1

a

Domein: $x \geq ‐ 4$ , want het deel onder de wortel moet groter of gelijk aan nul zijn;
Bereik: $y \leq 4$ , want $\sqrt{x + 4} \geq 0$ $\to$ $‐ \sqrt{x + 4} \leq 0$ dus $4 - \sqrt{x + 4} \leq 4$

b

Meerdere mogelijkheden, bijvoorbeeld:
Verticaal vermenigvuldigen t.o.v. de $x$ -as met factor $‐ 1$ : $y = ‐ \sqrt{x}$ ;
Daarna $4$ naar links schuiven: $y = ‐ \sqrt{x + 4}$ ;
Daarna $4$ omhoog schuiven: $y = 4 - \sqrt{x + 4}$

c

$4 - \sqrt{x + 4} = \frac{1}{5} x$ $\to$ $4 - \frac{1}{5} x = \sqrt{x + 4}$ $\to$ ${(4 - \frac{1}{5} x)}^{2} = x + 4$
$\to$ $\frac{1}{25} x^{2} - \frac{8}{5} x + 16 = x + 4$ $\to$ $x^{2} - 65 x + 300 = 0$ $\to$ $(x - 5) (x - 60) = 0$
$x = 5$ of $x = 60$ (vervalt), dus snijpunt $(5,1)$

d

Invullen: $0 = p - \sqrt{6 + p}$ $\to$ $p = \sqrt{6 + p}$ $\to$ $p^{2} = 6 + p$
$\to$ $p^{2} - p - 6 = (p - 3) (p + 2) = 0$ $\to$ $p = 3$ of $p = ‐ 2$ ;
Alleen $p = 3$ voldoet

2

a

$f (x) = 3 - \frac{3}{x + 1} = \frac{3 (x + 1)}{x + 1} - \frac{3}{x + 1} = \frac{3 x + 3 - 3}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1}$

b

Verticale asymptoot: $noemer = 0$ , dus $x = ‐ 1$ ;
Horizontale asymptoot: als $x$ heel groot wordt, dan gaat $\frac{3}{x + 1}$ naar nul, dus de grafiek komt steeds dichter bij $y = 3$

c

Er zijn meerdere mogelijkheden, bijvoorbeeld:
Horizontaal $1$ naar links schuiven: $y = \frac{1}{x + 1}$ ;
Daarna vermenigvuldigen t.o.v. de $x$ -as met factor $‐ 3$ : $y = \frac{‐ 3}{x + 1}$ ;
Daarna verticaal $3$ omhoog schuiven: $y = 3 - \frac{3}{x + 1}$

d

Gelijkheid: $3 - \frac{3}{x + 1} = 4 - x$ $\to$ $x - 1 = \frac{3}{x + 1}$ $\to$ $(x - 1) (x + 1) = 3$

$\to$ $x^{2} - 1 = 3$ $\to$ $x^{2} = 4$
$\to$ $x = ‐ 2$ of $x = 2$ ;
Maak een schets, met de GR, van $f$ en de lijn $y = 4 - x$ ; zie figuur.
Dus: $x \leq ‐ 2$ en $‐ 1 < x \leq 2$

3

a

$V = 87 - \frac{20}{M + 0,05}$ $\to$ $\frac{20}{M + 0,05} = 87 - V$ $\to$ $M + 0,05 = \frac{20}{87 - V}$
$\to$ $M = \frac{20}{87 - V} - 0,05$

b

$12,0 + t^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{1,25} A = 0,8 A$
$\to$ $t = {(0,8 A - 12,0)}^{\frac{3}{2}}$

4

a

De eerste twee niet, want $y = {(\frac{1}{x})}^{2}$ is positief.

b

$y > 2$

c

$F_{3} \to F_{2} \to F_{1}$ : $y = {(2 + \frac{1}{x})}^{2}$ ; $y \geq 0$
$F_{2} \to F_{1} \to F_{3}$ : $y = \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ ; $y > 0$
$F_{2} \to F_{3} \to F_{1}$ : $y = {(\frac{1}{x + 2})}^{2}$ ; $y > 0$
$F_{1} \to F_{2} \to F_{3}$ : $y = \frac{1}{x^{2} + 2}$ ; $0 < y \leq \frac{1}{2}$
$F_{1} \to F_{3} \to F_{2}$ : $y = 2 + \frac{1}{x^{2}}$ ; $y > 2$

d

$F_{3} \to F_{1} \to F_{2}$ is hetzelfde als $F_{1} \to F_{3} \to F_{2}$ .
$F_{2} \to F_{1} \to F_{3}$ is hetzelfde als $F_{2} \to F_{3} \to F_{1}$ .

5

a

$5^{x + 2} - 5^{x + 1} = 5^{2} \cdot 5^{x} - 5 \cdot 5^{x} = 25 \cdot 3 - 5 \cdot 3 = 60$
$2^{y - 1} - 2^{2 y} = 2^{‐ 1} \cdot 2^{y} - {(2^{y})}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 5 - 5^{2} = ‐ 22 \frac{1}{2}$

b

$f (x) = \frac{1}{2 x^{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{2} x^{‐ 3}$
$f (x) = \frac{6}{x \sqrt{x}} = \frac{6}{x^{1 \frac{1}{2}}} = 6 x^{‐ 1 \frac{1}{2}}$
$f (x) = \sqrt[3]{1000 x} = {(1000 x)}^{\frac{1}{3}} = 1000^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = 10 x^{\frac{1}{3}}$
$f (x) = \frac{x^{3} \cdot {(2 \sqrt{x} \cdot \sqrt[5]{x})}^{‐ 3}}{2 \sqrt{x}} = \frac{x^{3} \cdot {(2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{5}})}^{‐ 3}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}} = x^{3} \cdot 2^{‐ 3} \cdot x^{‐ \frac{3}{2}} \cdot x^{‐ \frac{3}{5}} \cdot 2^{‐ 1} \cdot x^{‐ \frac{1}{2}} = \frac{1}{16} x^{\frac{2}{5}}$

6

a

$S = 0,0001 \cdot 200 = 0,02$ $\to$ $0,09 = 0,03 \cdot 1,25 \cdot V^{2} \cdot 0,02$
$\to$ $V \approx 10,95$ , dus de kruissnelheid is $11$ (m/s)

b

$V = 900 \cdot \frac{1000}{3600} = 250$ (m/s); $\frac{W}{S} = 0,03 \cdot 0,3125 \cdot 250^{2} \approx 586$

c

$\frac{W}{S} = 5,5 \cdot W^{\frac{1}{3}}$ $\to$ $S = \frac{W}{5,5 \cdot W^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{5,5} \cdot W^{\frac{2}{3}}$ ,
dus $a = \frac{1}{5,5} \approx 0,18$ en $b = \frac{2}{3} \approx 0,67$

7

a

$2940 = 15 \cdot D^{2}$ $\to$ $D = \sqrt{\frac{2940}{15}} = \sqrt{196} = 14$ mm

b

$G = 15 \cdot 9^{2} = 1215$ $\to$ $1215 = 10^{1,5} \cdot S^{0,8}$ $\to$ $S^{0,8} = 1215 \cdot 10^{‐ 1,5}$
$\to$ $S = {(1215 \cdot 10^{‐ 1,5})}^{\frac{1}{0,8}} \approx 95,7$ (gram)

c

$15 \cdot D^{2} = 10^{1,5} \cdot S^{0,8}$ $\to$ $S^{0,8} = 15 \cdot 10^{‐ 1,5} \cdot D^{2}$ $\to$
$S = {(15 \cdot 10^{‐ 1,5} \cdot D^{2})}^{\frac{10}{8}} \approx 0,39 \cdot D^{2,5}$

8

a

$\frac{1}{2} \sqrt{x + 2} = 0,6$ $\to$ $\sqrt{x + 2} = 1,2$ $\to$ $x + 2 = 1,44$ $\to$ $x = ‐ 0,56$

b

$x^{2} - 8 \sqrt{x} = 0$ $\to$ $\sqrt{x} (x^{1 \frac{1}{2}} - 8) = 0$ $\to$ $\sqrt{x} = 0$ of $x^{1 \frac{1}{2}} = 8$
$\to$ $x = 0$ of $x = 8^{\frac{2}{3}} = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} = 2^{2} = 4$

c

$\frac{2 - 2 x}{x} = 3 x + 3$ $\to$ $2 - 2 x = 3 x^{2} + 3 x$ $\to$ $x^{2} + 1 \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} = 0$ $\to$ $(x + 2) (x - \frac{1}{3}) = 0$ (of met de abc-formule) $\to$ $x = ‐ 2$ of $x = \frac{1}{3}$

d

$\sqrt{2 x - 3} = x - 1$ $\to$ $2 x - 3 = {(x - 1)}^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ $\to$
$x^{2} - 4 x + 4 = 0$ $\to$ ${(x - 2)}^{2} = 0$ $\to$ $x = 2$

e

$x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ $\to$ $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{6}} - 3) = 0$ $\to$ $x^{\frac{1}{2}} = 0$ of $x^{\frac{1}{6}} = 3$
$\to$ $x = 0$ of $x = 3^{6} = 729$

f

kwadrateren geeft: $6 - \sqrt{x} = x \to 6 - x = \sqrt{x}$ (de wortel isoleren)
Nogmaals kwadrateren: $x^{2} - 12 x + 36 = x \to x = 4$ of $x = 9$ .
Controle: Alleen $x = 4$ voldoet aan de oorspronkelijke vergelijking.

9

a

$y = \sqrt[3]{x + 1} - 1$ $\to$ omwisselen $x$ en $y$ : $x = \sqrt[3]{y + 1} - 1$ $\to$ $x + 1 = \sqrt[3]{y + 1}$
$\to$ $y + 1 = {(x + 1)}^{3}$ $\to$ $y = {(x + 1)}^{3} - 1$ en dat is de formule van $f$ .

b

De grafieken van $f$ en $g$ zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn $y = x$ .
Een snijpunt van de grafiek van $f$ met de lijn $y = x$ blijft bij deze spiegeling op dezelfde plek en ligt dus ook op de grafiek van $g$ .

c

$f (x) = x$ geeft ${(x + 1)}^{3} - 1 = x$ $\to$ $x^{3} + 3 x^{2} + 2 x = 0$ $\to$ $x (x^{2} + 3 x + 2) = 0$
$\to$ $x (x + 2) (x + 1) = 0$ $\to$ $x = 0$ of $x = ‐ 1$ of $x = ‐ 2$
Snijpunten: $(‐ 2, ‐ 2)$ , $(‐ 1, ‐ 1)$ en $(0,0)$

d

$f (2) = 3^{3} - 1 = 26$ , dus de factor is $\frac{12}{26} = \frac{6}{13}$ ;
Nieuwe grafiek: $y = \frac{6}{13} ({(x + 1)}^{3} - 1) = \frac{6}{13} {(x + 1)}^{3} - \frac{6}{13}$

10

a

Horizontale asymptoot: grote waarden van $x$ invullen geeft $y = 3$ ;
Verticale asymptoot: $noemer = 0$ , dus $x = ‐ 1$

b

Domein: alles behalve $x = ‐ 1$ ;
Bereik: alles behalve $y = 3$

c

$f (x) = \frac{3 x + 5}{x + 1} = \frac{3 (x + 1) + 2}{x + 1} = \frac{3 (x + 1)}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} = 3 + \frac{2}{x + 1}$

d

$f (x) = 3 + \frac{2}{x + 1}$ wordt $y = 3 + \frac{2}{(x - 2) + 1} + 1 = 4 + \frac{2}{x - 1}$

e

Verwissel $x$ en $y$ : $x = 3 + \frac{2}{y + 1}$ $\to$ $x - 3 = \frac{2}{y + 1}$ $\to$ $y + 1 = \frac{2}{x - 3}$
$\to$ $y = \frac{2}{x - 3} - 1$

f

$\frac{‐ 3 a + 5}{‐ 3 + 1} = 2$ $\to$ $‐ 3 a + 5 = ‐ 4$ $\to$ $a = 3$

g

$\frac{a x + 5}{x + 1} = x + 6$ $\to$ $a x + 5 = (x + 6) (x + 1) = x^{2} + 7 x + 6$ $\to$ $x^{2} + (7 - a) x + 1 = 0$
Discriminant: ${(7 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = a^{2} - 14 a + 45 = 0$ $\to$ $(a - 5) (a - 9) = 0$
$\to$ $a = 5$ of $a = 9$

11

a

$f (x) = {(x - 2)}^{2} + 3 = x^{2} - 4 x + 7$

b

De top van de grafiek van $f$ zit bij $x = 2$ , dus de factor is $‐ \frac{1}{2}$ ;
$y = {(‐ 2 x - 2)}^{2} + 3 = 4 x^{2} + 8 x + 7$

c

Top $(2,3)$ , dus $a - 2^{2} = 3$ $\to$ $a = 7$

d

$a - x^{2} = x^{2} - 4 x + 7$ $\to$ $2 x^{2} - 4 x + 7 - a = 0$ ;
Discriminant: ${(‐ 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (7 - a) = 0$ $\to$ $16 - 8 (7 - a) = 0$ $\to$ $a = 5$

e

Snijpunt met de $x$ -as: $a - x^{2} = 0$ $\to$ $x = ‐ \sqrt{a}$ of $x = \sqrt{a}$ ;
$y' = ‐ 2 x$ ; de helling in het rechter snijpunt met de $x$ -as moet $‐ 1$ zijn,
dus $‐ 2 \cdot \sqrt{a} = ‐ 1$ $\to$ $a = \frac{1}{4}$

12

a

In één keer (het kan natuurlijk ook in een aantal tussenstappen):
$x = {(\frac{1}{4} y)}^{\frac{1}{2}} = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = 0,50 \cdot y^{0,50}$

b

$x = {(\frac{1}{27} y)}^{\frac{1}{3}} = {(\frac{1}{27})}^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{3}} \approx 0,33 \cdot y^{0,33}$

c

$x = {(\frac{1}{6,2} y)}^{\frac{1}{1,2}} = {(\frac{1}{6,2})}^{\frac{1}{1,2}} \cdot y^{\frac{1}{1,2}} \approx 0,22 \cdot y^{0,83}$

d

$x = {(\frac{1}{0,21} y)}^{\frac{1}{0,7}} = {(\frac{1}{0,21})}^{\frac{1}{0,7}} \cdot y^{\frac{1}{0,7}} \approx 9,30 \cdot y^{1,43}$

e

$x = {(\frac{3,1}{2,4} y)}^{\frac{1}{1,25}} = {(\frac{3,1}{2,4})}^{\frac{1}{1,25}} \cdot y^{\frac{1}{1,25}} \approx 1,23 \cdot y^{0,80}$

f

$x = {(\frac{1}{3} y^{2})}^{\frac{1}{4}} = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{2}{4}} \approx 0,76 \cdot y^{0,50}$

g

$x = {(\frac{1}{5} y^{2,7})}^{\frac{1}{0,8}} = {(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{0,8}} \cdot y^{\frac{2,7}{0,8}} \approx 0,13 \cdot y^{3,38}$

h

$x = {(\frac{7,2}{4,8} y^{1,1})}^{\frac{1}{2,9}} = {(\frac{7,2}{4,8})}^{\frac{1}{2,9}} \cdot y^{\frac{1,1}{2,9}} \approx 1,15 \cdot y^{0,38}$

13

a

$4 π \cdot r^{2} = 25 π \to r^{2} = \frac{25 π}{4 π} = \frac{25}{4}$ dus $r = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} (= 2 \frac{1}{2})$ ;
$V = \frac{4}{3} π \cdot {(\frac{5}{2})}^{3} = \frac{500}{24} π = \frac{125}{6} π (= 20 \frac{5}{6} π)$

b

$S = 4 π \cdot r^{2} \to r = \sqrt{\frac{S}{4 π}}$
dus $V = \frac{4}{3} π \cdot {(\sqrt{\frac{S}{4 π}})}^{3} = \frac{4}{3} π \cdot \frac{{\sqrt{S}}^{3}}{{\sqrt{4 π}}^{3}} = \frac{\frac{4}{3} π}{{\sqrt{4 π}}^{3}} \cdot {(S^{\frac{1}{2}})}^{3} \approx 0,094 \cdot S^{\frac{3}{2}}$