$y=\frac{1}{2}{x}^2-2$

Het zijn allemaal dalparabolen; top $(a,\mathrm{‐}2)$

-

Door een horizontale verschuiving $a$ naar rechts.

$\frac{1}{2}{(x-7)}^2-2=0$ $\to$ ${(x-7)}^2=4$ $\to$ $x-7=\mathrm{‐}2$ of $x-7=2$
$\to$ $x=5$ of $x=9$, dus $(\mathrm{5,0})$ en $(\mathrm{9,0})$

$\frac{1}{2}{(x-a)}^2-2=0$ $\to$ ${(x-a)}^2=4$ $\to$ $x-a=\mathrm{‐}2$ of $x-a=2$
$\to$ $x=a-2$ of $x=a+2$, dus $(a-\mathrm{2,0})$ en $(a+\mathrm{2,0})$

$\frac{1}{2}{(\mathrm{‐}5-a)}^2-2=2\frac{1}{2}$ $\to$ ${(\mathrm{‐}5-a)}^2=9$ $\to$ $\mathrm{‐}5-a=\mathrm{‐}3$ of $\mathrm{‐}5-a=3$
$\to$ $a=\mathrm{‐}8$ of $a=\mathrm{‐}2$

$a=4$

De grafieken uit de bundel ontstaan door een verticale vermenigvuldiging (met factor $a$ t.o.v. de $x$-as) en daarna een verticale verschuiving $2$ omhoog.

-

De lijn $y=2$ is horizontale asymptoot van de grafieken;
de $y$-as is symmetrie-as van de grafieken;
de grafieken hebben één top, op de $y$-as.

$2+\frac{a}{1+1^2}=\mathrm{‐}3$ $\to$ $a=\mathrm{‐}10$

De top bij $x=0$ moet dan op de $x$-as liggen: $2+\frac{a}{1+0^2}=0$ $\to$ $a=\mathrm{‐}2$

$(\mathrm{1,}\mathrm{‐}3)$ invullen: $\mathrm{‐}3=b+\frac{a}{1+1^2}$ $\to$ $a=\mathrm{‐}2b-6$;
$(\mathrm{0,0})$ invullen: $0=b+\frac{a}{1+0^2}=b+a$ $\to$ $a=\mathrm{‐}b$
Dus: $\mathrm{‐}b=\mathrm{‐}2b-6$ $\to$ $b=\mathrm{‐}6$ $\to$ $a=6$

Probeer eerst een schets te maken: zie figuur hieronder.

De horizontale asymptoot zit bij $y=b$, dus $b=\mathrm{‐}1$;
De top is $(\mathrm{0,1})$; invullen geeft $a=2$

Uit de gegevens volgen: $R(\mathrm{‐}\mathrm{2,0})$, $S(\mathrm{2,0})$ en $T(\mathrm{0,4})$;
Deze punten invullen en combineren geeft $a=5$ en $b=\mathrm{‐}1$

-

$10=\mathrm{‐}2\cdot (\mathrm{‐}2-a)$ $\to$ $a=3$

De snijpunten met de $x$-as zitten bij $x=0$ en $x=a$, dus $a=5$

De symmetrieas zit midden tussen $x=0$ en $x=a$, dus bij $x=\frac{1}{2}a$
$\to$ $\frac{1}{2}a=\mathrm{‐}2$ $\to$ $a=\mathrm{‐}4$

Top bij $x=\frac{1}{2}a$, dus voor de top geldt $y=\frac{1}{2}a\cdot (\frac{1}{2}a-a)=\mathrm{‐}\frac{1}{4}{a}^2$;
$\mathrm{‐}\frac{1}{4}{a}^2=\mathrm{‐}9$ $\to$ $a=\mathrm{‐}6$ of $a=6$

$y=x(x-a)=x^2-ax$ $\to$ $y\text{'}=2x-a$; $y\text{'}(0)=\mathrm{‐}a$, dus $a=\mathrm{‐}3$

Hyperbolen; de asymptoten zijn de $x$-as en de $y$-as

$\mathrm{‐}5=\frac{a}{2}$ $\to$ $a=\mathrm{‐}10$

$\frac{6}{x}=x$ $\to$ $x^2=6$ $\to$ $x=\mathrm{‐}\sqrt{6}$ of $x=\sqrt{6}$;
Snijpunten: $(\mathrm{‐}\sqrt{6},\mathrm{‐}\sqrt{6})$ en $(\sqrt{6},\sqrt{6})$;
Afstand: $\sqrt{{(2\sqrt{6})}^2+{(2\sqrt{6})}^2}=\sqrt{48}$ ($=4\sqrt{3}$)

$\frac{a}{x}=x$ $\to$ $x^2=a$ $\to$ $x=\mathrm{‐}\sqrt{a}$ of $x=\sqrt{a}$
Snijpunten: $(\mathrm{‐}\sqrt{a},\mathrm{‐}\sqrt{a})$ en $(\sqrt{a},\sqrt{a})$;
Afstand: $\sqrt{{(2\sqrt{a})}^2+{(2\sqrt{a})}^2}=\sqrt{8a}$
$\sqrt{8a}=4$ $\to$ $8a=16$ $\to$ $a=2$

Rechte lijnen

$(\mathrm{2,3})$;
Als je voor $x$ de waarde $2$ neemt, dan valt in de formule het deel met de parameter $a$ weg. Dan komt er telkens $3$ uit.

Rechte lijnen;
Allemaal richtingscoëfficiënt $\mathrm{‐}1$ (dus evenwijdig).

$y=5-x$, dus $a=\mathrm{‐}1$ en $b=5$

De verticale lijn $x=2$

$x^2+4=4x+1$ $\to$ $x^2-4x+3=0$ $\to$ $(x-1)(x-3)=0$ $\to$ $x=1$ of $x=3$;
snijpunten: $(\mathrm{1,5})$ en $(\mathrm{3,13})$

$x^2+4=3x+1$ $\to$ $x^2-3x+3=0$ $\to$ $D={(\mathrm{‐}3)}^2-4\cdot 1\cdot 3=\mathrm{‐}3$
De discriminant is negatief, dus er zijn geen oplossingen.

De $y$-as zit niet in de lijnenwaaier.

$x^2+4=ax+1$ $\to$ $x^2-ax+3=0$ $\to$ $D=a^2-4\cdot 1\cdot 3=0$ $\to$ $a^2=12$ $\to$ $a=\mathrm{‐}\sqrt{12}$ of $a=\sqrt{12}$
Antwoord: $y=\mathrm{‐}\sqrt{12}\cdot x+1$ en $y=\sqrt{12}\cdot x+1$

Parabool: $y\text{'}=2x$; lijnenbundel: $y\text{'}=a$;
Dus in het raakpunt geldt $2x=a$ $\to$ $x=\frac{1}{2}a$;
Invullen in beide formules: ${(\frac{1}{2}a)}^2+4=a\cdot \frac{1}{2}a+1$ $\to$ $\frac{1}{4}{a}^2=3$ $\to$ $a^2=12$ $\to$ $a=\mathrm{‐}\sqrt{12}$ of $a=\sqrt{12}$
Antwoord: $y=\mathrm{‐}\sqrt{12}\cdot x+1$ en $y=\sqrt{12}\cdot x+1$

$(\mathrm{‐}\mathrm{2,}\mathrm{‐}3)$

Parabool: $y\text{'}=4x-2$;
Top: $4x-2=0$ $\to$ $x=\frac{1}{2}$, top $(\frac{1}{2}\mathrm{,2}\frac{1}{2})$;
$2\frac{1}{2}=a(\frac{1}{2}+2)-3$ $\to$ $2\frac{1}{2}a=5\frac{1}{2}$ $\to$ $a=\frac{11}{2}:\frac{5}{2}=\frac{11}{2}\cdot \frac{2}{5}=\frac{11}{5}=2\frac{1}{5}$

$2x^2-2x+3=a(x+2)-3$ $\to$ $2x^2-(2+a)x+6-2a=0$
$\to$ $D={(\mathrm{‐}2-a)}^2-4\cdot 2\cdot (6-2a)=0$ $\to$ $a^2+20a-44=0$ $\to$ $(a+22)(a-2)=0$ $\to$ $a=\mathrm{‐}22$ of $a=2$