyd’s is een organisatie die zich bezighoudt met het opstellen van regels voor de controle op de zeewaardigheid van schepen. Volgens deze regels moet de diameter $D$ van de schroefas voldoen aan de volgende formule: $D = 79,78 \cdot \sqrt[3]{\frac{P}{R}}$ .
In deze formule is $D$ uitgedrukt in mm, het vermogen $P$ uitgedrukt in pk en het toerental $R$ in tpm (toeren per minuut).
Soms is de asdiameter bekend, bijvoorbeeld wanneer alleen de motor moet worden vervangen. Dan is het handig om de formule anders te schrijven.
We gaan uit van een asdiameter van $30$ mm.

Herschrijf de formule hierboven zo dat je een formule krijgt waarin $P$ uitgedrukt wordt in $R$ .

(hint)

Je raakt een derdemachtswortel kwijt door hem tot de derde macht te verheffen.

8

Statiegeld is een klein bedrag dat je betaalt bij de aankoop van een product en dat je weer terugkrijgt als je het product inlevert.
Op een petfles zit $€ 0,25$ statiegeld en op een bierflesje $€ 0,10$ .

Jesse levert $14$ flessen in. Dat levert hem in totaal $€ 2,15$ euro statiegeld op.

a

Bereken hoeveel petflessen en hoeveel bierflesjes hij heeft ingeleverd.

b

Stel een formule op waarmee je het statiegeldbedrag $S$ (in euro's) kunt uitrekenen dat je krijgt als je $P$ petflessen en $B$ bierflesjes inlevert.

Sanne levert in totaal $10$ flessen (petflessen en bierflesjes) in.

c

Stel een formule op waarmee haar statiegeldbedrag $S$ wordt uitgedrukt in het aantal bierflesjes $B$ . Schrijf deze formule zo eenvoudig mogelijk.

Wilco levert twee keer zoveel bierflesjes in als petflessen.

d

Stel een formule op waarmee zijn statiegeldbedrag $S$ wordt uitgedrukt in het aantal petflessen $P$ . Schrijf ook deze formule zo eenvoudig mogelijk.

9

Als je veel spaargeld (of aandelen) bezit, dan moet je daarover elk jaar belasting betalen. Tot en met $2016$ werd door de belastingdienst gerekend met een fictief rendement van $4$ % op spaargeld. Je hoefde pas belasting te betalen over je spaargeld, als het meer was dan het zogenaamde heffingsvrije vermogen, in $2016$ was dat bedrag $24 437$ euro. Over het fictieve rendement boven het heffingsvrije vermogen moest $30$ % belasting betaald worden.

a

Bereken hoeveel belasting je in $2016$ over $150 000$ euro spaargeld moest betalen.

b

Stel een formule op waarmee voor het jaar $2016$ het belastingbedrag $B$ wordt uitgedrukt in het bedrag aan spaargeld $S$ . Beide bedragen zijn in euro’s. Schrijf de formule zo eenvoudig mogelijk.

Sinds $2017$ is de berekening van de belasting op spaargeld veranderd, mede vanwege de sterk gedaalde rente op spaargeld. Het heffingsvrije vermogen in $2017$ is verhoogd naar $25 000$ euro. Het fictieve rendement over het spaargeld boven het heffingsvrije vermogen wordt als volgt berekend: over de eerste $75 000$ euro is dat $2,87$ % en over het meerdere $4,6$ %. Over het fictieve rendement moet nog steeds $30$ % belasting betaald worden.

c

Bereken hoeveel belasting je in $2017$ over $150 000$ euro spaargeld moest betalen.

d

Stel een formule op waarmee voor het jaar $2017$ het belastingbedrag $B$ wordt uitgedrukt in het bedrag aan spaargeld $S$ voor spaargelden tussen $25 000$ en $100 000$ euro. Schrijf de formule zo eenvoudig mogelijk.

e

Stel een formule op waarmee voor het jaar $2017$ het belastingbedrag $B$ wordt uitgedrukt in het bedrag aan spaargeld $S$ voor spaargelden vanaf $100 000$ euro.

(hint)

Reken eerst uit hoeveel belasting betaald moet worden over een spaarbedrag van

100 000

euro.

Door de herziening van de belasting op spaargeld ben je in $2017$ vergeleken met $2016$ bij lagere bedragen goedkoper uit, maar bij hogere bedragen juist duurder.

f

Onderzoek vanaf welk bedrag je in $2017$ duurder uit bent dan in $2016$ .