In de applet
opg1
zijn getekend de lijn met vergelijking
en de lijnen ,
waarbij je met de schuifknop kunt variëren.
Voor elke waarde van gaat de lijn
door het punt .
Waarom?
Het snijpunt van de lijnen en noemen we .
Bereken exact voor welke waarde van het snijpunt op de -as ligt.
Waarom is er geen waarde van te vinden waarvoor op de -as ligt?
Er is ook een waarde van waarvoor de lijnen en elkaar niet snijden.
Voor welke van is dat? Verklaar je antwoord zonder GeoGebra of GR.
In de applet
opg2
zijn de lijnen met vergelijking
en
getekend.
Met de schuifknop kun je en variëren en daarmee lijn .
Welke getallen moet je voor en nemen om voor een verticale lijn door te krijgen? Verklaar je antwoord, zonder de applet.
Welke getallen moet je voor
en nemen om voor
een
horizontale lijn door te krijgen?
Verklaar je antwoord, zonder de applet.
Welke getallen moet je voor
en nemen om voor
een lijn te krijgen die de -as in
en de
-as in
snijdt?
Bereken die getallen exact, zonder de applet.
Neem .
Welk getal moet je voor nemen om er voor te zorgen dat
en evenwijdig zijn?
En als ?
En als ?
Neem
.
Welk getal moet je voor nemen om er voor te zorgen dat
en
evenwijdig zijn?
En als ?
En als ?
Het is ook nog mogelijk dat
en samenvallen (oftewel dezelfde lijn zijn).
Wat moet je in dit geval voor en
nemen?
Bekijk het stelsel vergelijkingen:
.
De oplossingen van dit stelsel zijn de gemeenschappelijke punten van de lijnen en uit de vorige opgave.
Er kan één oplossing zijn, dan snijden en elkaar.
Er kunnen geen oplossingen zijn, dan zijn en evenwijdig.
Er kunnen oneindig veel oplossingen zijn, dan vallen en samen.
Gegeven twee lijnen en
.
Het stelsel
heeft één oplossing en snijden elkaar,
heeft oneindig veel oplossingen ,
heeft geen oplossingen en zijn evenwijdig.
Gegeven twee lijnen en
.
Neem aan dat de getallen , ,
en niet
zijn.
Druk de richtingscoëfficiënt van in en uit en de richtingscoëfficiënt van in en .
Ga na dat en evenwijdig zijn of samenvallen als .
Als , dan vallen en samen, als dan zijn en evenwijdig.
Toon dat aan.
Gegeven de lijnen en .
Bij de antwoorden op de volgende vragen hoort steeds een redenering.
Door te variëren, krijg je steeds een andere lijn
.
Die lijnen gaan alle door hetzelfde punt.
Welk punt is dat?
Voor welke zijn de lijnen en evenwijdig?
Voor welke is het snijpunt van en ?
Voor welke staan en loodrecht op elkaar?
We bekijken het stelsel vergelijkingen: voor alle mogelijke getallen en .
Voor welke en zijn er oneindig veel oplossingen?
Licht je antwoord toe.
Voor welke en zijn er geen oplossingen?
Licht je antwoord toe.
In alle andere gevallen is er één oplossing.
Bereken exact voor welke en die oplossing is.
Bereken exact voor welke en die oplossing is.
Gegeven is het stelsel lineaire vergelijkingen: .
Voor welke waarde van heeft dit stelsel geen oplossing?
|
|
In hoofdstuk 1 is de hellingshoek van een lijn besproken.
In het linker plaatje is een dalende lijn, de hellingshoek is
stomp. In het rechter plaatje is een stijgende lijn, de hellingshoek is scherp.
De richtingscoëfficiënt van noemen we en de hellingshoek .
Je hebt in het hoofdstuk 1 Hellingen gezien: als de hellingshoek scherp is.
Lijn gaat door de twee getekende roosterpunten.
Bereken zijn hellingshoek in één decimaal nauwkeurig.
In het assenstelsel zijn twee lijnen en getekend, met en .
Bereken de coördinaten van het snijpunt van en exact.
Bereken de richtingscoëfficiënten van en en met behulp daarvan de bijbehorende hellingshoeken en in twee decimalen.
Bereken de hoek waaronder en elkaar snijden in één decimaal. (NB. Dit is één van de twee scherpe hoeken bij het snijpunt .)
In het plaatje hiernaast heeft richtingscoëfficiënt en richtingscoëfficiënt . Verder, zie plaatje.
Hoe groot is exact?
Bereken in twee decimalen.
Bereken de hoek tussen de lijnen en in één decimaal.
en
Bereken de hoek tussen en in één decimaal.
Oplossing
Maak een schets met , en een lijn evenwijdig aan de -as (in de figuur gestippeld).
Bereken vervolgens
en . Hiermee kun je de hoek tussen
en berekenen.
We voeren dit uit.
Richtingscoëfficiënt is , dus
en richtingscoëfficiënt is
, dus
.
De hoek tussen en is
dan (ga dat na).
Voorbeeld
Lijn heeft richtingscoëfficiënt
en heeft richtingscoëfficiënt .
Bereken de hoek tussen en in graden nauwkeurig.
Oplossing
Maak een schets met , en een
lijn evenwijdig aan de -as.
Ga na:
en .
De hoek tussen en
is dan .
Hiernaast is driehoek getekend met , en .
Bereken de hoek tussen de lijnen en (dat is dus hoek ) met behulp van hun richtingscoëfficiënten in graden nauwkeurig.
Ga na dat voor de zijden van driehoek geldt: , en .
Bereken exact met de cosinusregel en hiermee hoek in graden nauwkeurig.
Gegeven zijn de lijnen en .
Bereken in gehele graden nauwkeurig de hoek waaronder de beide lijnen elkaar snijden.
Gegeven is de cirkel met middelpunt .
Een vergelijking van de cirkel is: .
Bereken exact de coördinaten van het middelpunt en de straal van de cirkel.
De cirkel raakt de x-as.
Waarom?
Bereken de hellingshoek van lijn in één decimaal nauwkeurig.
De -as raakt de cirkel in . Behalve de -as is er nog een andere raaklijn vanuit aan de cirkel.
Geef de hellingshoek van die raaklijn in graden nauwkeurig. Licht je antwoord toe.
Bereken exact de hoek tussen de lijnen en .
Bereken exact de hoek tussen de lijnen en .
Bereken exact de hoek tussen de lijnen en .