De hoeveelheid water $H$ (in liter) die er uit een buis stroomt, hangt af van zijn diameter $d$ (in dm) en de snelheid $v$ (in m/s) waarmee dat water stroomt.

Als de diameter van een buis $1$ dm is en de hoeveelheid water die per seconde wordt afgevoerd $80$ liter is, hoe snel stroomt het water dan uit de buis (in m/s)?

Neem aan: het water stroomt met een constante snelheid $v m/s$ .

Laat zien dat $v = \frac{0,4 H}{π d^{2}}$ .

Om een bouwput droog te houden, moet er per seconde $100$ liter water worden afgevoerd.
De uitstroomsnelheid hangt af van de diameter van de buis.
Er geldt: $v = a \cdot d^{b}$ , voor zekere getallen $a$ en $b$ .

Geef $a$ en $b$ exact en benader $a$ ook in twee decimalen.

In de voorgaande opgave heb je een voorbeeld gezien van een zogenaamde machtsfunctie.

Een machtsfunctie is een functie van de vorm $y = b \cdot x^{α}$ , voor zekere waarden van $α$ en $b$ ( $α$ hoeft geen geheel getal te zijn).
Voor niet gehele exponenten $α$ zijn de functies alleen gedefinieerd voor $x \geq 0$ .
Tenzij anders vermeld, nemen we voor de invoer van deze functie daarom $x \geq 0$ .

Voor positieve gehele waarden van $α$ kennen we de functies al.

In de figuur staan de machtsfuncties $y = x^{α}$ voor $α = 1$ , $α = 2$ , $α = 3$ , $α = 4$ en $α = 5$ .

Wat zijn de twee gemeenschappelijke punten van de grafieken van deze machtsfuncties?
Kun je dat met behulp van de formule $y = x^{α}$ verklaren?

Met de applet machtsfuncties(1) kun je voor verschillende waarden van $α$ de grafiek van de functie $y = x^{α}$ tekenen.

Onderzoek met deze applet hoe de grafiek van een machtsfunctie verandert als de waarde van de exponent $α$ toeneemt.

Kun je uitleggen waarom de grafiek van $y = x^{2}$ boven die van $y = x^{4}$ ligt als $0 < x < 1$ ?

Bereken de helling (met differentiëren) van $y = x^{2}$ in het punt met $x = \frac{1}{2}$ .
Bereken ook de helling van $y = x^{4}$ in het punt met $x = \frac{1}{2}$ .

Behalve $x = 0$ is er nog een positieve waarde van $x$ waarvoor de hellingen van $y = x^{2}$ en $y = x^{4}$ gelijk zijn.

Bereken exact deze positieve waarde van $x$ .

Teken op de GR de grafiek van $y = x^{2} - x^{4}$ voor $0 \leq x \leq 1$ . Bereken met de GR voor welke positieve waarde van $x$ op dit interval deze functie maximaal is. Rond je antwoord af op 3 decimalen.
Hoe groot is die maximale waarde?

Bereken deze maximale waarde ook exact met differentiëren.

Alle machtsfuncties $y = x^{a}$ met $a > 0$ zijn stijgend, ook als de exponent $a$ een breuk is.

Onderzoek op de GR of met de applet machtsfuncties(2) of de grafiek van $y = x^{1,6}$ onder of boven de grafiek van $y = x^{1,7}$ ligt.

Onderzoek of de grafiek van $y = x^{0,6}$ onder of boven de grafiek van $y = x^{0,7}$ ligt.

Voor welke waarden van $a$ heeft de functie $y = x^{a}$ toenemende stijging en voor welke $a$ afnemende stijging?

De grafiek van $y = b \cdot x^{α}$ , met $b > 0$ is afnemend stijgend als $0 < α < 1$ en toenemend stijgend als $α > 1$ .

In de figuur staan de grafieken van twee machtsfuncties $f$ en $g$ van de vorm $y = x^{α}$ .

Zoek uit hoe groot $α$ in beide gevallen ongeveer is. Beschrijf je werkwijze. Geef een antwoord afgerond op 2 decimalen.

In de figuur staat in rood de grafiek van de machtsfunctie $h (x) = b \cdot x^{α}$ .

Hoe kun je uit de grafiek aflezen dat $b = 0,4$ ?

Geef een formule voor de functie $h$ .

In de figuur staan de grafieken van $y = x$ , $y = x^{2}$ en $y = x^{\frac{1}{2}}$ .

Bekijk de tabel voor $y = x^{2}$ .

$x$	$0$	$0,5$	$1$	$1,5$	$2$	$2,5$	$3$	$4$
$y$	$0$	$0,25$	$1$	$2,25$	$4$	$6,25$	$9$	$16$

Hoe kun je hier met weinig moeite een tabel voor $y = x^{\frac{1}{2}}$ van maken?

Als $(a, b)$ op de grafiek van $y = x^{2}$ ligt, dan ligt $(b, a)$ op de grafiek van $y = x^{\frac{1}{2}}$ . Je vindt dus punten van de ene grafiek uit punten op de andere grafiek door de coördinaten te verwisselen.

Kies enkele punten op de grafiek van $y = x^{2}$ en geef de daarbij behorende punten op de grafiek van $y = x^{\frac{1}{2}}$ aan (en omgekeerd).

De grafieken van $y = x^{2}$ en $y = x^{\frac{1}{2}}$ zijn elkaars spiegelbeeld.

Welke lijn is de spiegelas?

We bekijken de functies $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ en $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Ga op de GR na hoe de grafiek van $f$ ligt ten opzichte van $y = x$ en $y = x^{2}$ .
Ga ook op de GR na hoe de grafiek van $g$ ligt ten opzichte van $y = x$ en $y = x^{\frac{1}{2}}$ .

Laat door een berekening zonder rekenmachine zien dat het punt $(100,1000)$ op de grafiek van $f$ ligt en dat het punt $(1000,100)$ op de grafiek van $g$ ligt.

Als punt $(a, b)$ op de grafiek van $f$ ligt, dan ligt $(b, a)$ op de grafiek van $g$ .

Leg dit uit.

Hoe ontstaan de grafieken van $f$ en $g$ uit elkaar?

De grafieken van de functies $f (x) = x^{\frac{p}{q}}$ en $g (x) = x^{\frac{q}{p}}$ zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn $y = x$ .
Als $f$ de invoer $a$ omrekent naar de uitvoer $b$ , dan doet $g$ precies het omgekeerde: $g$ rekent invoer $b$ om naar uitvoer $a$ .
We zeggen: de functies $f$ en $g$ zijn elkaars inverse.
Een bijzonder geval hiervan zijn de functies $y = x^{\frac{1}{n}}$ en $y = x^{n}$ , waarbij $n$ positief geheel is.

Laat met een rekenregel voor machten zien dat $x = a^{\frac{1}{3}}$ oplossing is van de vergelijking $x^{3} = a$ .

Bereken met de rekenmachine $5^{3 \frac{1}{2}}$ . Neem vervolgens de uitkomst tot de macht $\frac{2}{7}$ .

Dat gaf een mooie uitkomst!
Dit kan ook zonder rekenmachine.

Laat dat met de rekenregels voor machten zien.

Waarom is $5^{3 \frac{1}{2}}$ oplossing van de vergelijking $x^{\frac{2}{7}} = 5$ ?
Laat dit met een rekenregel voor machten zien.

Welk getal is oplossing van de vergelijking $x^{‐ 3 \frac{1}{2}} = 5$ ?

In de voorgaande opgave heb je voorbeelden gezien van de volgende regel.

Als $x^{b} = a$ dan $x = a^{\frac{1}{b}}$ .
Hierbij worden $x$ en $a$ positief verondersteld en $b \neq 0$ .

Voorbeeld:

Als $x^{2,5} = 100$ , dan $x = 100^{\frac{1}{2,5}} = 100^{\frac{2}{5}}$ ( $\approx 6,31$ ).

Teken op de GR de grafiek van $y = x^{\frac{2}{3}}$ .

Bereken hoe groot $x$ is als $y = 5$ . Geef een exact antwoord en een antwoord afgerond op 3 decimalen.

Bereken hoe groot $x$ is als $y = 4$ .

Het antwoord bij c komt mooi uit. Controleer zonder rekenmachine dat dat antwoord inderdaad precies klopt.

Vergelijkingen oplossen

Voorbeeld:

Bereken algebraïsch in drie decimalen het positieve getal $x$ waarvoor geldt: $10 x = \sqrt[3]{x}$ .

Oplossing

$10 x$	$=$	$\sqrt[3]{x}$	$\sqrt[3]{\dots} = {(\dots)}^{\frac{1}{3}}$
$10 x$	$=$	$x^{\frac{1}{3}}$	delen door $x^{\frac{1}{3}}$
$10 x^{\frac{2}{3}}$	$=$	$1$	delen door $10$
$x^{\frac{2}{3}}$	$=$	$0,1$	als $x^{b} = a$ dan $x = a^{\frac{1}{b}}$
$x$	$=$	${0,1}^{\frac{3}{2}}$

Dus

x = 0,032

Bereken exact de positieve getallen $x$ waarvoor geldt:

$x^{2} \sqrt{x} = 10$

$\sqrt[4]{x^{3}} = 10$

$\sqrt{x} = 10 \sqrt[3]{x}$

$x^{2} \sqrt{2 x} = x^{4}$

$\sqrt{{(2 x)}^{3}} = x^{4}$

$x^{2} \sqrt{x} - 10 x \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} = 0$

Al eerder heb je de formule ontmoet voor de huidoppervlakte $H$ van een mens, uitgedrukt in zijn lichaamsgewicht $G$ en zijn lengte $L$ :
$H = 0,007 \cdot G^{0,425} \cdot L^{0,725}$ ; $H$ in m², $G$ in kg en $L$ in cm.

Iemand heeft een huidoppervlakte van $2$ m².

Bereken algebraïsch hoe lang die persoon is volgens de formule, als hij $80$ kg weegt.
Rond af op een heel aantal cm.

Bereken algebraïsch hoeveel kg die persoon weegt, als hij $1,75$ m lang is. Geef je antwoord afgerond op 1 decimaal.

Hoe groter de vogelsoort, hoe groter de eieren. Na een onderzoek van $800$ vogelsoorten kwam de ornitholoog Rahn tot een formule die het verband legt tussen het gewicht van een ei en het gewicht van de moedervogel: $E = 0,3 \cdot G^{\frac{3}{4}}$ . Hierin is $E$ het eigewicht en $G$ het lichaamsgewicht, beide in grammen.

Een grauwe gans weegt $2,5$ kilogram.

Hoe zwaar zijn de eieren van de grauwe gans volgens de formule?

Van de prehistorische vogel Aepoyornis die op Madagascar leefde heeft men een fossiel ei gevonden. Men schat dat het ei $10$ kg heeft gewogen

Hoe zwaar is de Aepoyomis volgens de formule geweest?

Geef een formule voor $G$ , uitgedrukt in $E$ .