7.3 Gebroken lineaire functies >

Hoofdstukken > Functies in samenhang

Na de klassikale uitleg is er van de wiskundeles nog $30$ minuten over. Dan werken de leerlingen zelfstandig aan de opgaven; de leraar helpt de leerlingen individueel. Hoeveel tijd hij gemiddeld per leerling kan besteden, hangt af van de grootte van de klas. Als de klas $24$ leerlingen telt, is dat $1 \frac{1}{4}$ minuut.

Hoeveel tijd heeft de leraar gemiddeld per leerling als de klas $18$ leerlingen telt?

Hoe groot is de klas als hij gemiddeld $2 \frac{1}{2}$ minuut per leerling beschikbaar heeft?

Het aantal leerlingen in de klas noemen we $L$ , de gemiddelde tijd die de leraar per leerling heeft, noemen we $T$ (in minuten).

Geef een formule voor $T$ als functie van $L$ en teken (op de GR) de bijbehorende grafiek (met $L$ op de horizontale as en $T$ op de verticale as).

Twee zusjes, Minie en Maxie, schelen nagenoeg $6$ jaar in leeftijd. Nu is Minie $1$ jaar en Maxie $7$ jaar. We bekijken steeds de verhouding Maxies leeftijd : Minies leeftijd.
Nu is die verhouding dus $7$ .

Wat is die verhouding over $1$ jaar? En over $2$ jaar? En over $5$ jaar?

Wat is die verhouding over $x$ jaar?

Bereken exact wanneer de verhouding $1 \frac{1}{2}$ is. En wanneer die $1,1$ is.

Teken de grafiek van de functie $y = \frac{x + 7}{x + 1}$ voor $x > 0$ .

Wat merk je op over de verhouding van de leeftijden als de zusjes "het eeuwige leven" zouden hebben?

De functie $y = \frac{x + 7}{x + 1}$ is een voorbeeld van een gebroken lineaire functie. Dat wil zeggen: de formule is een "breuk" (een quotiënt) waarbij de teller en de noemer lineaire (eerstegraads)functies zijn.

De algemene vorm van een gebroken lineaire functie is
$y = \frac{a x + b}{c x + d}$ .

Wat moet je voor de getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ nemen om de functie $y = \frac{x + 7}{x + 1}$ te krijgen?

De meest eenvoudige gebroken lineaire functie krijg je bij
$a = 0$ , $b = 1$ , $c = 1$ en $d = 0$ .

Geef een formule voor die functie.

Teken de grafiek van die functie. Neem ook negatieve getallen als invoer $x$ .

Bij de functie $y = \frac{1}{x}$ is de uitvoer $y$ het omgekeerde van de invoer $x$ .
Ter herinnering:

het omgekeerde van $3$ is $\frac{1}{3}$
het omgekeerde van $‐ \frac{2}{5}$ is $‐ \frac{5}{2} = ‐ 2 \frac{1}{2}$
het omgekeerde van $1 \frac{1}{3}$ is hetzelfde als het omgekeerde van $\frac{4}{3}$ , dus is $\frac{3}{4}$

Wat is het omgekeerde van $4$ , van $0,2$ , van $‐ 1$ , van $‐ 8$ , van $‐ \frac{3}{5}$ en van $2 \frac{1}{4}$ ?

Welk getal heeft geen omgekeerde?
Wat is dus het domein van de functie $y = \frac{1}{x}$ ?

Welk getal komt niet voor als omgekeerde van een getal?
Wat is dus het bereik van de functie $y = \frac{1}{x}$ ?

De grafiek van $y = \frac{1}{x}$ is de (standaard)hyperbool.
De $x$ -as is de horizontale asymptoot van de grafiek.
Dat wil zeggen dat de grafiek op den duur (voor steeds grotere waarden van $x$ ) zo dicht bij de $x$ -as komt als je maar wilt.
De $y$ -as is de verticale asymptoot van de grafiek.

Er zijn twee punten op de grafiek van $y = \frac{1}{x}$ die op afstand $0,01$ van de $x$ -as liggen.

Wat zijn de coördinaten van deze twee punten?

Er zijn twee punten op de grafiek van $y = \frac{1}{x}$ die op afstand $0,01$ van de $y$ -as liggen.

Wat zijn de coördinaten van deze twee punten?

Je (grafische) rekenmachine heeft waarschijnlijk een aparte knop voor het omgekeerde, zie figuur.
(Anders moet je tot de macht $‐ 1$ doen.)

Bereken met deze knop de uitvoer bij invoer $0,625$ .
Hoe kun je met je rekenmachine de invoer $0,625$ terugvinden?

Bij een zekere invoer geeft deze knop als uitvoer $1,28$ . Wat was die invoer?

Kennelijk heeft de functie $y = \frac{1}{x}$ een bijzondere eigenschap.

Breng die eigenschap onder woorden.

Weet jij nog een andere (eenvoudige) functie met die eigenschap?

Gegeven is de gebroken lineaire functie $f (x) = \frac{3 x + 4}{2 x}$ .

Welke waarden hebben $a$ , $b$ , $c$ en $d$ in de algemene gedaante?

De formule van $f$ kun je herschrijven tot $f (x) = 1 \frac{1}{2} + \frac{2}{x}$ .

Laat dit (met tussenstappen) zien.

Door welke transformaties (en in welke volgorde) ontstaat de grafiek van $f$ dus uit die van $y = \frac{1}{x}$ ?
Controleer dit op de GR.

De grafiek heeft een horizontale en een verticale asymptoot.

Welke lijnen zijn dat?

De functie $g (x) = \frac{2}{x - 1} + 3$ is verwant met de functie
$f (x) = \frac{1}{x}$ .
Hieronder staat de grafiek van $g$ ; het is een hyperbool.

Welke lijnen zijn de horizontale en van de verticale asymptoot van de hyperbool?

Hoe had je deze asymptoten ook aan de formule voor $g$ kunnen zien?

Wat zijn het bereik en het domein van de functie $g$ ?

Je kunt de grafiek van $g$ uit de grafiek van $f$ (de standaardhyperbool) krijgen door achtereenvolgens drie transformaties (vermenigvuldigingen of verschuivingen) toe te passen.

Beschrijf deze transformaties en de volgorde waarin ze worden toegepast.

Je kunt de formule van $g$ herschrijven tot de vorm $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ .

Laat dit zien en geef de waarden van $a$ , $b$ , $c$ en $d$ .

Gegeven zijn de volgende vier functies:
$f (x) = \frac{‐ 2}{x - 1}$ , $g (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ , $h (x) = \frac{2 x - 6}{x - 3}$ , $k (x) = \frac{x - 1}{x}$
De grafieken I, II, III en IV horen bij deze vier functies.

Zoek uit welke grafiek bij welke functie hoort.

(hint)

Kijk naar de asymptoten en naar de formules.

Drie van de grafieken zijn een hyperbool. Grafiek II is een bijzonder geval: het is een horizontale rechte lijn met een 'gaatje'.

Verklaar met behulp van de formule bij grafiek II wat je ziet. Wat zijn de coördinaten van het 'gaatje'?

(hint)

Haal in de teller van de breuk zoveel mogelijk buiten haakjes.

Hoe kun je de verticale en horizontale asymptoten in I, III en IV terugvinden in de bijbehorende formules?

$f (x) = \frac{4}{x + 3}$

Welke getallen zitten in het domein en het bereik van $f$ ?

Wat zijn dus de asymptoten van de grafiek van $f$ ?

Teken de grafiek van $f$ .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van $f$ en de lijn $y = x$ .

Voor welke getallen $x$ geldt: $x < f (x)$ ?

$y = \frac{3 x + 6}{2 x + 4}$
Deze formule is ook van de gedaante $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ .
Je zou dus ook verwachten dat de grafiek een hyperbool is. Maar dat is niet zo.

Teken de grafiek op de GR. Wat voor grafiek krijg je te zien?

Verklaar met de formule $y = \frac{3 x + 6}{2 x + 4}$ wat je ziet.

(hint)

Haal in de teller en de noemer zoveel mogelijk buiten haakjes.

Vul $x = ‐ 2$ in de formule in. Wat is de uitkomst?
Wat is er aan de hand bij de grafiek bij $x = ‐ 2$ ?

Bekijk de functie $y = \frac{3 x + 6}{4}$ . Deze formule krijg je door in de algemene vorm van een gebroken lineaire functie $c = 0$ te nemen.

Leg met de formule uit dat de grafiek ook nu geen hyperbool is. Wat is de grafiek dan wel?

De grafiek van $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ is niet voor alle keuzen van $a$ , $b$ , $c$ en $d$ een hyperbool.
In opgave 33 en opgave 35 heb je daarvan uitzonderingen gezien.

De grafiek van $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ is een hyperbool, behalve als $c = 0$ of als $a : c = b : d$ .

$y = \frac{a x + 3}{x + 1}$

Onderzoek met de applet parameters_bij_gebroken_functie (of met de GR) hoe de grafiek verandert, als je $a$ verandert.
Wat gebeurt er met de asymptoten?

$y = \frac{2 x + 3}{x + d}$

Onderzoek met de applet parameters_bij_gebroken_functie (of met de GR) hoe de grafiek verandert, als je $d$ verandert.
Wat gebeurt er met de asymptoten?

$y = \frac{3 x + 6}{2 x + 2}$

Hoe groot is $y$ als $x = 1000$ ?
En hoe groot is $y$ ongeveer als $x$ een ander (erg) groot getal is?
Welke lijn is dus horizontale asymptoot van de grafiek?

Hoe groot is $y$ als $x = ‐ 0,99$ ?
Wat weet je van $y$ als $x$ (erg) dicht bij $‐ 1$ is?
Welke lijn is dus verticale asymptoot van de grafiek?

De horizontale asymptoot van een gebroken lineaire functie vind je door voor $x$ een groot getal in te vullen of een klein (erg negatief) getal. De verticale asymptoot vind je door voor $x$ een zodanig getal in te vullen dat de noemer $0$ is.

Geef de asymptoten van de grafiek van de volgende functies. Controleer je antwoorden op de GR.

$f (x) = \frac{3 x + 2}{x + 1}$	$g (x) = \frac{2 x}{x + 1}$
$h (x) = \frac{4 x - 3}{2 x + 1}$	$j (x) = \frac{4 x - 3}{2 x}$

Een lampje is opgesteld voor een lens. Achter de lens bevindt zich een scherm waarop het beeld van het lampje wordt opgevangen. Als het lampje verplaatst wordt, moet je het scherm mee bewegen om een scherp beeld te houden.
De afstand lampje-lens noemen we $v$ , de afstand scherm-lens noemen we $b$ (beide in dm).
Bij deze lens geldt: $\frac{1}{v} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$ .

Bereken $b$ als $v = 3$ .

Uiteraard kunnen $v$ en $b$ alleen positieve waarden aannemen.

Leg uit dat hieruit volgt dat $v$ en $b$ zelfs groter dan $2$ moeten zijn.

Wat weet je van $b$ als $v$ een groot getal is?
Wat weet je van $b$ als $v$ een klein beetje groter dan $2$ is?

De formule $\frac{1}{v} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$ kan worden omgewerkt tot de formule $b = 2 + \frac{4}{v - 2}$ .

Laat dit langs algebraïsche weg zien.

De $v$ - $b$ -grafiek is een stuk van een hyperbool.

Wat zijn de asymptoten van die hyperbool?
Teken de $v$ - $b$ -grafiek. (Zet $v$ op de horizontale as en $b$ op de verticale as.)