In een krantenartikel werd beschreven hoe een kind zijn (of haar) toekomstige lichaamslengte
kan berekenen:
„Tel de lengten (in cm) van je vader en moeder bij elkaar op en deel het getal door
twee. Je hebt dan de gemiddelde lengte van je ouders. Als je een meisje bent, trek
je daar zes van af. Als je een jongen bent, tel je er zes bij op. Dat doe je omdat
mannen gemiddeld langer worden dan vrouwen. Daarna tel je er nog eens drie bij op.
Dat moeten zowel de jongens als de meisjes doen, want die drie centimeter worden alle
kinderen gemiddeld langer dan hun ouders. Dan weet je hoe lang je waarschijnlijk zult
zijn als je stopt met groeien.”
Bereken de te verwachten lengte van een jongen met een vader van cm en een moeder die cm lang is.
Het is mogelijk om met behulp van bovenstaande tekst formules te maken om iemands te verwachten lengte in cm te bepalen. Noem de lengte in cm van de vader en die van de moeder .
Stel een formule op voor de te verwachten lengte van een meisje.
In het jongerentijdschrift Pauze stond een aantal jaren geleden een andere methode
om je toekomstige lengte te berekenen. Die methode kan met de volgende formules worden
beschreven:
lengte jongen en lengte meisje ,
waarbij en de lengte in cm van de vader, respectievelijk de moeder zijn.
Een jongen en een meisje blijken volgens deze methode even lang te worden. Hun vaders
zijn precies even lang.
Bereken hoe groot het lengteverschil van hun moeders is.
naar 2000-I bezemexamenAls je een huis koopt, moet je meer betalen dan alleen de koopsom. Je moet bijvoorbeeld
belasting betalen en de kosten van de notaris. Deze bijkomende kosten zijn voor een
nieuwbouwhuis ongeveer van de koopsom en voor een bestaande woning ongeveer .
Iemand heeft een bestaande woning gekocht. De koopsom en de bijkomende kosten hebben
haar in totaal euro gekost.
Bereken de koopsom.
De meeste mensen die een huis willen kopen, lenen daarvoor geld bij de bank. Zo’n lening wordt een hypotheek genoemd. Het hoogste bedrag dat iemand kan lenen, heet de haalbare hypotheek. Deze hangt af van het jaarinkomen van de persoon die de hypotheek aanvraagt. Verder hangt deze ook af van de rente die over de hypotheek betaald moet worden.
In een brochure van bank over hypotheken staat de tabel die je hiernaast ziet.
Hierin staat voor een aantal jaarinkomens hoe groot de haalbare hypotheek is. Daarbij
is men in deze tabel uitgegaan van een rentepercentage van .
: jaarinkomen ( euro) en
: haalbare hypotheek ( euro)
Iemand met een jaarinkomen van gulden wil een huis kopen. De rente is .
Bereken met behulp van lineaire interpolatie hoe groot haar haalbare hypotheek is.
Natuurlijk is het rentepercentage niet voortdurend . Daarom zijn in diezelfde brochure van bank ook onderstaande grafieken opgenomen. Deze figuur staat ook op de bijlage.
: haalbare hypotheek ( euro)
: jaarinkomen ( euro)
: rentepercentage
Iemand heeft een jaarinkomen van euro. Hij wil een huis kopen. Daarvoor heeft hij euro nodig. Hij wil dat hele bedrag lenen. De rente is .
Onderzoek met behulp van de figuur op de bijlage of de hypotheek die hij kan krijgen voldoende is om dit huis te kopen.
Een andere bank, bank , gebruikt onderstaande formule voor het bepalen van de haalbare
hypotheek:
waarbij
: haalbare hypotheek ( euro)
: jaarinkomen ( euro)
: rentepercentage
Iemand wil een huis kopen. Zijn jaarinkomen is euro. De rente is . Hij krijgt bij bank een haalbare hypotheek die juist voldoende is om het huis te kopen. Vlak voor de aankoop stijgt de rente van naar .
Bereken hoeveel zijn jaarinkomen zou moeten stijgen om een hypotheek bij bank te krijgen die nu toch voldoende is.
naar 2000-II bezemexamenIn de zeventiende eeuw was de fluit een veel voorkomend scheepstype. In het stadhuis
van Veere hangt het schilderij ’De Rede van Veere’ uit 1651 waarop maar liefst fluiten staan.
Naast het schilderij hangt een lijst met onder andere de lengte en het laadvermogen
van elk van deze fluiten.
Er waren twee soorten fluiten: de Amsterdamse fluit en de Rotterdamse fluit. Van beide
soorten is bekend dat de afmetingen niet altijd hetzelfde waren.
Bij de Amsterdamse fluiten was er een vaste verhouding tussen lengte, breedte en hoogte.
Je kunt dus zeggen dat alle Amsterdamse fluiten een vergroting of verkleining van
elkaar waren. Ook bij de Rotterdamse fluiten was er een vaste verhouding tussen lengte,
breedte en hoogte. Maar die verhouding was anders dan bij de Amsterdamse fluiten.
Een grotere fluit kan meer lading vervoeren. Zo zijn bij een twee keer zo lange fluit
ook breedte en hoogte twee keer zo groot. Dus is de inhoud dan acht keer zo groot.
Het laadvermogen is evenredig met de inhoud van de fluit. Dus is het laadvermogen
evenredig met de derde macht van de lengte.
In de figuur is het laadvermogen uitgezet tegen de derde macht van de lengte; om grote getallen
te vermijden is (langs de horizontale as) lengte3 gedeeld door .
Elke stip stelt een fluit voor.
De lengte is in voeten ( voet cm) en het laadvermogen is in lasten ( last kg).
In de figuur ontbreekt een fluit van het schilderij. Deze had een lengte van voet en een laadvermogen van last.
Was dit een Amsterdamse of een Rotterdamse fluit? Licht je antwoord toe.
Met behulp van de figuur zijn formules af te leiden waarmee het laadvermogen van
Amsterdamse en Rotterdamse fluiten berekend kan worden:
.
Voor Amsterdamse fluiten geldt: .
Bereken in de formule voor het laadvermogen van Rotterdamse fluiten.
Twee fluiten op het schilderij hadden dezelfde naam: De Hoope. De ene had een laadvermogen van last en was voet lang. De andere had ook een laadvermogen van last, maar had een grotere lengte.
Bereken het lengteverschil van deze twee fluiten. Geef je antwoord in hele voeten.
naar 2001-I oude stijlVeel rugklachten worden veroorzaakt door het (verkeerd) tillen van zware voorwerpen. Het Amerikaanse National Institute for Occupational Safety and Health (NIOSH) heeft een methode ontwikkeld om voor iedere tilsituatie het aanbevolen maximale tilgewicht RWL (Recommended Weight Limit) te bepalen. In de figuur is zo’n tilsituatie afgebeeld.
In deze figuur is
de horizontale afstand in cm van de handen tot de enkels bij het begin van het tillen,
de verticale afstand in cm van het voorwerp tot de vloer bij het begin van het tillen
en de verticale afstand in cm waarover het voorwerp moet worden getild.
Verder hangt de tilsituatie af van de tilfrequentie . Dit is het aantal keren per minuut dat een voorwerp wordt getild.
De (in kg) wordt berekend door kg te vermenigvuldigen met een aantal reductiefactoren die afhangen van de afstanden
, en en van de tilfrequentie .
In een formule:
Hierin zijn , , en de reductiefactoren.
De reductiefactor hangt af van de afstand volgens de onderstaande formule:
Welke waarde van geeft de grootste waarde van ?
De reductiefactoren en hangen af van de afstanden en volgens de formules:
en .
De reductiefactoren , , en zijn allemaal kleiner dan of gelijk aan . Als zo klein is dat volgens bovenstaande formule groter dan zou zijn, wordt de formule voor niet gebruikt. In dat geval neemt men .
Hetzelfde geldt voor : als zo klein is dat volgens bovenstaande formule groter dan zou zijn, wordt de formule voor niet gebruikt. In dat geval neemt men .
Bereken de kleinste waarde van waarbij de formule nog te gebruiken is.
De reductiefactor hangt af van de tilfrequentie . Voor het verband tussen en heeft men geen formule opgesteld. In plaats daarvan maakt men gebruik van de waarden in de tabel.
Volgens de NIOSH-methode wordt een tilsituatie veilig genoemd als het gewicht (in
kg) van het te tillen voorwerp niet groter is dan de .
Een werknemer moet een aantal keren per minuut een krat van een lopende band in een
spoelmachine tillen. Er geldt cm, cm en cm. De kratten wegen kg.
Bereken de maximale tilfrequentie waarbij dit volgens de NIOSH-methode nog een veilige tilsituatie is.
Een andere werknemer, die op de grond staat, moet dozen van een laadklep op een lopende band zetten met een frequentie van doos per minuten. Er geldt cm. De hoogte van de laadklep kan ingesteld worden tussen cm en cm. De lopende band bevindt zich op een hoogte van cm.
Toon aan dat in deze situatie met de laadklep geldt: .
De formule voor de is nu te herleiden tot:
Het ligt voor de hand te denken dat in deze situatie de kleiner is naarmate de laadklep lager
staat, dus naarmate groter is. Toch blijkt dat volgens de formule niet zo te zijn.
Bereken voor welke waarde van de minimaal is.
naar 2001-I nieuwe stijl vwoAWinkeliers maken kosten bij elke betaling die een klant voor een aankoop doet. Uit
een onderzoek van het Hoofdbedrijfschap Detailhandel uit 2002 blijkt dat deze kosten
afhangen van de manier
waarop de klant zijn aankoop betaalt. Alle bedragen in deze opgave hebben betrekking
op het
jaar 2002.
Om de kosten voor de detailhandel bij contant betalen, pinnen en chippen met elkaar
te kunnen vergelijken, is de onderstaande figuur gemaakt. Daarin zie je de kosten
voor deze drie betaalmiddelen in grafieken weergegeven. De figuur staat ook vergroot
op de uitwerkbijlage.
Langs de verticale as staan de transactiekosten per euro voor elk type betaling. Die transactiekosten zijn in euro’s. Langs de horizontale as staat het transactiebedrag in euro’s.
In deze figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat bij een transactiebedrag van chippen het voordeligst is, namelijk ongeveer per euro. Nu kunnen we de transactiekosten voor een transactie van chippen berekenen, namelijk (ongeveer) .
Bereken met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het verschil in transactiekosten bij contant betalen en chippen bij een transactiebedrag van .
Bij de grafieken in de figuur kunnen we formules opstellen. Voor contant betalen geldt:
Hierin is de transactiekosten per euro bij contant betalen in euro’s.
Uitgaande van de formule voor kunnen we een formule opstellen voor de transactiekosten bij contant betalen. Deze
kosten geven we aan met .
De formule heeft de vorm .
Laat dit zien en bepaal en .
Bij de grafiek van transacties met pinnen kunnen we de volgende formule
opstellen:
Hierin is de transactiekosten per euro bij pinnen in euro’s.
Omdat de meeste betalingen contant of per pin uitgevoerd worden, is het
snijpunt van en belangrijk voor de detailhandel.
Bereken met behulp van de formules voor en bij welke bedragen de transactiekosten per euro voor het pinnen lager zijn dan voor contant betalen. Rond je antwoord af op centen.
naar 2015-I pilot vwoADe kantonrechtersformule
Als een werknemer ontslagen wordt, moet zijn werkgever hem vaak een bepaald bedrag
betalen: de zogenoemde ontslagvergoeding. Er zijn verschillende manieren om de hoogte
van dit bedrag vast te stellen. Een veel gebruikte manier is de kantonrechtersformule.
Deze formule is in 1996 opgesteld door de gezamenlijke kantonrechters en wordt sindsdien
veel toegepast in rechtszaken betreffende ontslag.
De kantonrechtersformule voor de ontslagvergoeding (in euro’s) luidt als volgt:
.
Hierbij geldt:
is het Aantal gewogen dienstjaren;
is de Beloning per maand: dat is het meest recente maandsalaris in euro’s;
is de Correctiefactor: deze wordt door de rechter vastgesteld afhankelijk van de situatie. In een ‘neutraal’ geval geldt .
Voor de berekening van kijken we naar de leeftijd en het aantal dienstjaren bij de betreffende werkgever. Deze dienstjaren worden als volgt gewogen:
dienstjaren tot de leeftijd van jaar tellen voor ;
dienstjaren van tot jaar tellen voor ;
dienstjaren vanaf jaar tellen voor .
Voor elke periode wordt het aantal dienstjaren afgerond op gehele jaren. Hierbij wordt
dus een aantal dienstjaren van bijvoorbeeld jaar geteld als jaar en een aantal dienstjaren van jaar geteld als jaar.
Bijvoorbeeld: voor een werknemer die geboren is op 11 februari 1965, die per 1 maart
1995 bij een werkgever in dienst kwam en daar per 1 april 2008 ontslagen is, geldt:
.
Mevrouw De Wilde, geboren op 12 mei 1953, wordt na een dienstverband van precies jaar per 1 mei 2008 ontslagen. Haar maandsalaris was toen .
De rechter gebruikt de kantonrechtersformule en besluit dat in haar geval geldt: .
Bereken haar ontslagvergoeding.
Per 1 januari 2009 is de kantonrechtersformule aangepast. In de nieuwe formule wordt de factor (het aantal gewogen dienstjaren) als volgt berekend:
dienstjaren tot de leeftijd van tellen voor ;
dienstjaren van tot tellen voor ;
dienstjaren van tot tellen voor ;
dienstjaren vanaf tellen voor .
We gaan er in deze opgave van uit dat de aanpassing geen gevolgen heeft voor de factoren
en .
Voor een zekere werknemer, die ontslagen wordt na een dienstverband van precies jaar, geldt volgens de oude regeling:
. Uitgaande van bedraagt zijn ontslagvergoeding volgens de kantonrechtersformule .
Bereken hoeveel procent lager zijn ontslagvergoeding zou zijn als hij onder de nieuwe regeling zou vallen. Ga hierbij weer uit van .
Voor veel mensen pakt de nieuwe regeling ongunstiger uit dan de oude.
Onderzoek of er een situatie mogelijk is waarbij een werknemer erop vooruit gaat door de nieuwe regeling.
De Zwartkruisformule
In de tijd vóór de kantonrechtersformule gebruikte men voor ontslagvergoedingen vaak
de zogenoemde Zwartkruisformule, genoemd naar de bedenker hiervan, mr. P. Zwartkruis.
Deze formule ziet er als volgt uit:
Hierbij geldt:
is de ontslagvergoeding: dat is het aantal te betalen maandsalarissen. hoeft niet een geheel getal te zijn;
is de Leeftijdsfactor, waarbij geldt: . Met leeftijd wordt bedoeld de leeftijd op het moment van ontslag (in gehele jaren).
is de Diensttijd in jaren; hierbij gelden geen weegfactoren zoals bij de kantonrechtersformule;
is het Functieniveau op een schaal van tot en met . Hierbij staat voor ongeschoolde arbeid en voor een topfunctie;
is de Herplaatsbaarheidsfactor op een schaal van tot en met , afhankelijk van de leeftijd. Onder de jaar geldt , voor jaar geldt , voor jaar geldt , voor jaar geldt en voor jaar en ouder geldt ;
is maximaal .
Om een indruk te krijgen hoe de Zwartkruisformule werkt, bekijken we voor een topbestuurder () hoe toeneemt als hij op wordt. Hij is op zijn in dienst gekomen. Zie de tabel.
De waarden van voor de ontslagleeftijden van en jaar ontbreken nog in deze tabel.
Bereken deze waarden.
Voor de waarden van van tot en met kun je een formule opstellen voor de ontslagvergoeding , uitgedrukt in .
Dat kan door in de formule de variabelen en uit te drukken in de leeftijd , en de formule daarna te herleiden tot de vorm .
Bereken de waarden van , en .
naar 2014-I pilot vwoAPeter is van plan binnenkort een andere auto aan te schaffen. Hij heeft zijn keuze laten vallen op een Volvo V70 uit 2015, maar twijfelt tussen twee uitvoeringen van deze auto, de Nordic en de Nomadic. Zie de tabel hieronder.
De Nordic rijdt op benzine, terwijl de Nomadic op diesel rijdt. Het voordeel van een auto die op diesel rijdt, is dat die auto een stuk zuiniger is: niet alleen kan een dieselauto meer kilometers per liter brandstof rijden, diesel is ook nog eens een stuk goedkoper dan benzine. Zie de figuur.
In de figuur is duidelijk te zien dat de prijzen voor brandstof sinds 2012 redelijk stabiel zijn. Op het moment dat Peter over zijn auto-aanschaf nadenkt, is de verwachting dat dit in de toekomst zo zal blijven. Het nadeel van auto’s op diesel is dat de wegenbelasting voor deze auto’s veel hoger is dan die voor auto’s die op benzine rijden. Zie de tabel.
Peter gaat ervan uit dat de overige kosten, zoals verzekering en onderhoud, bij beide
uitvoeringen
gelijk zullen zijn. Peter houdt in de vergelijking geen rekening met het eventuele
verschil in
aanschafkosten tussen beide uitvoeringen.
Omdat rijden op diesel voordeliger is dan rijden op benzine, zal de dieseluitvoering
vanaf een
bepaald aantal kilometers per jaar voordeliger zijn dan de benzine-uitvoering.
Onderzoek met behulp van de gegevens vanaf welk aantal kilometers per jaar de dieseluitvoering voordeliger zal zijn dan de benzine-uitvoering. Rond je antwoord af op honderden kilometers.
naar 2017-I pilot vwoADe buitenkant van je lichaam is je lichaamsoppervlak. Gegevens over iemands lichaamsoppervlak worden bijvoorbeeld gebruikt voor risico-analyse bij bestrijdingsmiddelen. De schadelijke stoffen hierin kunnen via de huid in het lichaam worden opgenomen. In een rapport van het RIVM (Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu) is een tabel te vinden waarin onder andere de lichaamsoppervlakte is af te lezen. Een gedeelte van deze tabel is hieronder weergegeven.
Bij jonge kinderen is het hoofd ten opzichte van de rest van het lichaam relatief
groot. Als kinderen ouder worden, groeien de armen en handen en de benen en voeten
sneller dan de rest van het lichaam.
Het aandeel van armen en handen in de lichaamsoppervlakte is voor kinderen in de periode
van jaar tot jaar gestegen van naar . Ook het aandeel van de benen en voeten is in die jaar groter geworden.
Onderzoek of de relatieve toename van het aandeel van armen en handen groter is dan de relatieve toename van het aandeel van benen en voeten.
Er zijn ook formules waarmee we de lichaamsoppervlakte kunnen berekenen. Voor volwassen
vrouwen is de volgende formule de meest gebruikte formule:
(formule van Dubois).
In deze formule is
de lichaamsoppervlakte in m2, de lichaamslengte in cm en het lichaamsgewicht in kg.
Als een lichaam groter wordt, dan zal de lichaamsoppervlakte ook groter worden. Kunnen we dit ook zien aan de formule van Dubois? Hoe zit het bijvoorbeeld als alle lengtematen (lengte, breedte, hoogte) van een lichaam keer zo groot worden? Bij een kubus wordt in dat geval de oppervlakte keer en het volume keer zo groot. Wordt de uitkomst van de formule van Dubois dan ook keer zo groot?
Hiertoe vergelijken we met . We gaan er hierbij van uit dat het lichaamsgewicht () evenredig is met het volume.
Toon met behulp van deze formules (zonder getallenvoorbeelden) aan dat de formule van Dubois inderdaad bij verdubbeling van lengtematen een verviervoudiging van de lichaamsoppervlakte oplevert.
naar 2013-I pilot vwoAEen deel van de bossen in Nederland is bestemd voor de
houtindustrie. Voordat een bos wordt gekapt, onderzoekt men
meestal eerst hoeveel m3 hout het bos op zal leveren. Dit
gebeurt aan de hand van de diameter en de hoogte van
bomen. De diameter van een boom wordt gemeten op een
vaste hoogte.
Voor het bepalen van de hoeveelheid hout in één boom wordt
gebruik gemaakt van de volgende formule:
met diameter en hoogte beide in meter.
In deze vorm is het volume aan hout in de boom in m3. De factor heet de vormfactor. De vormfactor is een getal dat afhangt van de soort boom en de diameter van de boom.
Een voorbeeld van een boom die gebruikt wordt in de
houtindustrie is de grove den (Pinus sylvestris). Zie de figuur.
Voor de grove den wordt het verband tussen de vormfactor
en de diameter (in m) bij benadering gegeven door de
volgende formule:
In een bos staat een grove den met een diameter van m.
Bereken hoeveel procent de vormfactor van deze boom afneemt als de diameter van deze boom met toeneemt.
De grootste bekende diameter van een grove den is m. Naarmate de diameter van een grove den groter is, is de hoogte ook groter. Voor
de grove den geldt bij benadering het volgende verband tussen de hoogte en de diameter :
Ook hier is de diameter in meter en de hoogte in meter. Een grove den van m hoog wordt gekapt.
Bereken hoeveel hout deze grove den volgens de formules bevat.
Bereken diameter en vormfactor .
Op basis van de formule en de formule kan de formule worden geschreven als .
Hierin zijn , en constanten.
Toon aan dat inderdaad geschreven kan worden als en bereken , en in twee decimalen nauwkeurig.
Vul in , voor en voor en herleid/vereenvoudig.
Een bos met grove dennen moet worden gekapt. Alvorens tot de kap over te gaan wordt eerst een schatting gemaakt van de houtopbrengst. Hiertoe worden de diameters van de bomen opgemeten en ingedeeld in klassen van verschillende grootte. Zie de tabel.
Maak met behulp van de eerste twee kolommen van de tabel een schatting van de gemiddelde diameter.
Het klassenmidden van .
Als het in de winter door de wind bijzonder koud aanvoelt, vermeldt het KNMI behalve
de werkelijke temperatuur ook de gevoelstemperatuur. Sinds de winter van 2009/2010
hanteert het KNMI een nieuwe methode om de gevoelstemperatuur weer te geven. Deze
methode is door de Joint Action Group on Temperature Indices (JAG/TI) ontwikkeld.
De formule voor de gevoelstemperatuur in °C op basis van de JAG/TI-methode luidt:
.
Hierbij is de werkelijke temperatuur in °C en de gemiddelde windsnelheid in km/uur.
In Nederland begonnen de eerste dagen van 2010 met erg lage temperaturen. In de journaaluitzending
van 7 januari werd gezegd dat het de dag erna °C zou worden, maar dat het door de snijdende wind veel kouder zou aanvoelen en dat
de gevoelstemperatuur °C zou bedragen.
Bereken met behulp van de formule welke gemiddelde windsnelheid op 8 januari verwacht werd.
We nemen aan dat het bij toenemende windsnelheid kouder aan gaat voelen; de formule van de JAG/TI-methode is ook zo opgesteld. De formule is ontwikkeld voor temperaturen tussen °C en °C en voor een gemiddelde windsnelheid tussen km/uur en km/uur.
Bereken met deze gegevens de laagste en de hoogste gevoelstemperatuur die de formule kan geven.
TNO heeft onderzoek gedaan naar het verband tussen de gevoelstemperatuur en de maximale
blootstellingsduur, dat is de tijd die bij een bepaalde gevoelstemperatuur buiten
met blote vingers gewerkt kan worden.
Hieronder staan vier grafieken van het verband tussen de gevoelstemperatuur (in °C) en de maximale blootstellingsduur (in minuten) weergegeven. Eén hiervan is de juiste.
Uit het onderzoek is gebleken dat bij een dalende gevoelstemperatuur de maximale blootstellingsduur steeds langzamer afneemt.
Welke grafiek geeft op de juiste manier het verband tussen en weer? Licht je antwoord toe.
naar 2012-II vwoCDe woorden die je begrijpt of kunt gebruiken, vormen samen je woordenschat. Hoe groter
je woordenschat is, des te beter kun je teksten lezen, teksten begrijpen en je mondeling
en schriftelijk in een taal uitdrukken.
In deze opgave beperken we ons tot mensen die opgroeien met de Nederlandse taal als
moedertaal.
De woordenschat van een kind groeit bijna onmerkbaar door luisteren, spreken en lezen.
In Nederland heeft een kind als het de leeftijd van jaar bereikt een woordenschat van gemiddeld woorden. Tot de verjaardag groeit dit tot gemiddeld woorden.
In onderstaande figuur is dit grafisch weergegeven. De figuur staat ook op het werkblad.
Uit de figuur blijkt dat de gemiddelde woordenschat van de tot de verjaardag sneller groeit dan van de tot de verjaardag.
Bereken met hoeveel woorden per jaar de gemiddelde woordenschat van een kind meer groeit van de tot de verjaardag dan van de tot de verjaardag. Je kunt hierbij gebruik maken van de figuur op het werkblad.
We gaan uit van een woordenschat van gemiddeld op de verjaardag. Na de verjaardag gaat de woordenschat onder jongeren behoorlijk variëren: Bij het bereiken
van de leeftijd van jaar varieert deze van tot .
Bij sommige jongeren spreken we van een hoge woordenschat. Bij hen groeit de woordenschat exponentieel tot gemiddeld wanneer de leeftijd van
jaar bereikt wordt. Hiervoor is de volgende formule opgesteld:
.
Hierbij is de tijd in jaren met op de verjaardag.
In deze formule is de jaarlijkse groeifactor afgerond op twee decimalen.
Bereken deze groeifactor in drie decimalen nauwkeurig.
Bij andere jongeren spreken we van een lage woordenschat. Bij deze jongeren groeit de woordenschat lineair tot gemiddeld op hun verjaardag. Hiervoor geldt de volgende formule:
.
Hierbij is de tijd in jaren met op de verjaardag.
Ga ook hierbij uit van een woordenschat van op de verjaardag.
Met behulp van de formule kan de woordenschat die jongeren met een lage woordenschat op hun verjaardag hebben, berekend worden. Vervolgens kan met behulp van de formule worden berekend hoeveel maanden eerder jongeren met een hoge woordenschat deze zelfde woordenschat zullen hebben.
Bereken dit aantal maanden.
naar 2012-II pilot vwoABij proefwerken wordt het cijfer berekend op basis van een behaald aantal punten.
Hiervoor bestaan verschillende methoden. Een methode is met behulp van tabellen, waaruit
een proefwerkcijfer snel afgelezen kan worden. Op het werkblad zie je twee van dergelijke
tabellen. Beide tabellen zijn niet helemaal volledig.
In de bovenste rij van beide tabellen staat het maximum aantal punten dat voor het
proefwerk behaald kan worden. In de eerste kolom staat het aantal behaalde punten.
Wanneer een leerling bijvoorbeeld punten heeft voor een proefwerk waarin hij maximaal punten kan behalen, krijgt hij volgens tabel 2 het cijfer .
Chris heeft twee proefwerken gemaakt en voor beide proefwerken hetzelfde cijfer gekregen.
Voor het eerste proefwerk kon hij maximaal punten behalen; hij behaalde er . Voor het tweede proefwerk was het maximale aantal punten .
Hoeveel punten heeft Chris voor het tweede proefwerk behaald? Maak hiervoor gebruik van de tabellen op het werkblad. Licht je antwoord toe.
De berekening van de proefwerkcijfers in deze tabellen gaat als volgt:
bij het behalen van punten is het cijfer gelijk aan ;
bij het behalen van het maximale aantal punten is het cijfer gelijk aan ;
het cijfer neemt lineair toe met het aantal behaalde punten;
daarna wordt het cijfer afgerond op één decimaal.
In tabel 1 op het werkblad ontbreekt in de laatste kolom één proefwerkcijfer.
Bereken dit proefwerkcijfer volgens de hierboven beschreven methode.
Bij vierkeuzevragen, waarbij steeds precies één van de vier antwoorden goed is, gaat
het anders. Een leerling die geen enkel antwoord weet, zal naar verwachting een kwart
van de vragen goed gokken. De berekening houdt daar rekening mee door ervan uit te
gaan dat een kwart van de vragen goed beantwoord wordt. De overige antwoorden tellen
mee voor de score. Daarbij wordt de methode van vraag b gebruikt. Bij minder dan een kwart van de antwoorden goed wordt het cijfer toegekend.
Wanneer een leerling van de vierkeuzevragen er goed heeft, gaat het als volgt: goede antwoorden (een kwart van de ) worden weggelaten. Van de overgebleven vragen heeft de leerling er goed en dat levert volgens de hierboven genoemde procedure het cijfer op.
Annette heeft een proefwerk gemaakt van vierkeuzevragen.
Bereken hoeveel antwoorden Annette goed moet hebben om een te krijgen.
Bereken eerst het aantal goede antwoorden dat niet mee telt.
Op het werkblad is een assenstelsel getekend. Langs de horizontale as staat het aantal goed beantwoorde vragen weergegeven dat hoort bij een proefwerk van vierkeuzevragen. Langs de verticale as staat het proefwerkcijfer vermeld.
Teken de grafiek die bij deze situatie hoort.
Er zijn ook proefwerken met meerkeuzevragen, waarbij niet alle vragen hetzelfde aantal antwoordmogelijkheden hebben. Het cijfer voor zulke proefwerken kan op een vergelijkbare manier worden berekend.
Eerst wordt bepaald hoeveel antwoorden naar verwachting goed gegokt zijn. Deze antwoorden tellen niet mee voor de berekening.
Met de juiste antwoorden die wel meetellen, wordt vervolgens met de methode van vraag b het cijfer bepaald.
We gaan uit van een proefwerk met driekeuzevragen en vierkeuzevragen. We kunnen een formule opstellen om het cijfer te berekenen aan de hand van het aantal goed beantwoorde vragen . Deze formule heeft vanaf een bepaalde waarde van de vorm met .
Bereken vanaf welke waarde van de formule deze vorm heeft en bereken de waarden van en in twee decimalen nauwkeurig.
naar 2015-II vwoCIn de archeologie gebruikt men de C14-methode bij het vaststellen van de historische leeftijd (ouderdom) van bepaalde vondsten. Deze methode werd in 1949 ontwikkeld door de Amerikaanse scheikundige Libby, die hiervoor de Nobelprijs gekregen heeft. Volgens de theorie neemt de radioactiviteit van dood organisch materiaal exponentieel af en daarom kun je door de radioactiviteit te meten bepalen hoe oud een voorwerp is. De figuur hieronder komt uit een artikel van Libby uit 1949. Libby testte de C14-methode door deze te gebruiken op zes verschillende voorwerpen waarvan de historische leeftijd op een andere manier bekend was.
Langs de verticale as staat de gemeten radioactiviteit in cpm (counts per minute) per gram materiaal. Dit is een maat voor de hoeveelheid C14. Langs de horizontale as staat de historisch leeftijd van het voorwerp in jaren. Volgens de theorie neemt de gemeten radioactiviteit exponentieel af. De grafiek gaat door de punten en . Hiermee kan men de groeifactor berekenen.
Bereken met deze punten de groeifactor per jaar in decimalen nauwkeurig.
Voor het vervolg van de opgave gaan we uit van de formule:
.
Hierin is de gemeten radioactiviteit van het voorwerp in cpm per gram en is de historische leeftijd volgens de C14-methode van het voorwerp in jaren.
De punten in de figuur stellen de metingen aan de voorwerpen voor. Het punt "Ptolemy"
hoort bij een stuk hout van een doodskist van een Egyptische mummie. Deskundigen schatten
dat deze doodskist uit ongeveer jaar voor Chr. dateert. Voor dit hout werd in 1949 een radioactiviteit van cpm per gram gemeten.
Bereken het verschil tussen de historische leeftijd volgens de C14-methode en de schatting van de deskundigen.
naar 2013-II vwoCDe formules voor het basisenergieverbruik, de energie die iemand per dag nodig heeft voor alle activiteiten van een lichaam in rust, zoals hartwerking, ademhaling, enzovoort, staan in tabel 1. In deze formules is het basisenergieverbruik in kcal (kilocalorieën) per dag en het lichaamsgewicht van de persoon in kg.
Er gelden verschillende formules voor jongvolwassen en voor oudere personen. We vragen ons af welke van deze twee groepen het laagste basisenergieverbruik heeft. Dit hangt volgens de formules in tabel 1 af van het lichaamsgewicht van een persoon.
Onderzoek bij welke lichaamsgewichten tussen en kg de jongvolwassenen een lager basisenergieverbruik hebben dan de ouderen.
Als iemand sport, is de totale energie die hij of zij nodig heeft groter dan het basisenergieverbruik.
De formule voor de totale energie per dag is
. Hierbij is het basisenergieverbruik per dag en het energieverbruik voor het sporten per dag zoals fietsen, zwemmen en hardlopen.
In tabel 2 staat het energieverbruik in kcal per kg lichaamsgewicht per uur bij fietsen
bij een aantal snelheden. Neem aan dat het energieverbruik tussen de aangegeven snelheden
in lineair verloopt.
Frits is jaar en weegt kg. Hij doet mee aan de fietselfstedentocht in Friesland, een tocht waarbij op één dag km gefietst wordt. We nemen aan dat hij de hele tocht rijdt met een snelheid van km/uur.
Bereken het totale energieverbruik van Frits op deze dag.
Bij een hogere snelheid wordt per uur een grotere afstand afgelegd. Je kunt voor elke snelheid die in tabel 2 vermeld wordt, het energieverbruik per kg lichaamsgewicht bij het fietsen per afgelegde kilometer berekenen. Alex beweert dat dit voor elke snelheid gelijk is. Bert zegt dat dit hoger is bij hogere snelheden en Carolien beweert dat dit lager is bij hogere snelheden. Eén van deze drie personen heeft gelijk.
Onderzoek met behulp van tabel 2 wie van de drie gelijk heeft.
Bij een duatlon wordt er gefietst en hardgelopen. Er zijn verschillende afstanden
mogelijk voor de twee onderdelen. Zo bestaat de Powermanduatlon uit km fietsen en km hardlopen. De Zwitserse duatlon echter, gaat over km fietsen en km hardlopen.
Je zou een duatlon kunnen samenstellen waarbij voor elk onderdeel het energieverbruik
voor het sporten even groot is. We gaan daarbij uit van een atleet die met een dusdanige
snelheid hardloopt, dat zijn energieverbruik kcal per afgelegde kilometer is. De atleet fietst met een snelheid waarbij hij kcal per km verbruikt. De genoemde waarden voor het energieverbruik gelden steeds
per kg lichaamsgewicht.
Bereken de afstanden voor het fietsen en het hardlopen in een duatlon van in totaal km waarbij het energieverbruik van deze atleet voor elk onderdeel steeds even groot is.
naar 2016-I vwoCCarmen gaat cupcakes bakken. Zij gebruikt daarvoor de onderstaande ingrediënten:
Carmen heeft gram suiker in huis en van alle andere ingrediënten heeft ze ruim voldoende. Ze wil zo veel mogelijk cupcakes bakken.
Bereken hoeveel cupcakes Carmen maximaal kan bakken.
Volgens het recept moeten de cupcakes minuten gebakken worden op een temperatuur van °C. Carmen weet dat cupcakes gaar zijn als de kerntemperatuur van de cupcakes °C is.
Carmen veronderstelt daarom dat de kerntemperatuur van cupcakes in minuten van kamertemperatuur (°C) stijgt naar °C. Als deze toename exponentieel verloopt, dan hoort daar de volgende formule bij:
, met de kerntemperatuur en de tijd in minuten. Hierbij is het tijdstip waarop de cupcakes de oven ingaan.
De groeifactor in de formule is afgerond op drie decimalen.
Bereken de waarde van deze groeifactor in vijf decimalen nauwkeurig.
Bereken eerst de groeifactor per minuten.
Carmen vraagt zich af of ze ook had kunnen aannemen dat de kerntemperatuur lineair stijgt. Ze wil onderzoeken welk model het beste past: het lineaire of het eerder gebruikte exponentiële model. Daartoe meet Carmen na minuten de kerntemperatuur van haar cupcakes. Deze blijkt °C te zijn.
Onderzoek of het lineaire of het exponentiële model het beste past bij deze waarneming.
naar 2018-II vwoCOp de foto zie je een stad van keramiek, foto gemaakt door de kunstenares Elly van
de Merwe.
De huisjes zijn gemaakt van kleiplaten en twee keer gebakken.
Om kapotspringen van het werk te voorkomen, moet de temperatuur bij de eerste keer
bakken heel precies geregeld worden. Dit is goed mogelijk in een elektrische oven,
die met een computer bestuurd wordt. In onderstaande figuur zie je een grafiek van
de temperatuur tijdens het bakproces.
Het bakproces bestaat uit vier fasen:
de oven gaat aan en men laat de temperatuur in uur en minuten met een constante stijging van °C naar °C oplopen;
in de volgende uur houdt men een constante stijging aan van °C tot de maximale temperatuur °C;
men laat nu de oven afkoelen tot °C met een constante daling van °C per uur (de oven is nog aan);
bij °C zet men de oven uit en de temperatuur daalt nu volgens een afnemend dalende grafiek.
Onderzoek of de gemiddelde temperatuurstijging in fase 2 meer dan twee keer zo groot is als in fase 1.
Bij het begin van fase 4 wordt de oven uitgezet. Vanaf dat moment neemt het verschil tussen de oventemperatuur en omgevingstemperatuur bij benadering exponentieel af. Zie de tabel. Hierbij is uitgegaan van een constante omgevingstemperatuur van °C.
Omdat het verschil tussen oven- en omgevingstemperatuur, dus , bij benadering exponentieel afneemt, kan dit verschil tijdens fase 4 worden beschreven
met de formule:
.
Hierin is het verschil tussen oven- en omgevingstemperatuur in °C en de tijd in uren na het uitzetten van de oven.
Bereken met behulp van deze formule hoeveel minuten na het uitzetten van de oven deze is afgekoeld tot °C.
Nadat de huisjes uit de oven zijn gehaald, wordt er een laagje glazuur op aangebracht.
Hierna worden ze een tweede keer gebakken in een speciale oven die buiten staat, een
zogenoemde Raku oven. Na het opwarmen tot °C worden de huisjes met een tang uit de oven gehaald. Doordat ze in de buitenlucht
snel afkoelen, ontstaan er barstjes in het glazuur. Zie de foto bij het begin van
de opgave.
Voor een bepaald huisje geldt tijdens het afkoelingsproces de volgende formule:
.
Hierin is de temperatuur van het huisje in °C en de tijd in minuten nadat het uit de oven is gehaald.
Leg met behulp van een schets van de grafiek van uit of het huisje vanaf het moment dat het uit de oven wordt gehaald steeds sneller of steeds minder snel zal afkoelen.
naar 2014-I vwoCWilde zwijnen komen in Nederland onder andere op de Veluwe voor. Over het gewenste
aantal wilde zwijnen op de Veluwe bestaat al geruime tijd verschil van mening. Als
er veel wilde zwijnen zijn, veroorzaken zij overlast en schade aan gewassen. Als er
weinig wilde zwijnen zijn, komt het voortbestaan van deze diersoort in gevaar.
Volgens de Faunabeheereenheid Veluwe is er op de Veluwe plaats en voedsel voor wilde zwijnen. Dit streefgetal is door de minister van Landbouw overgenomen. Jagers
krijgen daarom jaarlijks toestemming om een bepaald aantal wilde zwijnen af te schieten.
In 2008 was dit aantal af te schieten wilde zwijnen .
Bereken hoeveel procent wilde zwijnen er toen te veel waren.
Tot de niet-natuurlijke vijanden van het wilde zwijn behoren naast jagers ook auto’s. In de tabel zie je het aantal aangereden wilde zwijnen op de Veluwe in de periode 2005-2007. Dit aantal groeit bij benadering exponentieel.
Indien we veronderstellen dat de groei zich na 2007 op deze wijze blijft voortzetten, kunnen we een formule opstellen die het aantal aangereden wilde zwijnen uitdrukt in de tijd met in jaren en in 2005.
Stel deze formule op en bereken met deze formule in welk jaar er voor het eerst meer dan wilde zwijnen aangereden worden.
Dieren overleven een aanrijding meestal niet; automobilisten komen er vaak van af
met alleen materiële schade. Deze materiële schade varieert van geval tot geval en
is afhankelijk van een aantal factoren, waarvan het gewicht van het dier de voornaamste
is.
Op grond hiervan heeft een econoom de volgende formule opgesteld:
.
Hierbij is het gewicht van het dier in kg en de materiële schade in euro’s.
Volwassen mannelijke wilde zwijnen zijn veel zwaarder dan volwassen vrouwtjes. Ga
voor de volgende vraag ervan uit dat een volwassen mannelijk wild zwijn kg weegt en dat een volwassen vrouwtje kg weegt. Neem aan dat er twee maal zoveel mannetjes als vrouwtjes worden aangereden.
Bereken de gemiddelde materiële schade van een aanrijding van een volwassen wild zwijn. Rond je antwoord af op tientallen euro’s.
De formule kan worden herschreven tot een formule van de vorm .
Bereken en in twee decimalen nauwkeurig.
naar 2012-I vwoCIn een krant stond eind 2013 bij een artikel over de toekomst van windenergie de onderstaande figuur. In de figuur wordt de kostprijs voor het produceren van windenergie vergeleken met de kosten voor het produceren van energie in een traditionele kolencentrale (de marktprijs).
De grafieken zijn gebaseerd op een model van de werkelijkheid. Met behulp van dit
model is het mogelijk om op ieder willekeurig tijdstip de kostprijs van energie uit
te rekenen.
De formule voor de marktprijs luidt:
.
De formule voor de kostprijs van windenergie van windmolens op land luidt:
.
Voor beide formules geldt: is de prijs in cent per kWh (kilowattuur) en is de tijd in jaren met op 1 januari 2009.
We nemen in deze opgave aan dat de prijzen zich ook na 2020 volgens deze lineaire
verbanden blijven ontwikkelen.
Door de duurdere windmolens op zee is de kostprijs van windenergie van die windmolens
op dit moment nog steeds hoger dan die van windmolens op land. Maar door de voortdurende
innovaties gaat dat veranderen.
Stel met behulp van de figuur een formule op voor de kostprijs van windenergie van windmolens op zee en bereken daarmee in welk jaar de windenergie van land en die van zee evenveel kosten.
Rond 2011 was de kostprijs van windenergie van windmolens op land nog tweemaal zo hoog als de marktprijs.
Bereken in welk jaar de marktprijs tweemaal zo hoog zal zijn als de kostprijs van windenergie van windmolens op land.
In de provincie Flevoland staan veel windmolens en er zijn daar veel huishoudens die voorzien worden van windenergie van windmolens op land. Er wordt in deze provincie daarom vaak gebruikgemaakt van de gemiddelde prijs van windenergie en 'traditionele' energie, dus het gemiddelde van en . Voor deze gemiddelde prijs kan een formule worden opgesteld van de vorm .
Bereken en in twee decimalen nauwkeurig.
In 2013 werd door alle windmolens op zee in totaal gemiddeld kWh per uur opgewekt. De windmolens zijn per dag maar gemiddeld uur in bedrijf.
Neem aan dat een huishouden in Nederland jaarlijks ongeveer kWh verbruikt.
Bereken hoeveel huishoudens in Nederland er geheel 2013 van energie konden worden voorzien met energie van windmolens op zee. Rond je antwoord af op honderdtallen.
In 2013 was de totale productie van energie door alle windmolens (op land en op zee) in Nederland gelijk aan miljard kWh. Hiermee kon in van de landelijke energiebehoefte worden voorzien. Er werd toen voorspeld dat tien jaar later windmolens, met een totale energieproductie van miljard kWh, in van de landelijke energiebehoefte zouden voorzien.
Bereken met hoeveel procent de totale landelijke energiebehoefte volgens deze voorspelling tussen 2013 en 2023 zou toenemen. Rond je antwoord af op gehele procenten.
naar 2018-I vwoCIn 2010 heeft Chris van Turnhout onderzoek gedaan naar de ontwikkeling van de aantallen broedvogels in Nederland gedurende de periode 1990 − 2005. Hij onderzocht welke eigenschappen bepalen of een vogelsoort in aantal toeneemt (‘succesvogels’) of afneemt (‘pechvogels’).
Figuur 1 gaat over een ‘pechvogel’: de grutto. Langs de verticale as staan de aantallen
als percentage van het aantal grutto’s dat er in 1990 was. Figuur 1 staat ook vergroot
op het werkblad.
In 2004 waren er grutto’s. Met behulp van dit gegeven en gegevens uit figuur 1 kun je nu het aantal
grutto’s in 1994 berekenen.
Bereken het aantal grutto’s in 1994.
In de periode 1990 − 2005 nam het aantal kuifleeuweriken dramatisch af, zoals in figuur 2 goed te zien is.
In 2005 was er nog slechts over van het aantal in 1990. Ga ervan uit dat het aantal exponentieel afnam in deze periode.
Bereken de groeifactor per jaar voor de kuifleeuwerik. Ga uit van de gegevens van 1990 en 2005.
Uit het onderzoek is gebleken dat de plaats van het nest belangrijk is voor de mate
van succes van een vogelsoort. Een soort A die zijn nest in struiken maakt, groeit
exponentieel met groeifactor per jaar. En een soort B die in bomen nestelt, groeit exponentieel met groeifactor
per jaar.
Neem aan dat de aantallen van deze twee broedvogelsoorten op een bepaald moment gelijk
zijn.
Bereken na hoeveel gehele jaren het aantal vogels van soort A voor het eerst meer dan twee keer zo groot is als dat van soort B.
Een eigenschap die belangrijk is voor het succes van trekvogels is de datum van aankomst
in Nederland.
In figuur 3 zie je het verband tussen de groeifactor per jaar en de dag van aankomst
in Nederland. Deze dag is aangegeven met een dagnummer: dag is 2 februari, dag is 3 februari, enzovoort.
De onderzochte vogelsoorten zijn met punten aangegeven. In figuur 3 is de best passende
lijn bij deze punten getekend. Deze lijn geeft aan dat in het algemeen geldt: hoe later een soort
aankomt in Nederland, hoe kleiner de groeifactor van die soort.
Vergelijk drie denkbeeldige soorten die precies op de lijn van figuur 3 liggen. Soort
X komt op dag aan, soort Y op dag en soort Z op dag . Omdat ze steeds met dagen verschil aankomen, is het verschil in groeifactor ook constant: ze liggen immers
op een rechte lijn.
Aankomen op dag levert, zo is vast te stellen, een groeifactor van . En aankomen op dag levert een groeifactor van .
De vraag is of het verschil in halveringstijd (dat is de tijd die het duurt tot er nog van het aantal over is) bij deze drie soorten ook constant is.
Onderzoek door het berekenen van de halveringstijden van de soorten X, Y en Z of de halveringstijd ook met een vast aantal jaren afneemt.
naar 2015-I vwoCSinds enkele jaren is de handel in gloeilampen verboden. Het is de bedoeling dat iedereen
overstapt op spaarlampen of LED-lampen. In deze opgave houden we ons met gloei-, spaar-
en LED-lampen bezig.
Spaarlampen bestaan al sinds 1982, maar hebben nooit de populariteit van de gloeilamp
kunnen bedreigen. Toch is een gloeilamp op de lange termijn een stuk minder voordelig
dan een spaarlamp: de levensduur van een gloeilamp is veel korter dan die van een
spaarlamp én een gloeilamp gebruikt vijf keer zoveel energie als een spaarlamp om
dezelfde lichtsterkte te produceren.
Het energieverbruik per tijdseenheid van lampen (het wattage) wordt uitgedrukt in
watt (W). Er geldt dus dat een gloeilamp een vijf keer zo hoog wattage heeft als een
spaarlamp die evenveel licht geeft. Zie ook de tabel.
De prijs van elektriciteit is per kWh (kilowattuur). Dat wil zeggen dat het gebruik van kW (= W) gedurende uur kost. Bijvoorbeeld: een lamp met een wattage van W die drie uur brandt,
zal aan elektriciteit kosten.
De gebruikskosten van lampen bestaan uit de aanschafkosten en de kosten om ze te laten branden. Een spaarlamp van W zal tijdens zijn gehele levensduur van uur een stuk goedkoper zijn dan het gebruik van meerdere gloeilampen met dezelfde lichtsterkte die samen branduren hebben.
Bereken hoeveel goedkoper de spaarlamp is. Geef je antwoord in centen nauwkeurig.
Stella heeft een spaarlamp gekocht van W. Deze lamp kostte . Een gloeilamp van W, dus met dezelfde lichtsterkte, kost . De spaarlamp is al goedkoper bij een aantal branduren dat kleiner is dan de levensduur van één gloeilamp met dezelfde lichtsterkte.
Onderzoek na hoeveel branduren de gebruikskosten van de spaarlamp lager zijn dan die van één gloeilamp.
De laatste jaren is de LED-lamp steeds populairder aan het worden. Deze lampen zijn nóg zuiniger dan spaarlampen en gaan bovendien nog veel langer mee. In de grafiek is het verband getekend tussen het wattage van gloeilampen en het wattage van LED-lampen met dezelfde lichtsterkte.
Het is duidelijk dat een LED-lamp een veel lager wattage heeft dan een gloeilamp die dezelfde hoeveelheid licht geeft. Het verschil is zo groot dat je kunt inzien dat een LED-lamp een lager wattage heeft dan een spaarlamp die dezelfde hoeveelheid licht geeft.
Bereken hoeveel procent meer wattage een spaarlamp nodig heeft, vergeleken met een LED- lamp die dezelfde hoeveelheid licht geeft.
naar 2016-I vwoC