Grafieken kun je verschuiven en vermenigvuldigen, horizontaal en verticaal. Dit
noemen we
transformaties.
Een ander woord voor verschuiving is
translatie.
Als je een formule
van de oorspronkelijke grafiek hebt, kun je hiermee ook de formule
van de nieuwe grafiek maken.
Er zijn vier gevallen:
verticaal transleren (of verschuiven)
De grafiek van wordt
naar boven geschoven.
Dan geldt
.
horizontaal transleren (of verschuiven)
De grafiek van wordt
naar rechts geschoven.
Dan geldt
.
(Je vervangt dus in de formule van overal de variabele
door
.)
verticaal vermenigvuldigen (t.o.v. de -as)
De grafiek van wordt met factor
vermenigvuldigd t.o.v.
de -as.
Dan geldt
.
horizontaal vermenigvuldigen (t.o.v. de -as)
De grafiek van wordt met factor
vermenigvuldigd t.o.v.
de -as.
Dan geldt
.
(Je vervangt dus in de formule van overal de variabele
door
.)
Speciaal geval: de grafiek van
is een parabool met top .
De formule in deze vorm noemen we de
topvorm van de parabool.
Voor is het een bergparabool.
Voor is het een dalparabool.
Laat een functie zijn die aan een invoer een uitvoer koppelt.
is de uitvoer die hoort bij invoer
.
Vaak kun je niet elk getal als invoer kiezen en treedt niet elk getal als uitvoer
op. De getallen die je als invoer kunt kiezen vormen het
domein van de functie; de getallen die je als uitvoer kunt krijgen vormen het
bereik van de functie.
De formule legt een
bundel functies vast.
Vaak wordt ook de volgende notatie gebruikt om de bundel functies aan te duiden:
.
Voor elk getal krijg je een exemplaar uit die bundel.
Al die functies zijn “familie” van elkaar. In dit geval ontstaan de grafieken
van de functies uit elkaar door horizontale verschuivingen, zie de figuur hiernaast.
De letter in de bijbehorende formule
is de
parameter van de bundel.
De bijbehorende grafieken vormen een
bundel grafieken.
Speciaal geval: de bundel grafieken wordt vanwege de vorm ook wel een
lijnenwaaier genoemd.
Een lijnenwaaier is dus een bundel rechte lijnen met verschillende richtingscoëfficiënten
door een
vast punt. In dit geval is dat het punt
.
De algemene vorm van een
gebroken lineaire functie is
.
De grafiek is een
hyperbool, behalve als
of als
.
De horizontale asymptoot van een gebroken lineaire functie vind je door voor een groot getal in te vullen of een klein (erg negatief) getal. De verticale asymptoot vind je door voor een zodanig getal in te vullen dat de noemer bijna is.
De grafiek van is de
(standaard)hyperbool.
De -as is de
horizontale asymptoot van de grafiek.
De -as is de
verticale asymptoot van de grafiek.
Rekenregels voor machten:
(ofwel )
Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.
De -de macht van is , dus .
Voor alle positieve getallen , en met en geheel geldt: .
, voor
.
In woorden:
en
zijn elkaars omgekeerde.
Een
machtsfunctie
is een functie van de vorm
,
voor zekere waarden van en
( hoeft geen geheel getal te zijn).
Voor niet gehele exponenten zijn de functies alleen gedefinieerd
voor .
De grafiek van , met is afnemend stijgend als en toenemend stijgend als .
De grafieken van de functies en
zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn
, dus ze zijn
elkaars inverse.
Een bijzonder geval hiervan zijn de functies
en
,
waarbij positief geheel is.
Als dan .
Hierbij worden en positief verondersteld en .
Als de invoer
omrekent naar de uitvoer , en
precies het omgekeerde doet,
rekent invoer
om naar uitvoer , dan zeggen we:
de functies en zijn elkaars
inverse.
De grafiek van een functie en zijn inverse
zijn elkaars spiegelbeeld in de
lijn .
Als op de grafiek van
ligt, dan ligt
op de grafiek van de inverse .
De inverse functie kun je vinden door als functie
van te schrijven.
Een andere manier is:
Verander in de formule de in , en omgekeerd, verander de in .
Schrijf de formule weer om in de vorm .
In het Centraal Examen hoef je de term 'inverse functie' niet te kennen, maar je moet wel de bijbehorende activiteiten kennen en kunnen.