Het reuzenrad
Anneke gaat op de kermis in het reuzenrad. Als het rad op gang is gekomen, draait het met constante snelheid zijn rondjes. We volgen de hoogte van het ophangpunt van Annekes gondel boven de grond vanaf een zeker moment.
De tijd-hoogte-grafiek is een sinusoïde. De grafiek staat hieronder; de tijd $t$ is in seconden, de hoogte $A (t)$ in meters.

Bij welke hoogte daalt $A$ het snelst?

Hoelang duurt een volledige omwenteling?

Geef een formule van de hoogte $A (t)$ als functie van $t$ .

(hint)

Zie hoofdstuk 3: Sinus en co:

y = a + b \sin (c (x - d))

a

= evenwichtswaarde;

b

= amplitude;

c

\frac{2 π}{periode}

;

d

= punt waar de functie stijgend door de evenwichtsstand gaat.

Er zijn twaalf gondels op onderling gelijke afstand. Bas zit twee gondels achter Anneke. De hoogte van het ophangpunt van Bas op tijdstip $t$ noemen we $B (t)$ .

Hoe ontstaat de grafiek van $B$ uit die van $A$ ?
Teken de grafiek van $B$ in het rooster op het werkblad.

Bas is op tijdstip $t = 37$ even hoog als Anneke op een ander tijdstip. Op welk tijdstip was Anneke op dezelfde hoogte?

Bas is op tijdstip $t$ even hoog als Anneke op een ander tijdstip.
Vul in: $B (t) = A (......)$

Hoe moet je de formule van Anneke veranderen om de formule van Bas te krijgen?
Geef een formule van $B (t)$ .

Chrissy zit in de gondel precies aan de andere kant van het reuzenrad, gezien vanuit Anneke.

Hoe ontstaat de grafiek van $C$ uit die van $A$ ?
Teken de grafiek van $C$ in het rooster op het werkblad.

Schrijf $C (t)$ met behulp van $A (t)$ .

We bekijken de functies $y = ‐ 5 {(x - a)}^{2} + 180$ .
Hierin is $a$ een parameter: voor $a$ kunnen we allerlei waarden kiezen. Kiezen we bijvoorbeeld voor $a$ de waarde $2$ , dan krijgen we de functie $y = ‐ 5 {(x - 2)}^{2} + 180$ .

Kies voor $a$ enkele waarden en teken de bijbehorende grafieken op de GR. Welk window heb je genomen?

Bekijk de applet parameters_bij_een_bergparabool .
Wat gebeurt er met de grafiek als je de parameter $a$ groter maakt?

De grafiek is voor elke waarde van $a$ een bergparabool. Geef de coördinaten van de top van de parabool (uitgedrukt in $a$ ).

Hoe krijg je de grafiek van $y = ‐ 5 {(x - a)}^{2} + 180$ uit de grafiek van $y = ‐ 5 x^{2}$ ?

We bekijken de functies $y = ‐ 5 x^{2} + b$ . Hierin is $b$ een parameter.

Kies voor $b$ enkele waarden en teken de bijbehorende grafieken op de GR. Welk window heb je genomen?

Bekijk de applet parameters_bij_een_bergparabool .
Wat gebeurt er met de grafiek als je de parameter $b$ groter maakt?

De grafiek is voor elke waarde van $b$ een bergparabool.
Geef de coördinaten van de top van de parabool (uitgedrukt in $b$ ).

Hoe krijg je de grafiek van $y = ‐ 5 x^{2} + b$ uit de grafiek van $y = ‐ 5 x^{2}$ ?

We bekijken de functies $y = c \cdot x^{2} + 180$ . Hierin is $c$ een parameter met $c < 0$ .

Onderzoek met de applet parameters_bij_een_bergparabool wat er gebeurt met de grafiek als je de parameter $c$ laat afnemen.

De grafiek is voor elke waarde van $c < 0$ een bergparabool.
Geef de coördinaten van de top van de parabool.

Even ter herinnering:
De grafiek van $y = c \cdot {(x - a)}^{2} + b$ is een parabool met top $(a, b)$ .
De formule in deze vorm noemen we de topvorm van de parabool.
Voor $c < 0$ is het een bergparabool.
Voor $c > 0$ is het een dalparabool.

Hiernaast staat de grafiek van de functie $f (x) = \sqrt{x}$ en van een functie $g$ getekend. De grafiek van $g$ krijg je uit de grafiek van $f$ door deze horizontaal en verticaal te verschuiven.

Wat zijn deze verschuivingen?

De formule van $g$ is van de vorm $g (x) = a + \sqrt{x + b}$ voor zekere waarden van parameters $a$ en $b$ .

Hoe groot zijn de waarden van $a$ en $b$ ?
Controleer je antwoord door de grafiek van $g$ op je GR te tekenen.

Ook de grafiek van de functie $h (x) = 3 + \sqrt{x - 5}$ krijg je door de grafiek van $f$ te verschuiven.

Wat is het randpunt van de grafiek van $h$ ?
Wat zijn de verschuivingen?

Teken op de GR de grafiek van de functies $i (x) = 2 \sqrt{x}$ en
$j (x) = ‐ 2 \sqrt{x}$ .
Hoe krijg je de grafieken van deze twee functies uit de grafiek van $f (x) = \sqrt{x}$ ?

De grafiek van de functie $k$ in de figuur hiernaast krijg je uit de grafiek van $f$ door deze eerst met een factor ten opzichte van de $x$ -as te vermenigvuldigen en daarna zowel horizontaal als verticaal te verschuiven.

Wat is de factor en wat zijn de verschuivingen?

De formule van $k$ is van de vorm $k (x) = p + q \sqrt{x + r}$ voor zekere waarden van parameters $p$ , $q$ en $r$ .

Hoe groot zijn de waarden van $p$ , $q$ en $r$ ?
Controleer je antwoord door de grafiek van $k$ op je GR te tekenen.

Je kunt de grafiek van $k$ ook uit de grafiek van $f$ verkrijgen door éérst te verschuiven en daarna te vermenigvuldigen ten opzichte van de $x$ -as.

Welke verschuivingen zijn dat? En met welke factor moet er dan worden vermenigvuldigd?

Een drinkbak vullen
Een drinkbak voor het vee heeft de vorm van een driezijdig prisma. De boer vult de bak: met constante snelheid laat hij water in de bak stromen. Op tijdstip $0$ begint de boer met vullen; dan is de bak nog leeg. Na $1 \frac{1}{2}$ minuut is de drinkbak vol; dan staat het water $30$ cm hoog. De hoogte van de waterspiegel noemen we $h$ (in cm), de tijd noemen we $t$ (in s).
Hieronder staat de grafiek van $h$ als functie van $t$ .

In het begin loopt de grafiek erg steil en later loopt hij steeds vlakker.

Kun jij dat verklaren, gezien de vorm van de drinkbak?

De functie die de hoogte waterhoogte $h$ berekent op tijdstip $t$ noemen we $W$ .
Gegeven is de formule: $W (t) = \sqrt{10 t}$ met $0 \leq t \leq 90$ .

Bereken met de formule:
$W (25) = ......$ en $W (......) = 25$ .

De instroomsnelheid van het water wordt verdubbeld door de kraan verder open te draaien. We beginnen weer met een lege drinkbak op tijdstip $0$ .

Na hoeveel seconden is de bak nu vol?
Na hoeveel seconden staat het water nu $25$ cm hoog?

De functie die bij deze dubbele vulsnelheid de waterhoogte $h$ berekent op tijdstip $t$ noemen we $W_{2}$ .

Teken de grafiek van $W_{2}$ op het werkblad.

Vul in:
$W_{2} (20) = W (......) = ......$
$W_{2} (45) = W (......) = \sqrt{......}$
$W_{2} (30) = W (......) = \sqrt{......}$
Geef een formule: $W_{2} (t) = W (......) = \sqrt{......}$ .

We nemen nu de instroomsnelheid van het water half zo groot als in het eerste geval. Het vullen begint weer op tijdstip $0$ . De functie die bij deze halve vulsnelheid de waterhoogte $h$ berekent op tijdstip $t$ noemen we $W_{3}$ .

Teken de grafiek van $W_{3}$ op het werkblad.

Vul in:
$W_{3} (20) = W (......) = ......$
$W_{3} (45) = W (......) = \sqrt{......}$
$W_{3} (30) = W (......) = \sqrt{......}$
Geef een formule: $W_{3} (t) = W (......) = \sqrt{......}$ .

Deze drie grafieken zijn verwant aan elkaar. Ze ontstaan uit elkaar door horizontale vermenigvuldigingen (ten opzichte van de verticale as).

Wat is deze factor waarbij functie $W_{2}$ ontstaat uit $W$ ?
En wat is de factor waarbij functie $W_{3}$ ontstaat uit $W$ ?
En wat is de factor waarbij functie $W_{3}$ ontstaat uit $W_{2}$ ?

We bekijken de functies $y = \sqrt{c \cdot x}$ . Hierin is $c$ een parameter.

Kies voor $c$ enkele positieve waarden en teken de bijbehorende grafieken op de GR.

Wat gebeurt er met de grafiek als je de parameter $c$ groter maakt?

Kies voor $c$ enkele negatieve waarden en teken de bijbehorende grafieken op de GR.

Hoe liggen de grafieken ten opzichte van elkaar die horen bij twee tegengestelde waarden voor $c$ ?

We kijken nogmaals naar het reuzenrad met Anneke van opgave 1. Tijdens een speciaal uur, voor jongeren met lef, draait het reuzenrad op dubbele snelheid. Dirk durft dit wel.

Teken in de figuur op het werkblad de hoogte van de gondel van Dirk als het rad op dubbele snelheid draait.

Hoe krijg je de grafiek van $D$ uit de grafiek van $A$ ?

Vul in: $D (t) = A (......)$ .

Geef een formule voor de hoogte $D (t)$ van Dirk.

Het reuzenrad kan (voor ouderen) ook half zo snel als bij Anneke draaien. De hoogte noemen we dan $E (t)$ .

Vul in: $E (t) = A (......)$ .

Geef een formule voor de hoogte $E (t)$ .

Grafieken kun je verschuiven en vermenigvuldigen, horizontaal en verticaal. Dit noemen we transformaties.
Een ander woord voor verschuiving is translatie.
Als je een formule $f (x)$ van de oorspronkelijke grafiek hebt, kun je hiermee ook de formule $g (x)$ van de nieuwe grafiek maken.
Er zijn vier gevallen:

verticaal transleren (of verschuiven)
De grafiek van $f$ wordt $a$ naar boven geschoven.
Dan geldt $g (x) = f (x) + a$ .
horizontaal transleren (of verschuiven)
De grafiek van $f$ wordt $a$ naar rechts geschoven.
Dan geldt $g (x) = f (x - a)$ .
(Je vervangt dus in de formule van $f$ overal de variabele $x$ door $x - a$ .)
verticaal vermenigvuldigen (t.o.v. de $x$ -as)
De grafiek van $f$ wordt met factor $a$ vermenigvuldigd t.o.v. de $x$ -as.
Dan geldt $g (x) = a \cdot f (x)$ .
horizontaal vermenigvuldigen (t.o.v. de $y$ -as)
De grafiek van $f$ wordt met factor $a$ vermenigvuldigd t.o.v. de $y$ -as.
Dan geldt $g (x) = f (\frac{1}{a} \cdot x)$ .
(Je vervangt dus in de formule van $f$ overal de variabele $x$ door $\frac{1}{a} x$ .)

Deze vier transformaties kunnen ook gecombineerd en na elkaar uitgevoerd worden. De volgorde is daarbij vaak van belang.

Bekijk de functie $f (x) = x^{2}$ .
Als je de grafiek van $f$ met factor $3$ vermenigvuldigt ten opzichte van de $y$ -as krijg je de grafiek van functie $g$ .

Geef een formule voor $g$ en schrijf deze zonder haakjes.

Je kunt de grafiek van $g$ ook krijgen door de grafiek van $f$ te vermenigvuldigen ten opzichte van de $x$ -as met een bepaalde factor.

Wat is die factor?

Gegeven is de functie $h (x) = \sqrt{x}$ .

Vul in:
Door de grafiek van $h$ met factor $4$ ten opzichte van de $y$ -as te vermenigvuldigen, krijg je dezelfde grafiek als wanneer je de grafiek van $h$ met factor ______ ten opzichte van de $x$ -as vermenigvuldigt.

Hiernaast staat de grafiek van de functie $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - 2 x + 3$ getekend.

Bereken exact de coördinaten van de twee toppen van de grafiek van $f$ .

We schuiven de grafiek van $f$ nu 10 naar rechts.
De nieuwe grafiek hoort bij de functie $g$ .

Geef de coördinaten van de toppen van de grafiek van $g$ .

Vul in:
$g (13) = f (......) = ......$
$g (7) = f (......) = ......$
$g (x) = f (......) = ......$ (geef een formule, niet uitwerken)

We schuiven de oorspronkelijke grafiek van $f$ nu 5 omhoog.
De nieuwe grafiek hoort bij de functie $h$ .

Geef de coördinaten van de toppen van de grafiek van $h$ .

Vul in:
$h (3) = f (......) + ...... = ......$
$h (‐ 2) = f (......) + ...... = ......$
$h (x) = f (......) + ...... = ......$ (geef een formule)

We vermenigvuldigen de oorspronkelijke grafiek van $f$ met factor 2 ten opzichte van de $x$ -as. De nieuwe grafiek hoort bij de functie $i$ .

Geef de coördinaten van de toppen van de grafiek van $i$ .

Vul in:
$i (3) = ...... f (......) = ......$
$i (‐ 2) = ...... f (......) = ......$
$i (x) = ...... f (......) = ......$ (geef een formule)

We vermenigvuldigen de oorspronkelijke grafiek van $f$ met factor 2 ten opzichte van de $y$ -as. De nieuwe grafiek hoort bij de functie $j$ .

Geef de coördinaten van de toppen van de grafiek van $j$ .

Vul in:
$j (6) = f (......) = ......$
$j (‐ 4) = f (......) = ......$
$j (x) = f (......) = ......$ (geef een formule)

Het is oudjaar en zojuist is het vuurwerk losgebarsten. We volgen een vuurpijl op zijn baan door de lucht. Hieronder staat de grafiek van deze baan; de hoogte $h$ in meters, de tijd $t$ in seconden. Tijdstip $0$ is middernacht.

Lees uit de grafiek af hoe lang de vlucht duurt en hoe hoog de vuurpijl boven de grond komt.

De functie die voor deze vuurpijl de tijd $t$ omrekent in de hoogte $h$ noemen we $V_{1}$ .
Als machientje: $t \to$ [V₁] $\to$ $h$ .

Kies als invoer $t = 2$ . De bijbehorende uitvoer $V_{1} (2)$ is de hoogte van de vuurpijl als $t = 2$ .
Lees uit de grafiek af wat de waarde van $V_{1} (2)$ is.
Lees uit de grafiek af wat de waarde van $V_{1} (‐ 4)$ is.

De grafiek is een (berg)parabool.

Geef een formule van $V_{1} (t)$ (in de topvorm).

Bereken op welke tijdstippen de vuurpijl $135$ meter boven de grond is. Controleer je antwoord in de grafiek.

Een tweede vuurpijl van hetzelfde type wordt $4$ seconden later dan de eerste vuurpijl afgevuurd. De functie die bij deze tweede vuurpijl de tijd $t$ omrekent in de hoogte $h$ noemen we $V_{2}$ .

Teken op het werkblad de grafiek van $V_{2}$ en geef een formule voor $V_{2}$ (ook weer in de topvorm).

Je kunt de functie $V_{2}$ schrijven als een ketting met daarin $V_{1}$ :
$t \to$ [_____] $\to$ [V₁] $\to$ $h$ .

Welk machientje komt er op de open plek in de ketting?

Voor een derde vuurpijl van hetzelfde type wordt de hoogte $V_{3}$ als functie van de tijd $t$ gegeven door $V_{3} (t) = ‐ 5 t^{2} + 80 t - 140$ .

Hoeveel later dan de eerste vuurpijl is de derde vuurpijl afgeschoten?

(hint)

Schrijf de formule van

V_{3}

in de topvorm door kwadraatafsplitsen.

Domein en bereik

Hieronder staat de grafiek van een functie $f$ . De invoer noemen we $x$ , de bijbehorende uitvoer $f (x)$ . (Dus $y = f (x)$ .)

Lees zo mogelijk de waarden van $f (2)$ en $f (‐ 4)$ af.
Welke waarden $x$ kun je als invoer kiezen?

Lees zo mogelijk de waarde(n) van $x$ af, als $f (x) = 2$ .
Ook als $f (x) = ‐ 4$ .
Welke waarden treden als uitvoer op?

Bij welke uitvoerwaarden hoort maar één invoerwaarde?
Bij welke uitvoerwaarden horen twee invoerwaarden?

Teken de lijn $y = \frac{1}{2} x$ op het werkblad in het rooster met de grafiek van deze functie.

Lees af voor welke $x$ geldt: $f (x) = \frac{1}{2} x$ (dat wil zeggen dat de uitvoer $\frac{1}{2}$ maal de invoer is).

Lees af voor welke $x$ geldt: $f (x) = ‐ x$ (dat wil zeggen dat de uitvoer en invoer tegengesteld zijn).

Laat $f$ een functie zijn die aan een invoer een uitvoer koppelt.
$f (x)$ is de uitvoer die hoort bij invoer $x$ .
Vaak kun je niet elk getal als invoer kiezen en treedt niet elk getal als uitvoer op. De getallen die je als invoer kunt kiezen vormen het domein van de functie; de getallen die je als uitvoer kunt krijgen vormen het bereik van de functie.

Bij de functie van opgave 12 is:

$f (2) = 1 \frac{1}{2}$ en $f (1) = 2$ .
Voor de invoer $x$ geldt: $‐ 3 \leq x < 4$ , dus $[‐ 3, 4 〉$ is het domein.
Voor de uitvoer $f (x)$ ( $= y$ ) geldt: $\frac{1}{2} < f (x) \leq 3$ , dus $〈 \frac{1}{2}, 3]$ is het bereik.

Hieronder staat de grafiek van de functie $f (x) = 4 + 5 \sqrt{2 x + 9}$ .

Bereken exact $f (0)$ , $f (‐ 4)$ , $f (20)$ en $f (‐ 20)$ .

Wat is het domein van $f$ ?

Wat is het bereik van $f$ ?

De grafiek van $f$ wordt achtereenvolgens $2$ naar links geschoven, $1$ omhoog geschoven en daarna vermenigvuldigd ten opzichte van de $x$ -as met factor $‐ 2$ .
De nieuwe grafiek is de grafiek van de functie $g$ .

Wat is het domein van $g$ ?
Wat is het bereik van $g$ ?

We bekijken nu voor waarden van $a$ en $b$ de functie
$h (x) = a + 5 \sqrt{2 x + b}$ .
Het domein van $h$ is $[5, \to 〉$ en het bereik is $[‐ 3, \to 〉$ .

Wat zijn de waarden van $a$ en $b$ ?

Het punt $S (‐ 4 \frac{1}{2},4)$ is randpunt van de grafiek van $f$ .
De grafiek van $f$ wordt ten opzichte van de $x$ -as vermenigvuldigd met een factor $c$ .
Het punt $T$ is randpunt van de nieuwe grafiek.
Er geldt $O T = 7 \frac{1}{2}$ .

Bereken exact de mogelijke waarde(n) van $c$ .