1

Gegeven is de functie $f (x) = 4 - \sqrt{x + 4}$ . De grafiek van de functie staat hiernaast.

a

Bepaal(met toelichting) het bereik en het domein van de functie.

b

Door welke transformaties, en in welke volgorde, krijg je de grafiek van $f$ uit de grafiek van $y = \sqrt{x}$ ?

c

Bereken exact de coördinaten van het snijpunt van de grafiek van $f$ met de lijn $y = \frac{1}{5} x$ .

De grafiek van $f$ zit in de bundel grafieken $y = p - \sqrt{x + p}$ , namelijk voor $p = 4$ .

d

Bereken voor welke waarde(n) van $p$ de grafiek uit de bundel door het punt $(6,0)$ gaat.

2

Gegeven is de functie $f (x) = 3 - \frac{3}{x + 1}$ . De grafiek van de functie staat hiernaast weergegeven, met de twee asymptoten.

Je kunt de formule van $f$ herschrijven tot $f (x) = \frac{3 x}{x + 1}$ .

a

Laat dit zien.

b

Geef met toelichting de formules van de asymptoten van de grafiek van $f$ .

c

Door welke transformaties, en in welke volgorde, krijg je de grafiek van $f$ uit de grafiek van $y = \frac{1}{x}$ ?

d

Bereken algebraïsch voor welke waarden van $x$ geldt: $f (x) \leq 4 - x$ .

3

Gegeven: $V = 87 - \frac{20}{M + 0,05}$ .

a

Geef een formule voor $M$ uitgedrukt in $V$ .

Gegeven: $A = 1,25 (12,0 + t^{\frac{2}{3}})$ .

b

Geef een formule voor $t$ uitgedrukt in $A$ .

4

$F_{1} : y = x^{2}$ , $F_{2} : y = x + 2$ , $F_{3} : y = \frac{1}{x}$
Door deze drie functies in verschillende volgordes te schakelen, kun je zes kettingen maken.
Een ervan is: $F_{3} \to F_{1} \to F_{2}$ .
Noemen we de invoer van deze ketting $x$ en de uitvoer $y$ , dan geldt: $y = 2 + {(\frac{1}{x})}^{2}$ .

a

Ga van de getallen $1$ , $2$ en $2 \frac{1}{2}$ na of ze als uitvoer voorkomen.

b

Welke getallen behoren tot de uitvoer van deze ketting?

c

Geef zo ook een formule voor elk van de andere kettingen. En zeg van elk wat de uitvoer is.

De kettingen zijn niet zes verschillende functies.

d

Welke kettingen zijn dezelfde functie?

5

Gegeven is dat voor zekere waarden van $x$ en $y$ geldt:
$5^{x} = 3$ en $2^{y} = 5$ .

a

Bereken exact $5^{x + 2} - 5^{x + 1}$ en $2^{y - 1} - 2^{2 y}$ .

Schrijf als machtsfunctie, dus als $f (x) = a \cdot x^{b}$ .
Schrijf tussenstappen op.

b

$f (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$

$f (x) = \sqrt[3]{1000 x}$

$f (x) = \frac{6}{x \sqrt{x}}$

$f (x) = \frac{x^{3} \cdot {(2 \sqrt{x} \cdot \sqrt[5]{x})}^{‐ 3}}{2 \sqrt{x}}$

6

Vogels en vliegtuigen kunnen vliegen, onder andere omdat ze vleugels hebben. Voor de vliegtuigbouw is het van belang te weten welk gewicht een stel vleugels kan dragen en welke snelheid er nodig is om te kunnen vliegen. In deze opgave gaan we in op de relatie tussen het gewicht, het vleugeloppervlak, de kruissnelheid en de luchtdichtheid. Hierbij is de kruissnelheid de snelheid die een vogel of vliegtuig heeft tijdens een lange vlucht. Voor vogels en vliegtuigen geldt bij benadering de volgende formule: $W = 0,03 \cdot d \cdot V^{2} \cdot S$
Hierin is $W$ het gewicht in kilogram, $S$ het vleugeloppervlak in vierkante meter, $d$ de luchtdichtheid in kilogram per kubieke meter en $V$ de kruissnelheid in meter per seconde.

Een merel van $90$ gram heeft een vleugeloppervlak van $200$ cm². Deze vogel vliegt dicht bij de grond, waarbij $d = 1,25$ .

a

Bereken de kruissnelheid van een merel. Geef je antwoord in meter per seconde afgerond op een geheel getal.

In de vliegtuigbouw wordt gewerkt met het begrip vleugelbelasting; dat is het gewicht (in kilogram) per vierkante meter vleugeloppervlak, in formulevorm $\frac{W}{S}$ .
Een Boeing 747 heeft een vleugeloppervlak van $511$ m² en heeft een kruissnelheid van $900$ km per uur op een hoogte waar de luchtdichtheid $d$ gelijk is aan $0,3125$ .

b

Bereken de vleugelbelasting van deze Boeing 747. Rond je antwoord af op een geheel getal.

Voor zeevogels geldt bij benadering het volgende verband tussen vleugelbelasting en gewicht: $\frac{W}{S} = 5,5 \cdot W^{\frac{1}{3}}$
Met behulp van deze formule kan $S$ worden uitgedrukt in $W$ zodat geldt: $S = a \cdot W^{b}$ , voor zekere getallen $a$ en $b$ .

c

Toon dat aan en bereken de waarden van $a$ en $b$ afgerond op 2 decimalen.

7

Bij oudheidkundige opgravingen in het Caraïbisch gebied, waar rond 1200 na Chr. de Lucayan indianen leefden, werd een groot aantal botresten van vissen opgegraven. Met behulp van een bepaald type bot (zie figuur) werd de diameter $D$ van zo’n vis geschat. Aan de hand van de diameter werd een schatting gemaakt van het gewicht van een vis. Daarbij ging men uit van het verband $G = 15 \cdot D^{2}$ , waarbij $G$ het gewicht in gram en $D$ de diameter in mm.

a

Bereken de diameter van een vis van $2940$ gram.

Er is ook een verband tussen het gewicht $G$ van een vis en zijn skeletgewicht $G$ : $G = 10^{1,5} \cdot S^{0,8}$ , waarbij $S$ het skeletgewicht en $G$ het lichaamsgewicht is, beide in grammen.

b

Van een vis is de diameter $9$ mm. Bereken in één decimaal het skeletgewicht van die vis in grammen.

c

Geef langs algebraïsche weg een formule voor $S$ uitgedrukt in $D$ . Schrijf de formule als een machtsfunctie.

8

Los de volgende vergelijkingen exact op.
Controleer je oplossingen.

a

$3 - \frac{1}{2} \sqrt{x + 2} = 2,4$

b

$4 x - 8 \sqrt{x} = ‐ x^{2} + 4 x$

c

$\frac{2 - 2 x}{x} - 3 = 3 x$

d

$1 + \sqrt{2 x - 3} = x$

e

$\sqrt[3]{x^{2}} = 3 \sqrt{x}$

f

$\sqrt{6 - \sqrt{x}} = \sqrt{x}$

9

De functie $f$ wordt gegeven door $f (x) = {(x + 1)}^{3} - 1$ . In de figuur is de grafiek van $f$ weergegeven.

De functie $g$ wordt gegeven door $g (x) = \sqrt[3]{x + 1} - 1$ .
De functie $g$ is de inverse functie van $g$ .

a

Bewijs dat $g$ inderdaad de inversie functie is van $f$ .

De grafieken van $f$ en $g$ hebben gemeenschappelijke punten.

b

Leg uit dat deze gemeenschappelijke punten ook op de lijn $y = x$ liggen.

c

Bereken exact de coördinaten van deze gemeenschappelijke punten.

De grafiek van $f$ wordt vermenigvuldigd ten opzichte van de $x$ -as, zodat de grafiek na vermenigvuldiging door $(2,12)$ gaat.

d

Bereken exact de factor en geef een formule van de nieuwe grafiek.

10

We bekijken de functie $f (x) = \frac{3 x + 5}{x + 1}$ .

a

Geef met toelichting vergelijkingen van de twee asymptoten.

b

Wat is het domein en wat is het bereik van de functie $f$ ?

De formule van $f$ kun je anders schrijven: $y = p + \frac{q}{x + 1}$ .

c

Laat dit zien en geef de waarden van $p$ en $q$ .

De grafiek van $f$ wordt $2$ naar rechts en $1$ omhoog geschoven.

d

Geef een formule die hoort bij de nieuwe grafiek.

(hint)

Gebruik de formule die je bij het vorige onderdeel hebt gevonden.

e

Geef een formule voor de inverse functie van $f$ .

(hint)

Gebruik de formule

f (x) = 3 + \frac{2}{x + 1}

We bekijken nu de bundel grafieken die horen bij de formule $y = \frac{a x + 5}{x + 1}$ .

f

Bereken exact voor welke waarde van $a$ de grafiek uit de bundel door het punt $(‐ 3,2)$ gaat.

g

Bepaal alle mogelijke waarden van $a$ waarvoor de grafiek uit de bundel precies één snijpunt heeft met de lijn
$y = x + 6$ .

(hint)

Stel een vergelijking op voor het snijpunt en gebruik daarna de discriminant.

11

De parabool met vergelijking $y = x^{2}$ wordt $2$ naar rechts en $3$ omhoog geschoven. De nieuwe grafiek is de grafiek van de functie $f$ .

a

Geef een formule van de functie $f$ .

De grafiek van $f$ wordt horizontaal vermenigvuldigd ten opzichte van de $y$ -as. De nieuwe grafiek is weer een parabool, maar nu met de top op de lijn $x = ‐ 1$ .

b

Wat is de factor?
Geef een formule van de nieuwe parabool.

We bekijken de bundel parabolen gegeven door $y = a - x^{2}$ .
In de figuur zijn een aantal grafieken uit de bundel getekend.

c

Bereken voor welke waarde van $a$ de grafiek uit de bundel door de top van de grafiek van $f$ gaat.

d

Bereken exact voor welke waarde van $a$ de grafiek uit de bundel de grafiek van $f$ raakt.

Voor een bepaalde waarde van $a$ snijdt de grafiek uit de bundel de $x$ -as onder een hoek van $45 °$ .

e

Bereken exact deze waarde van $a$ .

12

Druk $x$ uit in $y$ . Schrijf het resultaat in de vorm $x = a \cdot y^{b}$ , met $a$ en $b$ getallen in twee decimalen nauwkeurig.
Let op: niet tussendoor afronden!

a

$y = 4 \cdot x^{2}$

b

$y = 27 \cdot x^{3}$

c

$y = 6,2 \cdot x^{1,2}$

d

$y = 0,21 \cdot x^{0,7}$

e

$3,1 \cdot y = 2,4 \cdot x^{1,25}$

f

$y^{2} = 3 \cdot x^{4}$

g

$y^{2,7} = 5 \cdot x^{0,8}$

h

$7,2 \cdot y^{1,1} = 4,8 \cdot x^{2,9}$

13

Van een bol met straal $r$ is de oppervlakte (surface) $S = 4 π \cdot r^{2}$ en de inhoud (volume) $V = \frac{4}{3} π \cdot r^{3}$ .

a

Bereken exact de inhoud van een bol met oppervlakte $25 π$ .

b

Druk $V$ uit in $S$ . Schrijf je antwoord als machtsverband, met de constante afgerond op 3 decimalen en de macht exact.