1

a

Als je voor $x = 0$ invult, vind je voor $y = 3$ wat $a$ ook is.

b

Het snijpunt van $k$ met de $x$ -as is $(5,0)$ , dit moet $S$ zijn, dus $0 = a \cdot 5 + 3$ , dus $a = ‐ \frac{3}{5}$ .

c

Het snijpunt van $m_{a}$ met de $y$ -as is $(0,3)$ , wat je voor $a$ ook neemt. En dit punt ligt niet op $k$ .

d

Dan moeten $k$ en $m_{a}$ evenwijdig zijn, dus dezelfde richtingscoëfficiënt hebben. Dan $a = ‐ \frac{2}{5}$ .

2

a

$b = 0$ en $a = 5$ , je krijgt dan voor $k$ de lijn met vergelijking $x = 1$ .

b

$a = 0$ en $b = 2 \frac{1}{2}$ , je krijgt dan voor $k$ de lijn $y = 2$ .

c

$(‐5,0)$ invullen in de vergelijking van $k$ geeft: $a = ‐1$ en $(0,2)$ invullen in de vergelijking van $k$ geeft: $b = 2 \frac{1}{2}$ .

d

richtingscoëfficiënt $k = ‐ \frac{a}{b}$ en richtingscoëfficiënt $m = ‐ \frac{2}{5}$ , dus als $a = 2$ , dan $b = 5$ ; als $a = 10$ , dan $b = 25$ en als $a = 15$ , dan $b = 37 \frac{1}{2}$ .

e

$a = \frac{4}{5}, a = 4, a = 6$

f

$a = 1$ en $b = 2 \frac{1}{2}$ , je kunt de gegeven vergelijking van $k$ dan herschrijven als $2 x + 5 y = 10$ .

3

a

$‐ \frac{a}{b}$ en $‐ \frac{p}{q}$

b

Evenwijdig zijn of samenvallen $\Leftrightarrow$ de hellingen van de lijnen zijn hetzelfde.
De rest is rekenen.

c

Als $\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}$ , dan: $p x + q y = r \Leftrightarrow \frac{a}{p} (p x + q y) = \frac{a}{p} r \Leftrightarrow \frac{a}{p} \cdot p x + \frac{a}{p} \cdot q y = \frac{a}{p} \cdot r \Leftrightarrow$ $\frac{a}{p} \cdot p x + \frac{b}{q} \cdot q y = \frac{c}{r} \cdot r \Leftrightarrow a x + b y = c$ , dus de gegeven vergelijking van $k$ is te herschrijven tot de gegeven vergelijking van $m$ . Als $\frac{a}{p} = \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r}$ dan is dat niet zo. Wel hebben $k$ en $m$ dan dezelfde richtingscoëfficiënt, dus zijn $k$ en $m$ evenwijdig.

4

a

$(0,3)$ , want als je voor $x = 0$ invult, krijg je voor $y = 3$ , onafhankelijk van de waarde van $a$ .

b

Als $\frac{a}{2} = \frac{1}{3}$ , dus als $a = \frac{2}{3}$ .

c

$(1,1)$ ligt op $m$ , dus $(1,1)$ moet op $k$ liggen, dit is zo als $a \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 6 \Leftrightarrow a = 4$ .

d

Als $‐ \frac{a}{2} \cdot ‐ \frac{1}{3} = ‐ 1 \Leftrightarrow a = ‐ 6$

5

a

De bijbehorende lijnen moeten samenvallen, dus dezelfde richtingscoëfficiënt hebben. richtingscoëfficiënt eerste lijn is $\frac{1}{2}$ ; richtingscoëfficiënt tweede lijn is $‐ \frac{b}{5}$ , dus $b = ‐2 \frac{1}{2}$ .
De eerste lijn heeft dan vergelijking $x - 2 y = a$ en de tweede lijn:
$‐ 2 \frac{1}{2} x + 5 y = 10 \Leftrightarrow x - 2 y = ‐4$ .
Dus de lijnen vallen samen als $b = ‐2 \frac{1}{2}$ en $a = ‐ 4$ .
(Je kunt ook zeggen: $\frac{1}{b} = \frac{‐ 2}{5} = \frac{a}{10}$ , zie opgave 3.)

b

Dan moeten de lijnen evenwijdig zijn en niet samenvallen, dus $b = ‐2 \frac{1}{2}$ en $a \neq ‐4$ .

c

$(1,1)$ in beide vergelijkingen invullen geeft: ${\begin{cases} 1 - 2 \cdot 1 = a \\ b \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 10 \end{cases}$ , dus $a = ‐1$ en $b = 5$ .

d

${\begin{cases} 0 - 2 \cdot 2 = a \\ b \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 10 \end{cases}$ , dus $a = ‐4$ en $b$ doet er niet toe.

6

Dan moeten de bijbehorende lijnen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben, dus $‐ \frac{3}{a} = 2$ , dus $a = ‐1 \frac{1}{2}$ . De vergelijking $3 x - 1 \frac{1}{2} y = 5$ van de tweede lijn is dan te herschrijven tot $y = 2 x - 3 \frac{1}{3}$ . De tweede is dus evenwijdig met de eerste lijn. Dus $a = ‐1 \frac{1}{2}$ .

7

De richtingscoëfficiënt is $‐ 1 \frac{1}{2}$ en $\tan^{‐ 1} (1 \frac{1}{2}) = 56,309... °$ , dus $β = 56,309... °$ en
$α = 123,69... °$ , afgerond $α = 123,7 °$ .

8

a

${\begin{cases} 2 x - 3 y = 2 \\ 2 x + y = 10 \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{cases} 2 x - 3 y = 2 \\ y = 10 - 2 x \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{cases} 2 x - 3 (10 - 2 x) = 2 \\ y = 10 - 2 x \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{cases} 2 x - 30 + 6 x = 2 \\ y = 10 - 2 x \end{cases}$ , dus $S = (4,2)$ .

b

De richtingscoëfficiënt van $k$ is: $\frac{2}{3}$ en de richtingscoëfficiënt van $m$ is: $‐2$ , dus $α = \tan^{‐ 1} (\frac{2}{3}) = 33,6900... °$ afgerond $33,69 °$ en $β = \tan^{‐ 1} (2) = 63,4349... °$ , afgerond $63,43 °$ .

c

De gevraagde hoek is: $180 ° - α - β = 82,8749... °$ , afgerond $82,9 °$ .

9

a

$α = 45 °$ , $β = 26,57 °$

b

De gevraagde hoek is $α - β = 18,4 °$ .

10

a

De richtingscoëfficiënt van lijn $A B$ is $\frac{3}{5}$ en de richtingscoëfficiënt lijn $B C$ is $‐ \frac{2}{4}$ , zie plaatje. Dus $β_{1} = \tan^{‐ 1} (\frac{1}{2}) = 26,56... °$ en $β_{2} = \tan^{‐ 1} (\frac{3}{5}) = 30,96... °$ , dus $β = β_{1} + β_{2} \approx 58 °$ .

b

Klopt!

c

$26 = {(2 \sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{34})}^{2} - 2 \cdot 2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{34} \cdot \cos (β) \Leftrightarrow \cos (β) = \frac{28}{4 \sqrt{170}}$ , dus $β \approx 58 °$ .

11

We maken een schets; $γ = α + β$ is de gevraagde hoek. Richtingscoëfficiënt $k = \frac{1}{5}$ en richtingscoëfficiënt $m = ‐2$ . Dus $α = \tan^{‐ 1} (\frac{1}{5}) = 11,309... °$ en $β = \tan^{‐ 1} (2) = 63,43... °$ , dus de gevraagde hoek is $75 °$ .

12

a

$x^{2} + y^{2} - 12 x - 4 y + 36 = 0 \Leftrightarrow$
${(x - 6)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 36 - 4 + 36 = 0$ , dus $M = (6,2)$ en de straal is $2$ .

b

Uit het voorgaande onderdeel volgt dat $R (6,0)$ op de cirkel ligt. $M R$ staat loodrecht op de $x$ -as. Dus de $x$ -as raakt de cirkel in $R$ .

c

Lijn $O M$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{1}{3}$ , de hellingshoek is $\tan^{‐ 1} (\frac{1}{3}) = 18,4 °$ .

d

Noem het raakpunt van de andere raaklijn $S$ , dan is hoek $S O R$ twee keer zo groot als de hellingshoek van lijn $O M$ , want de twee raaklijnen $O S$ en $O R$ liggen symmetrisch ten opzichte van lijn $O M$ , dus de gevraagde hoek is $37 °$ .

13

a

We maken een schets, zie figuur 1.

figuur 1

figuur 2

De gevraagde hoek is $α = 60 - 45 = 15 °$ .

b

We maken een schets, zie figuur 2.
De gevraagde hoek is $α = 180 - 45 - 60 = 75 °$ .

c

Die hoek is $90 °$ , de lijnen staan loodrecht op elkaar: het product van hun richtingscoëfficiënten is $‐1$ .