1

We laten een steen een vrije val maken, met beginsnelheid 0 . De tijd die de steen valt noemen we t (in seconden), de valweg noemen we s (in meters) en de snelheid van de steen noemen we v (in m/s).
Zoals je weet, geldt (bij benadering, als we de luchtwrijving verwaarlozen) de volgende formule:
s = 5 t 2 . De snelheid v is de afgeleide van s , dus v = 10 t .

a

Bereken de snelheid op het moment dat de steen 80 meter gevallen is.

b

Bereken de valweg op het moment dat de steen met een snelheid van 15 m/s valt.

Als je s weet, kun je v berekenen, en omgekeerd. In beide gevallen gaat dat in twee stappen, namelijk via t :
s t v en v t s .

c

Welke van deze twee kettingen heb je gebruikt bij vraag a en welke bij vraag b?

d

Ga na dat geldt: als v = 40 , dan s = 5 ( 40 10 ) 2 .

Je kunt ook een rechtstreekse formule geven voor s uitgedrukt in v .

e

Doe dat.

f

Geef een rechtstreekse formule die v uitdrukt in s .

2

Van een cirkel noemen we de straal r (in cm), de omtrek ('perimeter') P (in cm) en de oppervlakte ('area') A (in cm2).

a

Druk P en A uit in r .

b

Bereken r en vervolgens A exact als P = 6 . Geef daarna je antwoord afgerond op 2 decimalen.

Als je P weet, kun je r uitrekenen, en met r kun je dan A uitrekenen: P r A .

c

Toon aan dat A = 1 4 π P 2 .

Omgekeerd: als je A kent, kun je via r de waarde van P uitrekenen: A r P .

d

Geef een formule voor P uitgedrukt in A .
Schrijf de formule in de vorm P = b A c .

3

Al eerder heb je de formule ontmoet die het verband legt tussen het gewicht van een ei en het gewicht van de moedervogel: G = 5 E 4 3 . Hierin is E het eigewicht en G het lichaamsgewicht, beide in grammen.

Het aantal dagen dat nodig is om een ei uit te broeden hangt ook van de vogelsoort af: T = 9,1 G 1 6 . Hierin is T de broedtijd in dagen.

Een kolibri heeft 11 dagen nodig om zijn eitjes uit te broeden.

a

Hoe zwaar (of beter hoe licht) is een kolibri volgens deze formule?

Het ei van de prehistorische vogel Aepyornis woog (ongeveer) 10 kg.

b

Bereken de tijd die de Aepyornis volgens de formules nodig had voor het uitbroeden van zijn monsterei.

We kunnen de formules schakelen: E G T .

c

Stel een formule op waarin T rechtstreeks wordt uitgedrukt in E . Schrijf je antwoord als een machtsfunctie.

4

We bekijken drie functies: y = x 2 , z = y + 7 en u = z .

a

Bereken u als x = 3 .

b

Geef een rechtstreekse formule voor u , uitgedrukt in x .

We laten x alle mogelijke reële waarden aannemen.

c

Welke waarden kan y dan aannemen?
En z ? En u ?

De waarden die een functie kan aannemen (bereiken), vormen samen het bereik van de functie.
Voor de functie u uit opgave 80 is het bereik [ 7 ,
(ofwel anders genoteerd: u 7 ).

5

Weer drie functies: y = 3 t 2 , z = 1 y + 2 en u = 5 z .

a

Druk u uit in t .

b

Teken de grafiek van u als functie van t .

c

Wat is het bereik van u als t alle mogelijke waarden kan aannemen?

6

Hieronder staan telkens twee functies.
Druk steeds c uit in a .
En geef telkens het bereik van c als a alle mogelijke waarden kan aannemen.

a

a = b + 1

c = b 2 + 2 b

b

b = 0,2 a 0,6

c = 5 b + 3

c

a + b = 10

c = 4 b + 5

d

b = 3 sin ( a )

c = b 2 1

e

b = 3 a + 1

c = sin ( b )

f

b = sin ( a )

c = 3 b + 1

7

Zojuist heeft een bestelwagen zijn vracht afgeleverd. Nu rijdt hij weg; ik sta in huis en kijk de bestelwagen na. Langzaam zie ik de achterkant van de bestelwagen op de ruit kleiner worden. De achterkant van de bestelwagen is 3 meter hoog. Hoe groot ik de bestelwagen op de ruit zie, hangt er van af hoe ver hij van de ruit af is. Die afstand noemen we a (in meters). Mijn oog bevindt zich 2 meter van de ruit. x is de hoogte van de bestelwagen, zoals ik die op de ruit zie (in cm).

a

Bereken x als a = 100 .

(hint)
Maak een schets met de maten erbij en zoek twee gelijkvormige driehoeken.
b

Toon aan dat x = 600 a + 2 .

Stel dat de auto rijdt met een snelheid van 72  km/u. De tijd (in seconden) noemen we t . Op tijdstip 0 was de auto 50 meter van de ruit vandaan.

c

Leg uit: a = 50 + 20 t .

d

Geef een formule die x uitdrukt in t .

e

Wat is het bereik van x als t 0 ?

8

Doorzakken
Als je van een viervoeter de dikte en het lichaamsgewicht kent, is zijn lengte ook min of meer bepaald. Hij kan niet langer dan een zekere waarde zijn, vanwege het “door-zakeffect”.
De dikte noemen we D (in cm), het lichaamsgewicht G (in gram) en de maximale lengte L (in cm). Iemand heeft de volgende formules opgesteld: G L 2 = 680 D 4 en L D 2 = G .

a

Leid hieruit een formule af die L uitdrukt in D .

(hint)
Herschrijf beide formules zodat je ze kunt combineren en herschrijf de formule dan naar L = ...

Uit de tweede formule volgt: D 2 = G L = G L 1 .
Als je dat invult in de eerste formule, krijg je een formule met alleen G en L .

b

Leid nu een formule af die L uitdrukt in G .

c

Kun je ook een formule voor G en D geven?

d

Bereken L en D voor een Indische olifant van 4000 kg. Geef je antwoorden in dm nauwkeurig.